第七章应力状态和强度理论

第七章应力状态与强度理论,轴向拉压,同一横截面上各点应力相等：,同一点在斜截面上时：,同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同。,7-1应力状态的基本概念,一、单元体,微元单元体,单元体边长无穷小；应力沿边长无变化；单元体各个面上的应力是均匀分布的；两个平行面上的应力大小相等。,二、应力状态的概念,受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。,三、主单元体、主应力与主平面,主单元体：各侧面上切应力均为零的单元体。,主平面：切应力为零的平面。,主应力：主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,三、应力状态的分类,三个主应力中只有一个不等于0单向应力状态,三个主应力中有两个不等于0二向（平面）应力状态,三、应力状态的分类,三个主应力都不等于0三向（空间）应力状态,三、应力状态的分类,在车轮压力作用下，车轮与钢轨接触点A处的应力状态,7-2平面应力状态分析,一、平面应力状态分析的解析法,平面应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的单元体如图：,1、解析法求斜截面上的应力,左图中上述各项方向均为正方向,切应力的符号规定：若切应力对所在截面内侧任意点之矩为顺时针方向时，为正号，反之，逆为负号。,正应力的符号规定：正应力为拉应力，即方向背离截面时，规定为正；正应力为压应力，即方向指向截面时，规定为负。,斜截面方位角的符号规定：由x轴转向外法线n为逆时针转向时，为正号，反之，顺为负号。,通过截面外法线的方位定义截面的位置,1、解析法求斜截面上的应力,1、解析法求斜截面上的应力,对以上两个式子进行数学整理，可得到任意斜截面上的正应力和切应力的一般公式:,1、解析法求斜截面上的应力,2、应力极值,sa和ta随着a的变化而变化，是a的函数，对a求导数可得到其极值。,若a=a0时，导数为0,通过上式可以求出相差p/2的两个角度a0，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在平面。,若将a0的值代入切应力公式:,可得:,得到以下结论:,1)切应力为0的平面上，正应力为最大或最小值；,2)切应力为0的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主应力就是最大或者最小的正应力。,将a0代入sa的计算公式，,计算得到最大和最小正应力,2、应力极值,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,例题1：一点处的平面应力状态如图所示。,已知,解：,（1）斜面上的应力,（2）主应力、主平面,主平面的方位：,代入表达式可知,主应力方向：,主应力方向：,（3）主应力单元体：,课堂练习:求图示单元体斜面de上的正应力和切应力，主应力，绘出主单元体，单位MPa,例7-2,讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。,圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其数值为:,在圆轴表层，取出单元体。,例7-2,n1和n2是截面的法线。因此主单元体应如图所示,3个主应力按照代数排序,例7-2,圆截面铸铁试件扭转时，表面各点smax所在平面连成倾角为45的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。,例7-2,3、二向应力状态实例,取n-n截面，分析上面部分,承受内压的薄壁容器,取图示部分加以分析,如图示取一段微面积,微面积上的压力,压力在y轴上投影,和为,3、二向应力状态实例,3、二向应力状态实例,1、应力圆的概念,将以上两式取平方和,若以sa，ta为变量，则为圆方程,圆心:,半径:,圆周上的每一个点的横纵座标分别代表所研究的单元体某截面的正应力和切应力，故称应力圆，或莫尔圆。,二、平面应力状态分析的图解法,2、应力圆的绘制,Step1:确定点D(sx,txy),Step2:确定点D(sy,tyx)tyx=-txy,Step3:连接DD与s轴交于C点,Step4:以C为圆心，CD（CD）为半径画圆。,3、利用应力圆确定a截面上的正应力和切应力,作法:,D点代表的是以x轴为外法线的面上的应力,由x轴到任意斜面法线n的夹角为逆（顺）时针的a角，在应力圆上，从D点也按逆（顺）时针转动，且使对应的圆心角为2a。（2倍角关系）,注意根据两倍角关系确定主平面所在的位置。,4、利用应力圆求主单元体（主应力的大小和方位）,课堂练习:已知如图所示的单元体.求主应力，并确定主平面的位置。,1、三向应力状态的应力圆,如图所示三向应力状态的主单元体,考察图示的三棱柱体，斜面与前后面相垂直。,平行于s3的斜面上的应力，仅与s1和s2有关，则可由s1和s2所确定的应力圆上的相应点的坐标来表示。