第一篇-第二章-平面光波在两介质分界平面上的反射与透射..ppt

第二章平面光波在两介质分界平面上的反射与透射曹建章,光波的反射和透射是薄膜光学的基本问题。当薄膜介质参数已知的情况下，并假定介质分界面为光滑平面，通常采用几何光学近似方法求解平面光波在界面两侧的电场振幅之间的关系即反射系数和透射系数。几何近似方法不仅适用于均匀介质，也可用于非均匀介质和吸收介质。本章首先讨论S-波反射和P-波反射，然后讨论吸收介质、非均匀介质和各向异性介质的反射和透射。2.1各向同性理想介质界面的反射与透射2.1.1S-波反射与透射,对于任意极化状态平面光波的反射和透射可分解为两个相互垂直的极化波的叠加。通常选取电场矢量垂直于入射面为垂直极化，称为S-波偏振；而选取电场矢量平行于入射面为平行极化，称作P-波偏振。,如图2-1所示。根据式(1-42）和式(1-43），,可写出入射平面光波的复振幅矢量表达式为式中是电场在r=0处的幅值，为介质1中的波数，为介质1的本征阻抗。由图2-1，在直角坐标下，入射波传播方向的单位矢量。由图2-1，在直角坐标下，入射波传播方向的单位矢量写成分量形式，有,（2-1）,（2-2）,波面上任意一点的位置矢量为将上两式代入式（2-1），得到同理，可得反射平面波与透射平面波电场和磁场复振幅矢量表达式为,（2-3）,（2-4）,（2-5）,（2-6）,其中和分别为介质2中的波数和本征阻抗。根据边界条件有,（2-7）,（2-8）,得到对任意的x，要使（2-9）两式成立，必须使三个指数满足相位匹配条件，即由此得到，斯涅尔反射定律,（2-9）,（2-10）,（2-11）,和斯涅尔折射定律式中、分别为介质1和介质2的折射率。考虑到式（2-10），则式（2-9）化为联立求解上两式，得到S-波偏振情况下反射系数和透射系数的表达式为,（2-12）,（2-13）,（2-14）,（2-15）,这两个系数称之为S-波偏振菲涅尔反射系数和透射系数，二者满足关系假定光学介质，利用关系式（1-39），式（2-14）和式（2-15）简化为,（2-16）,（2-17）,（2-18）,在垂直入射的情况下，则式（2-17）和式（2-18）简化为对于S-波偏振，引入介质界面两侧光学有效导纳则式（2-17）和式（2-18）改写为,（2-19）,（2-20）,（2-21）,（2-22）,（2-23）,需要注意，此处光学有效导纳并不具有导纳的量纲，因为在反射系数和透射系数表达式中分子和分母消去了因子。2.1.2P-波反射与透射如图2-2所示。根据式（1-42）和式（1-43），可写出入射平面波的复振幅矢量表达式为,（2-24）,式中是电场在处的幅值，为介质1中的波数，1为介质1的本征阻抗，为平,面波传播方向的单位矢量，r为平面波波前上任意点的位置矢量。和r取式（2-2）和式（2-3），代入式（2-24），得到入射平面光,波电场和磁场复振幅矢量的表达式为同理，可得反射波与透射波电场和磁场复振幅矢量表达式为,（2-25）,（2-26）,（2-27）,其中k2和2分别为介质2中的波数和本征阻抗。根据边界条件式（2-7），有得到同样，对任意的x，要使式（2-29）等式成立，必须使三个指数相位满足相位匹配条件,（2-28）,（2-29）,（2-30）,即满足则式（2-29）化为联立求解上两式，得到P-波偏振情况下菲涅尔反射系数和透射系数的表达式为,（2-31）,（2-32）,（2-33）,（2-34）,在P-波偏振情况下，二者满足关系假定光学介质，利用关系式（1-39），式（2-33）和式（2-34）简化为,（2-35）,（2-36）,（2-37）,需要注意的是反射系数与反射波电场和磁场的方向选取有关，相差一负号。