自动控制原理-8

2020/5/1,电子信息工程学院,1,第八章非线性控制系统,8.1非线性控制系统概述8.2相平面法8.3描述函数法,2020/5/1,电子信息工程学院,2,8.1非线件控制系统概述,一、为什么研究非线性控制系统,理想的线性系统并不存在，实际系统往往都是非线性系统，只是做了一些合理的假设以后把他们看成线性系统来处理。但是，这种线性方法并不是在一切情况下都适用的。,系统中的非线性主要存在于两个部分,1）控制仪表和传动机构,2）对象本身的特性,2020/5/1,电子信息工程学院,3,小偏差线性化：,实质：将连续变化的非线性函数y=f(x)在平衡工作点（x0y0）展开为泰勒级数：,增量较小时略去其高次幂项，则有,2020/5/1,电子信息工程学院,4,根据牛顿运动定律可以直接导出此系统的动态方程为,非线性项,这是一输入为零，输出量为摆幅的二阶非线性微分方程。当控制系统处在自动调节状态的小摆幅下运行时，可应用小偏差线性化方法将非线性系统线性化。,平衡状态为,2020/5/1,电子信息工程学院,5,小偏差线性化条件：（1）系统中的变量在某一额定工作点附近做微小变化。（2）非线性特性在此工作点可导，也就是曲线光滑。,在许多情况下，上述条件并不能够满足，如：存在有本质非线性情况。,1、饱和特性,放大器等很多元件都具有饱和特性,2、死区特性,测量元件，电机等都有死区,2020/5/1,电子信息工程学院,6,3、间隙特性,齿轮间隙是典型的间隙特性,4、继电器特性,2020/5/1,电子信息工程学院,7,二、非线性控制系统的特点,2、稳定性分析复杂。,1、非线性系统的重要特征是不满足线性叠加原理。,例：一阶非线性系统：,其解为,由于描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，因此叠加原理不能应用。故能否应用叠加原理是两类系统的本质区别。,2020/5/1,电子信息工程学院,8,对于线性系统，只有一个平衡状态，而且其稳定性只取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无关。对于非线性系统，系统可能存在多个平衡状态，系统的稳定性需要考虑各个平衡状态的稳定性，而且其平衡状态的稳定性与外作用和初始条件有关。,总结：,3、可能存在自激振荡现象,所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。,非线性阻尼项,2020/5/1,电子信息工程学院,9,系统具有负阻尼,系统具有正阻尼,系统能克服扰动的影响，保持幅值为1的等幅振荡自持振荡,非线性系统的自持振荡,2020/5/1,电子信息工程学院,10,4、频率响应发生畸变,例：死区非线性特性,三、非线性系统的分析与设计方法,(1)相平面法,相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。该方法既能提供稳定性信息，又能提供时间响应信息，特别适用于分析非线性系统在不同初始条件下或非周期信号输入(脉冲、阶跃、斜坡等)作用下的瞬态响应特性。但相平面法只限于一阶、二阶系统的分析和设计。,(2)描述函数法,描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。特别适用于分析非线性系统的稳定性或自激振荡。,(3)逆系统法,2020/5/1,电子信息工程学院,11,常见的本质非线性,2020/5/1,电子信息工程学院,12,8.2相平面法,一、相平面的基本概念,系统运动的相变量(状态变量),相平面,不同的初始状态对应不同的相轨迹相轨迹簇。,2020/5/1,电子信息工程学院,13,8.2相平面法,一、相平面的基本概念,系统运动的相变量(状态变量),相平面,不同的初始状态对应不同的相轨迹相轨迹簇。,2020/5/1,电子信息工程学院,14,相平面法,根据相平面图分析系统的运动特征,2020/5/1,电子信息工程学院,15,描述系统自由运动的微分方程式为,该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、为半径的圆,分离变量积分得：,2020/5/1,电子信息工程学院,16,系统的开环传递函数,对单位阶跃输入,关于误差的微分方程为,由给定零初始条件得,2020/5/1,电子信息工程学院,17,二、相轨迹的性质：,（1）相轨迹上每一点斜率,相轨迹斜率,（2）相轨迹的奇点,2020/5/1,电子信息工程学院,18,（4）相轨迹的运动方向,2020/5/1,电子信息工程学院,19,三、相轨迹的绘制方法,（1）解析法,（2）等倾线法,基本思想：,等倾线：相平面上相轨迹具有相等斜率的点的连线。,该方程给出了相轨迹在相平面上任一点处切线的斜率。取相轨迹切线的斜率为某一常数，得等倾线方程：,对于线性系统，等倾线为直线，非线性系统的等倾线为曲线。