,同理单元体内与s1平行的各斜面上的应力可由s3和s2所作的应力圆上的坐标表示，单元体内与s2平行的各斜面上的应力可由s1和s3所作的应力圆上的坐标表示。,7-3三向应力状态的应力圆,1、三向应力状态的应力圆,研究表明:对于与三个主应力均不平行的任意斜面上的应力，它们在s-t坐标平面内对应的点必位于由上述三个应力圆所构成的绿色区域内。,2、三向应力状态的最大切应力,1、广义胡克定律的简单推导,前面谈到的胡克定律:,单向拉伸条件下杆件产生横向应变:,纯剪切情况下:,最一般情况下，描述一点的应力状态需要九个应力分量，如图所示:,根据切应力互等定理,则独立的应力分量只有六个。,7-4广义胡克定律,1、广义胡克定律的简单推导,对于各向同性材料:小变形及线弹性范围内，线应变只和正应力有关，与切应力无关；而切应变只和切应力有关，与正应力无关。利用叠加法可求得各方向上的线应变。,+,+,1、广义胡克定律的简单推导,利用同样的方法可以求得y和z方向上的线应变。最后可得:,切应变和切应力之间，与正应力无关，因此:,以上被称为广义胡克定律。,1、广义胡克定律的简单推导,对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：,当单元体的周围六个面皆为主平面时:,e1、e2、e3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。,1、广义胡克定律的简单推导,二向应力状态：,2、体积应变与体积模量,当单元体处在复杂应力状态时，其体积也将发生变化，如图所示:,变形前的体积:,变形后边长变化为:,体积变化为:,略去高阶微量:,单位体积的改变或体积应变为:,主应力平均值,体积弹性模量,2、体积应变与体积模量,例7-3在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到F=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，=0.30。,例7-3在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到F=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，=0.30。,在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为：,解：在柱体横截面上的压应力为：,F,柱内各点的三个主应力为：,求得：,由广义虎克定律：,例7-3在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到F=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，=0.30。,F,例边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。,解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：,联解可得：,受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：,利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：,则铜块的主应力为：,由此可得其体应变为：,物体在外力作用下发生弹性变形，外力所作的功将使物体积蓄变形能，当外力卸除后，此变形能释放并对外做功。,这种以弹性变形形式积蓄的能量被称为弹性变形能。,若外力作用方式是缓慢加载，变形在弹性范围内，则可忽略动能和其他能量损耗，而以外力作功的大小来计算弹性变形能的大小。,7-5空间应力状态下的应变能密度,三向应力状态下：单元体的应变能密度为：,代入广义胡克定律:,7-5空间应力状态下的应变能密度,物体的变形可以分成两个部分:1、体积改变2、形状改变。,将三向应力状态的主单元体分为两组:,=,+,7-5空间应力状态下的应变能密度,第一组应力sm为平均应力，在它的作用下单元体沿各方向均匀变形，无形状变化。由此引起的变形能密度，称为体积改变能密度。,由广义胡克定律解出em,代入变形能密度公式，并简化得,7-5空间应力状态下的应变能密度,第二组应力下单元体体积的改变量为0（可自己验证体积应变），而各边的变形不同，故只有形状改变。第二组应力引起的变形能密度称为形状改变变形能密度。,根据已经求得的vv和，,形状改变变形能密度和体积改变变形能密度的和是总的变形能密度。,7-5空间应力状态下的应变能密度,7-6强度理论及其相当应力,1、概述,1）单向应力状态：,图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破坏有两种形式：,塑性屈服：极限应力为,脆性断裂：极限应力为,此时，s、0.2和b可由实验测得。由此可建立如下强度条件：,或,2)纯剪应力状态：,其中n为安全系数。