对于P-波偏振反射和透射，引入介质界面两侧光学有效导纳,（2-38）,则式（2-36）和式（2-37）改写为需要注意的是P-波偏振情况下，用光学有效导纳表示的透射系数与垂直入射情况下的透射系数公式相差因子。2.2各向同性吸收介质界面的反射与透射2.2.1S-波反射与透射假设介质电导率，在平面,（2-39）,（2-40）,波等振幅面与等相位面重合的情况下，根据图2-1，由式（1-49）和式（1-50），可写出入射平面波、反射平面波和透射平面波电场强度矢量和磁场强度矢量的复振幅表达式如下：,入射波：,（2-41）,反射波：,（2-42）,透射波：,（2-43）,由边界条件（2-7）式，得到对任意的x，要使（2-44）两式成立，必须使三个指数满足相位匹配条件，即,（2-44）,（2-45）,由此得到，斯涅尔反射定律和斯涅尔折射定律式中和分别为介质1和介质2的复折射率。显然，吸收介质中的折射定律与理想介质中的折射定律形式完全相同。由相位匹配条件式（2-45），式（2-44）简化为,（2-46）,（2-47）,（2-48）,联立求解得到在吸收介质的情况下，S-波偏振的反射系数和透射系数二者仍然满足关系由式（1-51），式（2-49）和式（2-50）简化为,（2-49）,（2-50）,（2-51）,（2-52）,（2-53）,在垂直入射的情况下，则式（2-52）和式（2-53）简化为由此可以看出，吸收介质中的S-波偏振反射系数和透射系数与理想介质中的形式完全相同，给计算带来极大的方便。,（2-54）,（2-55）,同样，S-波反射与透射引入介质界面两侧复光学有效导纳式（2-52）和式（2-53）化为2.2.2P-波反射与透射同样，在平面波等振幅面与等相位面重,（2-56）,（2-57）,（2-58）,合的情况下假设介质电导率，根据图2-2，由式（1-49）和式（1-50），可写出P-偏振入射平面波、反射平面波和透射平面波电场强度矢量和磁场强度矢量的复振幅表达式如下：,入射波：,反射波：,（2-59）,（2-60）,透射波：,（2-61）,同样，利用边界条件（2-7）和相位匹配条件，可以得到,（2-62）,（2-63）,（2-64）,二者满足关系由（1-51）式，简化式（2-63）、式（2-64），有同样，吸收介质中的P-偏振反射系数和透射系数与理想介质中的形式也完全相同。,（2-65）,（2-66）,（2-67）,对于P-波偏振反射和透射，引入介质界面两侧复光学有效导纳为则式（2-66）和式（2-67）改写为,（2-68）,（2-69）,（2-70）,一下两节内容为研究生学习内容，暂略。,=,2.3非均匀介质界面的反射与透射2.3.1几何光学近似条件下非均匀介质中的波传播2.3.1.1S-波射线振幅及相位2.3.1.2P-波射线振幅及相位2.3.2任意非均匀介质界面的反射系数方程2.3.2.1S-波偏振的反射系数方程2.3.2.2P-波偏振的反射系数方程2.4各向异性介质界面的反射与透射2.4.1平面对称各向异性介质中麦克斯韦方程的分量形式,2.4.2.1各向异性介质界面S-波反射与透射2.4.2.2各向异性介质界面P-波反射与透射,=,2.5反射系数和透射系数随入射角的变化反射系数和透射系数是描述反射波振幅、透射波振幅与入射波振幅之比随入射角变化的关系，这种关系在薄膜光学的膜系仿真计算中非常重要。下面简要介绍一些重要概念，并给出一些实例加以讨论。2.5.1.全反射与倏逝波,1.，即，由于正弦函数在第一象限是增函数，必有，由式（2-17）、式（2-18）、式（2-36）和式（2-37）可以判断，入射角为任意可能值时，S-波反射系数和P-波反射系数、S-波透射系数和P-波透射系数均为实数，实例见图2-8（a）所示。