,2020/5/1,电子信息工程学院,20,，,设，等倾线方程为,据此，求得取不同值时的等倾线：,2020/5/1,电子信息工程学院,21,在绘制相轨迹时，只要从初始点出发，沿着方向场依次连接各等倾线上的短线段。就得到系统在确定初始条件下的完整的相轨迹。由图可见，由任何初始状态出发的相轨迹是一卷向坐标原点的螺旋线。,使用等倾线法绘制相轨迹应注意：坐标轴小和应选用相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；一般地，等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确。但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使作图产生的积累误差增大。为提高作图精度，可采用平均斜率法，即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线间直线的斜率。,2020/5/1,电子信息工程学院,22,四、线性系统的相轨迹,一阶线性系统,一阶线性系统自由运动的微分方程：,稳定,不稳定,2020/5/1,电子信息工程学院,23,二阶线性系统,二阶线性系统自由运动的微分方程：,对应的特征方程的特征根,求其等倾线方程：,令,等倾线方程,等倾线斜率为：,两条特殊的等倾线：,等倾线斜率过等倾线的相轨迹的斜率,当相轨迹运动至特殊的等倾线时，将沿着等倾线收敛或发散渐近线,2020/5/1,电子信息工程学院,24,两条特殊的等倾线斜率满足：,二阶线性系统自由运动的微分方程所对应的特征方程的特征根,1、,2020/5/1,电子信息工程学院,25,发散,收敛,2020/5/1,电子信息工程学院,26,3、,取,（1）,相轨迹是以振荡的方式卷向平衡点,（2）,相轨迹是以非振荡的方式趋向平衡点,2020/5/1,电子信息工程学院,27,（3）,相轨迹是以非振荡的方式趋向平衡点,（4）,相轨迹为等幅振荡,2020/5/1,电子信息工程学院,28,（5）,（6）,2020/5/1,电子信息工程学院,29,（6）,总结：,2020/5/1,电子信息工程学院,30,3、奇点与极限环,（1）奇点,2020/5/1,电子信息工程学院,31,稳定焦点,不稳定焦点,稳定节点,不稳定节点,中心点,鞍点,2020/5/1,电子信息工程学院,32,尽量增大此类极限环的尺寸,尽量减小此类极限环的尺寸,稳定的极限环,不稳定的极限环,2020/5/1,电子信息工程学院,33,尽量增大此类极限环的尺寸,尽量避免此类极限环的存在,半稳定的极限环,半稳定的极限环,2020/5/1,电子信息工程学院,34,非线性系统的相平面分析（针对于本质非线性）,基本思想：分段线性化,继电型非线性元件特性,开关线：,2020/5/1,电子信息工程学院,35,设,等倾线方程,渐近线：,令,2020/5/1,电子信息工程学院,36,系统误差方程为,两个区域的相平面图关于原点对称,等倾线方程,2020/5/1,电子信息工程学院,37,初始状态(1，0),由A点开始，沿相轨迹曲线运动到开关线上的衔接点B；进入区，再从B点开始沿相轨迹曲线运动到分界线上的衔接点C；然后再进入I区，如此往复。经过如此的往返振荡，从理论上说系统状态最后收敛于原点(0，0)。系统运动曲线呈衰减振荡形式，静态误差为零。,2020/5/1,电子信息工程学院,38,设非线性环节输入输出描述为,当非线性环节的输入信号为正弦信号,8.3描述函数法,一、描述函数的基本概念,2020/5/1,电子信息工程学院,39,一般本质非线性均满足,非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。,2020/5/1,电子信息工程学院,40,非线性系统描述函数法分析的应用有三个条件：,1、非线性系统应简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式。,2、非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的。,3、系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。,2020/5/1,电子信息工程学院,41,二、描述函数的计算,关于描述函数的计算，具有以下特点：,为奇函数，且又为半周期内对称,描述函数为实数,2020/5/1,电子信息工程学院,42,输入信号,直流分量为零,继电特性的描述函数,2020/5/1,电子信息工程学院,43,典型非线性特性的描述函数：,理想继电特性,有死区的继电特性,有滞环的继电特性,有死区与滞环的继电特性,2020/5/1,电子信息工程学院,44,三、非线性系统稳定性分析的描述函数法,1.化简成标准形式,2