,图示纯剪应力状态，材料的破坏有两种形式：,塑性屈服：极限应力为,脆性断裂：极限应力为,其中，s和b可由实验测得。由此可建立如下强度条件：,3）复杂应力状态,来建立，因为与之间会相互影响。,研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。,对图示平面应力状态，不能分别用,4）材料破坏的形式,塑性屈服型：,常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：,脆性断裂型：,铸铁：拉伸、扭转等；,低碳钢：三向拉应力状态。,低碳钢：拉伸、扭转等；,铸铁：三向压缩应力状态。,例如：,例如：,可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关。,根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由同一因素引起，此即为强度理论。,脆性断裂：,塑性断裂：,5）强度理论,常用的破坏判据有：,下面将讨论常用的、基于上述四种破坏判据的强度理论。,2、四个常用的强度理论,强度条件：,1）最大拉应力理论(第一强度理论),假设最大拉应力1是引起材料脆性断裂的因素。不论在什么样的应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力1达到极限应力u，材料就发生脆性断裂，即：,可见：a)与2、3无关；b)应力u可用单向拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定。,实验验证：铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本相符。,存在问题：没有考虑2、3对脆断的影响，无法解释石料单压时的纵向开裂现象。,假设最大伸长线应变1是引起脆性破坏的主要因素，则：,u用单向拉伸测定，即：,2）最大伸长线应变理论(第二强度理论),实验验证：a)可解释大理石单压时的纵向裂缝；b)铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；c)对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于安全，但可用。,因此有：,强度条件为：,因为：,对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是由45斜截面上的切应力引起的，因而极限应力u可由单拉时的屈服应力求得，即：,3）最大切应力理论(第三强度理论),假设最大切应力max是引起材料塑性屈服的因素，则：,因为：,实验验证：,c)二向应力状态基本符合，偏于安全。,b)仅适用于拉压性能相同的材料。,由此可得，强度条件为：,a)仅适用于拉压性能相同的材料；,b)低碳钢单拉(压)对45滑移线吻合；,存在问题：,没考虑2对屈服的影响，偏于安全，但误差较大；,假设形状改变能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即：,4）形状改变能密度理论(第四强度理论),因为材料单拉屈服时有：,可通过单拉试验来确定。,所以：,又：,因此：,由此可得强度条件为：,实验验证：,a)较第三强度理论更接近实际值；,b)材料拉压性能相同时成立。,强度理论的统一形式：,最大拉应力(第一强度)理论：,最大伸长线应变(第二强度)理论：,最大切应力(第三强度)理论：,r称为相当应力，分别为：,形状改变能密度(第四强度)理论：,应用范围：,a)仅适用于常温、静载条件下的均匀、连续、各向同性的材料；,b)不论塑性或脆性材料，在三向拉应力状态都发生脆性断裂，宜采用第一强度理论；,c)对于脆性材料，在二向拉应力状态下宜采用第一强度理论；,d)对塑性材料，除三向拉应力状态外都会发生屈服，宜采用第三或第四强度理论；,e)不论塑性或脆性材料，在三向压应力状态都发生屈服失效，宜采用第四强度理论。,3、强度理论的应用,例两危险点的应力状态如图，=，由第三、第四强度理论分别比较其危险程度。,解：对图a所示应力状态，因为,所以：,对图b所示应力状态，有：,所以：,可见：由第三强度理论，图b所示应力状态比图a所示的安全；而由第四强度理论，两者的危险程度一样。,注意：图a所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组合加载对应的应力状态，其相当应力如下：,可记住，便于组合变形的强度校核。,由第三强度理论，有：,例利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈服应力s和拉压屈服应力s之间的关系。,当=s时材料发生屈服，因此有：,解：图示纯剪应力状态的主应力为：,而当材料拉压屈服时有：,由此可得：,利用第四强度理论，有：,即，,纯剪：,单拉：,由此可得：,例两端简支的工字钢梁承受荷载如图a所示。已知材料（Q235钢）的许用应力为=170MPa和=100MPa。试按强度条件选择工字钢号码。,解：首先确定