2.，即，根据斯涅尔定律式（2-12）或式（2-31）可知，透射角大于入射角，即，当时，透射角，此时式（2-12）或式（2-31）变为,称之为临界角。当时，仍取，由式（2-6）和式（2-27）可知，对于S-波，磁场仅有Z分量，电场沿Y方向，由坡印廷定理知，波沿+X方向传播，没有Z方向传播的波；而对于P-波，电场仅有-Z分量，磁场沿Y方向，波沿+X方向传播，也没有Z方向传播的波，如图2-7所示。在此情况下，由式（2-17）和式（2-36）可知，表明无论是S-波还是P-波，当入射角大于临界角时，都将产生全反,（2-200）,射，实例见图2-8（b）所示。因此，临界角也称之为全反射角。,3如果，当入射角大于临界角，即，根据斯涅尔定律，透射角，有显然，这时斯涅尔定律不成立。要使斯涅尔定律形式上成立，可取透射角为复角，由式（2-12）得到将该式代入式（2-6），得到,（2-201）,（2-202）,（2-203）,式中为式（2-203）表明，介质2中存在非均匀平面波，波沿+X方向传播，而在+Z方向是衰减的，其衰减常数为。等于常数为等振幅面，等于常数为等相位面，如图2-7所示。这种存在于介质2中沿平行于界面传播而在垂直于界面方向衰减的非均匀平面波称之为倏逝波，由于沿表面传播，所以也称之为表面波。,（2-204）,2.5.2全透射当菲涅尔反射系数，对应的入射角定义为布儒斯特角，记为。对于S-波偏振的情况，令式（2-17）的分子为零，有把该式两端平方，再利用（2-12）式，得到显然，无解。结果表明斜入射的S-波不存在布儒斯特角，也即不存在S-波反射为零的入射角。,（2-205）,（2-206）,对于P-波，令式（2-36）的分子为零，并利用（2-31）式，得到或者由以上两点可知，当入射光波的电场矢量为任意偏振方向时，可分解为S-波偏振分量和P-波偏振分量之矢量和，当波以布儒斯特角入射到介质表面时，P-波分量全部透入第二种介质，,（2-207）,（2-208）,而反射波仅包含S-波偏振分量，这种现象称为全透射。于是任意偏振方向的光波以布儒斯特角入射时，反射波将仅包含S-波偏振分量，而椭圆偏振或圆偏振光波经反射后将成为线偏振光波，所以布儒斯特角也称之为偏振角或极化角。虽然上述讨论是针对各向同性介质而言，对于吸收介质、非均匀介质和各项异性介质也可以进行讨论。(属研究生学习内容，暂略)2.5.3反射系数、透射系数振幅和相位随入射角变化,当光波入射到两种介质的分界面上时，反射系数和透射系数随入射角的变化而变化，即反射系数和透射系数是入射角的函数。不管是S-波偏振还是P-波偏振，光波通过界面不仅可以改变入射波的振幅，还可以改变入射波的相位。一般情况下，菲涅尔反射系数为复值，写成模和幅角的形式反映振幅和相位更为方便，因此，可令式中和分别为S-波偏振反射系数的模和P-波偏振反射系数的模，而和分别为S-波,（2-211）,偏振反射系数的相位和P-波偏振反射系数的相位，分别称和为反射系数的振幅图，而和为反射系数的相位图。下面首先以光波入射到玻璃与空气分界面为例，分析反射系数和透射系数随入射角的变化特性。如图2-8所示为S-波偏振和P-波偏振反射系数、和透射系数、随入射角的变化关系曲线。1.对于的情况，由图2-8（a）可知，（1）垂直入射，；,（2）掠入射，；（3）布儒斯特角入射，（满足），表明反射光波中仅有S-波偏振，而没有P-波偏振，产生全偏振现象。另外，反射系数的模和随入射角的增大而增大，和随入射角的增大而减小，但透射系数和在从的范围内总取正值，表明透射波与入射波的相位是相同的，也即电场矢量的方向与图中标定的方向一致，光通过界面透射波不发生相位改变。