高一数学平面向量的坐标运算例题精析

本资料来源于七彩教育网平面向量的坐标运算、线段的定比分点典型例题精析例1 平面内有三个已知点A(1，2)，B(7，0)，C(5，6)，求 ， ， ， ，2 ， 3 【分析】 本题涉及向量的坐标表示、向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算，均需正确掌握其运算法则【解】A(1，2)，B(7，0)，C(5，6)， =(71，02)=(6，2)，(51，62)=(6，8)， (66，28)(0，10)， =(66，28)(12，6)，或 = =(75，06)=(12，6)=(12，4)(3，4)(9，8)3 =(6，2)3(6，8)=(6，2)(18，24)(618，224)=(24，22)，或 3 =(6，2)3(6，8)(6，2)(18，24)(618，224)=(24，22)例2 用坐标法证明 0【证明】 设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，则=(b1a1，b2a2)，=(c1b1，c2b2)，=(a1c1，a2c2)， =(b1a1，b2a2)(c1b1，c2b2)(a1c1，a2c2)=(b1a1c1b1a1c1，b2a2c2b2a2c2)=(0，0) =0【说明】 这个证明过程完全是三个点坐标的计算，无需考虑三个点A，B，C是共线还是不共线的位置关系同时，对这个结论的更一般形式，即几个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：例3 已知M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，且 ，求y的值【分析】 先由已知点坐标分别求出向量 及 的坐标，再由向量平行的充要条件求解y【解法一】 利用向量平行充要条件的坐标表达式M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)， (1，1)， =(1，y1)， ，(1)(y1)1(1)0解得 y=2【解法二】 利用向量共线的定理由已知 ，故有且仅有一个实数，使 = M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y) (1，1)， =(1，y1)，(1，y1)=(1，1)，(1，y1)=(，)解得 1，y2y=2例4 已知ABC的三个顶点的坐标为A(0，0)，B(4，0)，C(3，6)，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，且ABC的重心为G，求：【分析】 解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点D，E，F的坐标，再利用三角形重心G的坐标公式求得G的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量【解】 A(0，0)，B(4，0)，C(3，6)，且D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，G为ABC的重心，【说明】 本题中的(3)，(4)具有一般性，我们将在例5中作一般结论的推证，另外结论(3)与(4)本身有着必然的联系，因为G为ABC的例5 如图522，在ABC中，D，E，F分别为AB，【证明】 必要性充分性即 (mk) (lm) 0由于 与 是不共线的，故mk=0，且lm0，mkl更为简捷：例6 如图523，在ABC中，D，E，F分别为边BC，【分析】 要证ABC与DEF的重心相同，实际上是证表示重心的两点重合，一种方法是利用向量相等，另一种方法是证明两个重心的坐标相同【证法一】设ABC的重心为G，DEF的重心为G，且设则对于平面内的任意一点O，有G与G重合故ABC与DEF的重心相同【证法二】 设ABC三点的坐标分别为A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，其重心G的坐标为(g1，g2)DEF三个顶点的坐标分别为D(d1，d2)，E(e1，e2)，F(f1，f2)，其重心G的坐标为(g1，g2)，则同理d2e2f2=a2b2c2G与G重合故ABC与DEF的重心相同【证法三】利用例5的结论设G为ABC的重心，则设G为DEF的重心，则据例5的结论，可知ABC与DEF的重心相同【说明】 证法一使用的是线段定比分点的向量式证法二使用的是线段定比分点的坐标公式而证法三，利用了三角形中两个重要的结论：G为ABC重心 =0；CA，AB上的点)例7 如图524，在ABC中，D为边BC上的点，且 =k ，E为DA上一点，且 =l ，延长BE交AC于F，求F分有向线段 的比故由此可解得【解】 设 =a， =c，分别将 ， ， 用 ， 的线性组合表示 =k ，又