第3章模糊4-7

3.4F集与普通集的相互转换,1F集的-截集,定义1设AF(U),01(1)=,称为A的一个-截集,称为阀值(或置信水平)；,由定义，与都是U的子集，它们均为普通集。,(2)=,称为A的一个-强截集。,所以A的截集族，(0,1)都是其集合一个“套”一个的集合族，如图3-16。,由的定义可推知，若，则，如上图所示。,例1设A=，则,A0.5=u3,u4,u5，=u3,u5,定义2设AF(U),记SuppA=x|xU,A(x)0,KerA=x|xU,A(x)=1SuppA与KerA分别称为A的支集与A的核。当KerA时，称A为正规模糊集。,例2对例1给出的F集,若取U=u1,u2,u10，则SuppA=u1,u2,u3,u4,u5，KerA=u3因KerA,故A为正规F集。,2.分解定理,定义3设0,1,AF(U),记(A)(u)=A(u)称A为与A的数积。,定理1(分解定理)设AF(U),则A=,=,证明对uU,有()(u)=(u),=,=,=A(u),故A=,同理可证分解定理:定理2(分解定理)设AF(U),则A=,说明:(1)若A为普通集,则(A)(u)=A(u)=A(u)=A(u)其中A(u)为A的特征函数。,(2)可将-截集写为F集的形式,如对例1中的A，有A0.5=,的F集的形式为=,如对例1中的A，有0.5A0.5=,证明不妨设12n(4.1),例3若A中隶属度只有n个不同值1,2,n，证明A=12n,对满足12的,有(4.2),=(4.3),因1,所以有1,同理,对ii+1(i=1,2,n-1)及n0的,有,=,nAnA=n,而对大于1的A=。所以由分解定理1可得,=12n,由(4.3):,例1对下列A，试验证分解定理1。,A=,解取A的-截集,我们得到A1=u3，A0.7=u3,u4A0.6=u2,u3,u4，A0.5=u1,u2,u3,u4A0.3=u1,u2,u3,u4,u5,按说明（3）可将写成模糊集的形式：1A1=，0.7A0.7=0.6A0.6=,0.5A0.5=,0.3A0.3=,于是=1A10.7A0.70.6A0.60.5A0.50.3A0.3,=+,=A,+,这便验证了分解定理1。,3.5扩展原理与模糊数,一.扩展原理,定义1（扩展原理）设U,V为两个论域，f是由U到V的映射f：UV,由f可诱导出一个新的映射（仍记作f）f：F（U）F（V），Af(A)，,f(A)(y)=,由f可诱导出另一个新的映射,记作f1：F(V)F(U)，Bf1(B);f1(B)(x)=B(f(x),定理3设f：UV,AF(U),则,证明对yV,若f1(y),则=(f()(y),=f()(y),=（()(x)）,=A(x)=f(A)(y)若f1(y)=,结论显然成立。,=(A(x),=(A(x),例1给定从U=1,2,6到V=a,b,c,d的映射f：UV如下:,f(u)=,设A=，由扩展原理,f(A)(a)=A(u),=A(1)A(2)A(3)=1,同理,f(A)(b)=A(u)=A(4)A(5),=00.1=0.1f(A)(c)=A(u)=A(6)=0.9f(A)(d)=A(u)=0,所以f(A)=,则由f-1(B)(u)=B(f(u)直接得出,又设B=,f-1(B)=,二模糊数,平常所说的一个数，比如4，它对应于实数轴上的一个点集4，这个单点集的隶属函数如图3-18（1），这是严格数学意义上的数。在实际问题中，要描述一个量，有时与其用数轴上的一个点还不如用数轴上的一个区间更接近实际。比如我们说某类生长5年的树的高是4米，不如给出一个3.8-4.2的区间，即用所谓的区间数来描述树高。,所谓模糊数是指实数论域上的一类特殊的模糊集。这里我们只从数的实际扩张加以介绍，而不准备给出严格定义。