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重积分的应用 目 录 引言.3 1 二重积分的概念及应用.4 1.1 二重积分的概念.4 1.2 二重积分在积分不等式证明中的应用.4 1.3 利用二重积分求旋转体的体积.6 2 三重积分的概念及应用.6 2.1 三重积分的概念.6 2.2 利用三重积分求空间物体的质量.7 2.3 利用三重积分求物体的重心.7 2.4 利用三重积分求物体的转动惯量.8 3 多重积分的概念及其应用.10 3.1 多重积分的概念.10 3.2 多重积分的应用.10 结论.12 致谢.13 参考文献.14 沈阳大学毕业设计（论文） No 0 摘 要 为了研究重积分的应用，以及重积分在学习生活中的应用，运用重积分 的基本概念和应用解决问题. 通过探索重积分在各个领域中的应用,提高解 题的效率,改进用基本方法解重积分问题的思想,和处理重积分在各个领域的 应用能力结果表明,重积分的应用非常广泛,不仅在数学的相关领域有重要 的应用,而且在实际问题中也发挥着重要作用由于重积分的重要地位,进而 对重积分及其应用进行更深层次的研究和探讨是十分必要的 关键词: 重积分；转动惯量；不等式 沈阳大学毕业设计（论文） No 1 Abstract In order to research the applications of multiple integral，and the applications in learning and life，use the concept and application to solve the problemThrough exploring the various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multiple integral application in all fields ability. The results show that the application of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an important application, but in the actual problem also plays a role Because of the important role of the multiple integral, and multiple integral and its application in a better research and discussion is very necessary Keywords: multiple integral; moment of inertia; inequality 沈阳大学毕业设计（论文） No 2 引 言 重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的重要内容,是近代数学的 重要基础,是高等数学最基本的内容,也是高等院校其它专业知识联系紧密的 部分,它的引入为解决数学中的问题提供了新的视野 重积分是研究曲面面积、旋转体积、不等式证明、计算物体的质量和解 决一些生活实际问题等方面的有力工具它有相当广泛的应用范围和非常重 要的应用价值数学中有很多问题用其它数学思想来解决可能会非常复杂和 繁琐,而用重积分思想解决此类问题就会迎刃而解达到化繁为简的目的 例如二重积分在积分不等式证明中的应用,借助一些定理,通过变换间接解决 相关不等式的证明问题,运用二重积分证明不等式,不但可以丰富不等式证明 的方法、开阔视野、创新思路,而且在特定情况下可以起到事半功倍的效 果同时,三重积分可以用于解决物体的质量、重心和转动惯量之类的问 题借助重积分工具去研究空间物体问题,不仅能获得简便的解题方法且能 促进科学思维的培养,提高发散思维的水平 因此,我们应该对重积分有比 较深刻的了解,而且在遇到具体问题时要能够熟练运用 由此我们可以看出重积分在各个领域都发挥着重要的作用,因此,对重积 分的研究不可忽视. 我们应该加大对重积分的研究深度,使之在各个领域起 到更大的作用本文就重积分的应用,谈一点个人的感悟和体会 沈阳大学毕业设计（论文） No 3 1 二重积分的概念及应用 本章主要介绍将一元函数积分的概念和应用推广到二元函数，即二重积 分的概念及应用 1.1 二重积分的概念 设二元函数在有界闭区域有定义，用任意分法 将分成 个小),(yxfRTRn 区域：，设它们的面积分别是. 