相位变化对于S-波偏振,入射角从,的范围内，反射系数取负值，反射波相位有的突变，即电场矢量的方向与图2-1中标定的方向相反，相位变化见图2-9（a）；对于P-波偏振,入射角在经过布儒斯特角后，当,反射波的相位有的突变，相位变化见图2-9（b）。2.的情况，由图2-8（b）可知,（1）垂直入射，,；（2）布儒斯特角入射，表明反射光波中仅有S-波偏振，而没有P-偏振，产生全偏振现象；（3）临界角入射，,发生全反射现象，但是，这是一个至今也不能自圆其说的“矛盾”。相位变化对于S-波偏振，在的范围内,；当时，相位从0到连续变化，,图2-10（a）。对于P-波偏振，在的范围内，与的情况正好相反。在范围内，。当时，相位从0到连续变化。相位变化见图2-10（b）。,2.6反射率和透射率反射系数和透射系数分别表示反射波以及透射波的电场振幅与入射波的电场振幅之比。但实际上，反射率和透射率是实验室可以直接测量的量，因此，有必要推导出反射率和透射率公式。反射率定义为反射波能量流与入射波能量流之比，而透射率定义为透射波能量流与入射波能量流之比，分别记为R和T。电磁波的能量流密度是平均坡印廷矢量，其物理含义为单位时间通过垂直于传播方向单位面,积的能量。下面分两种情况讨论。2.6.1理想介质分界面的反射率和透射率,首先讨论S-波偏振的情况，如图2-11所示。设平面电磁波沿一圆柱体入射到两理想介质的交界面上，圆柱与平面界面相交的截面面积为A。入射、反射和透射波,的电场复振幅分别为、和，根据式（1-54）和式（1-55），得到入射、反射和透射波的平均能量流密度矢量的大小为式中和分别为介质1和介质2的折射率。与之相对应的入射、反射和透射平均能量流为,（2-212）,（2-213）,（2-214）,（2-215）,（2-216）,（2-217）,根据反射率和透射率的定义，有,（2-218）,（2-219）,同样，对于P-波偏振，有在无吸收的情况下，入射波、反射波和透射波满足能量守恒，即入射的能量流等于反射,（2-220）,（2-221）,能量流和透射能量流之和。对于S-波偏振的情况，有把式（2-215）、式(2-216)和式（2-217）代入，得到利用式（2-218）和式（2-219），可得,（2-222）,（2-223）,（2-224）,同样，对于P-波偏振，有一般情况下，入射光波的电场矢量可分解为S-波偏振分量和P-波偏振分量，计算不同入射角的反射率，就要分别计算、和。图2-12给出的是与图2-8相对应的空气到玻璃和玻璃到空气的反射率变化曲线，图中。由图2-12可以看出，随入射角的增大单调增大，而先下降，经过布儒斯特角，然后再上升。当入射角或时，S-波偏振分量和P-波偏振分量的,（2-225）,反射率都趋向1。,2.6.2吸收介质分界面的反射率和透射率*对于吸收介质，根据式（1-58），由图2-11可写出S-波偏振入射、反射和透射波的平均能量流密度为,（2-226）,（2-227）,（2-228）,式中和分别为介质1和介质2的复折射率；和分别为吸收介质1和吸收介质2的消光系数；为光波圆频率，c为真空中的光速。由式（2-226）、式（2-227）和式（2-228）可写出与之相对应的入射、反射和透射平均能量流为,(2-229),(2-230),(2-231),根据反射率和透射率的定义，对于S-波偏振，有,(2-232),(2-233),在取实数的情况下，由式（2-47）并利用式（1-10），得到由式（2-232）可以看出，在分界面上，得到斜入射反射率为,（2-234）,（2-235）,将式（2-234）代入式（2-233），在分界面上，得到斜入射透射率