在小区域上任取一 n RRR, 21 n , 21 点，作和), 2 , 1)(,(nkP kkk k n k kk f 1 ),( ) 11 ( 称为二元函数在区域的积分和),(yxfR 令)(,),(),(max 21n RdRdRdT 定义 1.1 设二元函数在有界闭区域有定义，若当时，二),(yxfR0T 元函数在区域的积分和存在极限 （数 与分法 无关，也与点),(yxfR) 11 ( IIT 的取法无关） ，记为 k P If k n k kk oT 1 ),(lim 即，有nkRPTT kkkk , 2 , 1,),(,:, 0, 0 If k n k kk 1 ),( 则称函数在可积， 是二元函数在的二重积分，记为),(yxfRI),(yxfR 或dyxfI R ),(dxdyyxfI R ),( 其中称为积分区域，称为被积函数，或称为面积微元R),(yxfddxdy 1.2 二重积分在积分不等式证明中的应用 沈阳大学毕业设计（论文） No 4 在一些积分不等式证明中，由于被积函数不确定，不能直接求出积分式， 本章介绍借助一些定理，通过变换间接证明积分不等式 在积分不等式的证明中，需要用到以下定理及推论： 定理 1.1 若函数在闭区域上可积，且),(yxfdycbxayxR;: ),( ，定积分存在，则累次积分也存在，bax,dyyxfxI d c ),()(dxdyyxf b a d c ),( 且 dxdyyxfdxdyyxf b a d c R ),(),( 特别地 当在矩形区域上连续时，有),(yxfdycbxayxR;: ),( dydxyxfdxdyyxfdxdyyxf d c b a b a d c R ),(),(),( 推论 若函数在上可积，函数在上可积，则乘积函数)(xba,)(ydc, 在闭矩形域上也可积，且)()(yxdycbxayxR;: ),( b a d c R dyydxxdxdyyx)()()()( 例 1.1 若连续且，则)(xf0)(xf 222 )(sin)()( b a b a b a dxxfkxdzxfcoxkxdxxf 证明： 2 22 )( )()()()( )(cos)()( sin)(sin)(cos)(cos)( sin)(cos)( a b a b a R R RR b a b a dxxf yfdxxfdxdyyfxf dxdyyxkyfxf kydxdyyfkxxfkydxdyyfkxxf kxdxxfkxdxxf 沈阳大学毕业设计（论文） No 5 （其中： ）dycbxayxR;: ),(: 1.3 利用二重积分求旋转体的体积 本节介绍了通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过 其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法，进而得出一般积 分公式在计算中需用到的定理： 定理 1.2 由连续曲线，直线，及 轴所围成)0)()(,(xfyxfybxax ,x 的曲边梯形绕不穿过曲边梯形内部的共面直线旋转一周所D0:CByAxl 围成的旋转体的体积为： dyCByAxdx BA dCByAx BA V xfb a D )( 02222 22 例 1.2 求由，所围成的平面绕直线旋转一周所围成旋转 2 xy xy xy 体的体积 解：，在右下方，即，都有1 0 , ),( 2 xxyxyxDDxy Dyx),( ，所以由上述公式有yx Dyxyx),( , 0 60 2 ) 22 (2)(2 ) 1(1 2 1 0 4 3 2 1 0 22 2 dx x x x dyyxdxdyxV x x D 沈阳大学毕业设计（论文） No 6 2 三重积分的概念及应用 本章介绍的三重积分不仅是二重积分的推广，也是解决某些实际问题所 必需的 2.1 三重积分的概念 设三元函数在有界闭体有定义，用分法 将分成 个小体：),(zyxfVTVn ，设它们的体积分别是在小体上任取一点 n VVV, 21 n VVV, 21 k V 若时，和式的极限存在，且与), 2 , 1)(,(nkP kkkk 0T k n k kkk Vf 1 ),( 区域的分法和点的选取无关，则称在上可积，并称此极),( kkkk P),(zyxfV 限为在上的三重积分，记为),(zyxfV 或dVzyxf V ),(dxdydzzyxf V ),( 称为被积函数，称为积分区域，或称为体积微元),(zyxfVdVdxdydz 2.2 利用三重积分求空间物体的质量 设物体占有空间区域，体密度为，则物体的质量V),(zyx dxdydzzyxM V ),( 例 2.1 设空间区域由与平面围成，已知上任意一V1 22 yxz2zV 点的密度与该点到原点距离平方成正比，求的质量Vm 解：由已知密度，则)0)(),( 222 kzyxkzyx dxdydzzyxkm V )( 222 作柱面坐标变换：，则zzyx,sin,cos kdzxkddm 15 17 )( 2 1 22 1 0 2 0 2.3 利用三重积分求物体的重心 沈阳大学毕业设计（论文） No 7 设物体占有空间区域，体密度为，则物体关于轴的转动V),(zyxzyx, 惯量为： dVzyx dVzyxz z zyx dVzyxy y dVzyx dVzyxx x V V V V V V ),( ),( , ),( ),( , ),( ),( 如果是均匀的，即密度函数是常数，不妨设，的V),(zyx1),(zyxV 体积是 ，则的重心的坐标分别是IV),(zyx VVV zdV I zydV I yxdV I x 1 , 1 , 1 例 2.2 计算密度函数的均匀上半球体1),(zyx 的重心)0(: 2222 zazyxV 解：因为均匀半球体关于与都对称，所以在公式中，下yzzx0 yx 面求 z 设 是半径为 的的半球体体积，已知，求三重积分，作Ia 3 3 2 aI V zdV 柱面坐标变换：，有zzryrx,sin,cos 4 00 2 0 4 1 22 adzzdrrdzdV xaa V adVz I z V 8 31 于是，均匀上半球体的重心是) 8 3 , 0 , 0(a 2.4 利用三重积分求物体的转动惯量 设物体占有空间区域，体密度为，则物体关于轴即原点V),(zyxzyx, 的转动惯量为 沈阳大学毕业设计（论文） No 8 dVzyxyxIdVzyxxzIdVzyxzyI V z V y V x ),()(,),()(,),()( 222222 例 2.3 计算密度函数的均匀球体，关于三1),(zyx1: 222 zyxV 个坐标轴的转动惯量 解：由上面公式知，球体关于三个坐标轴的转动惯量分别是V dVyxIdVxzIdVzyI V z V y V x )(,)(,)( 222222 因为球体关于三个坐标面对称，被积函数关于每个变量都是偶函数，所以 ，设，有 zyx III zyx IIII dVzyxI V )(23 222 作球面坐标变换有,即 15 8 sin 3 2 1 0 4 0 2 0 drrddI 15 8 zyx III 沈阳大学毕业设计（论文） No 9 3 多重积分的概念及其应用 与一元函数的广义积分概念和应用类似，重积分概念也可以 维空间n 3.1 多重积分的概念 类似于以上两章二重积分和三重积分的概念，中在上 n R),( 21n xxxfV 的 重积分，记为n Vyfdydydyyyyf n k k T n v n 1 0 2121 )(lim),( 3.2 多重积分的应用 本节介绍利用多重积分证明毕达哥拉斯定理的一种推广 考虑 维欧氏仿射空间中的一个 维单形n)2( nR n n i x i i i in nn nix a x Rxx 1 1 , 1, 0, 1:),(:) 13( 其中有个顶点,即和niai, 1, 01n) 0 , , 0( O niaA ii , 1), 0 , , . 0 ( 还有个侧面，即个顶点的对面，分别是除某个顶点以外其他 个 n 1n1nn 顶点组成的凸包，是一个维单形显然，只有一个侧面不通过原点，1nO 即的对面记作 且以表示它的面积（维体积）;其余 个侧面都通过OSS1nn 原点，顶点所对侧面记作且以表示它的面积，文献利用单 i A i S i Sni, 1 形体积公式证明了现在利用多重积分来证明 22 1 2 n SSS) 13( 式因为顶点所对侧面是由与超平面，相交所成的) 13( ), 1(niAi n 0 i x 维单形，即，所以由文献求得1n0:),( 1 i n nni xRxxS )!1( 111 111 n aaaa dxdxdxdxS nii nii S i i ni, 1)23( 沈阳大学毕业设计（论文） No 10 是由与超平面相交所成的维单形，有显示表示S n 1 2 2 1 1 n n a x a x a x 1n 1 1 1 1 1: n n nn a x a x axSDxx n ),( 11 其中 1 1 1 11 1, 1, 0, 1:),(: n i i i in n nix a x RxxD 由文献得 2 1 2 1 11 11 0 2 1 2 1 1 )!1( 1 a a a a n aa dxdx x x x x S nnn n n nn )33( 根据式(3-2)和式立即推得式，因此毕达哥拉斯的推广得证)33( ) 13( 沈阳大学毕业设计（论文） No 11 结 论 重积分在高等数学中应用非常广泛,涉及到数学知识的许多方面本文 讨论了重积分的有关知识,深入研究了用二重积分简便计算平面图形绕任意 直线旋转所成的旋转体的体积的一般方法，而且给出了用二重积分证明积分 不等式的证明思路利用三重积分的物理意义和性质求物体的质量，空间物 体的重心坐标和转动惯量，简便了以往复杂的计算过程通过以上讨论我们 了解到重积分是我们研究数学问题的一