,而在实际上，如果我们对这种植物作了大量的抽样测量,统计株高的实际分布情况,可能得到是图3-18的(3)的图像。它是一个模糊集的隶属函数，以4这一点隶属度最大（为1），向两边隶属度逐渐变小，我们可以称其为模糊数大约4。,误差为零，正大，负大的模糊量可分别表示成如图3-19中的三个模糊数，它们均是三角形模糊数。,模糊数的隶属函数可从统计获得，也可以根据实际问题具体设定。在模糊控制中常采用三角形模糊数，即把模糊数的模糊边沿设计成直线段，这样便于计算。如论域为某一被控量（温度，流量等）的误差，则,3.6模糊模式识别,对某个具体对象识别它属于何种类型的问题,称为模式识别。用模糊数学的方法对事物进行识别和分类，这就是模糊模式识别。,一模糊集的贴近度,定义1设A,B,CF(U),若映射N：F(U)F(U)0,1满足条件：N(A,B)=N(B,A);N(A,A)=1;若ABC，则N(A,C)N(A,B)N(B,C),则称N(A,B)为模糊集A与B的贴近度。,常用的贴近度有:1汉明贴近度,设U=u1,u2,un,则,当U为实数域上的闭区间a,b时，则有,N(A,B)=1-,N(A,B)=1-,2.欧几里得贴近度设U=u1,u2,un,则,N(A,B)=1-,当U=a,b时，则有,N(A,B)=1-,3.最小最大贴近度N(A,B)=,4.最小平均贴近度N(A,B)=,5.内、外积贴近度,N(A,B)=(AB)(AB)C,其中AB=（A(x)B(x)）为A,B的内积；AB=（A(x)B(x)）为A,B的外积。,例1设论域为实数集R。A,BF(R)是具有正态隶属函数的F集，A(x)=，B(x)=。试用内、外积贴近度求N(A,B)。,A(x)=，B(x)=。,解首先从图中知AB=(A(x)B(x)=0。,而由内积的定义知AB应为两曲线交点的纵坐标，即AB=A(x0),其中x0介于,之间且适合方程=（6.1）,=,由(6.1)解出x0=,于是,N(A,B)=AB=,二.隶属原则给定n个模型,它们表示论域U上的模糊集A(1),A(2),A(n)F(U),u0U,是一个待识别的具体对象。我们可根据下述隶属原则断定u0属于哪一个模型。,隶属原则给定A(i)F(U),i=1,2,n,又u0U,如果A(i)(u0)=maxA(1)(u0),A(2)(u0),A(n)(u0)那么可以认为u0应划归A(i)这一类。,例2三角形的识别。令所有待考察的三角形构成论域U，即U=(A,B,C)|ABC,A+B+C=180O其中A,B,C分别代表三角形三内角的度数，从大到小排列。设有四个模型：等腰三角形I、直角三角形R、正三角形E、非典型的三角形T。,正三角形E的隶属函数为E(x)=1-(A-C),等腰三角形I的隶属函数为I(x)=1-minA-B,B-C,直角三角形R的隶属函数为R(x)=1-,非典型三角形T,有:T=(EIR)c=EcIcRc,考察一个具体的三角形u1=(63,59,58),计算它对四个的F集的隶属度，得E(u1)=0.9722，I(u1）=0.9833，R(u1)=0.7，T(u1)=Ec(u1)Ic(u1)Rc(u1)=0.0167。按照隶属原则，应把u1判定为近似于等腰三角形。,再考察另一个具体的三角形u2=(91,45,44),计算出E(u2)=0.7389,I(u2)=0.9833,R(u2)=0.9889,T(u2)=Ec(u2)Ic(u2)Rc(u2)=0.0111。按照隶属原则，应把u2判定为近似于直角三角形。由于I(u2)R(u2)所以也可把u2判定为近似等腰三角形。,三.择近原则,择近原则设A(i),BF(U),i=1,2,n。若存在i，使N(A(i),B)=maxN(A(1),B),N(A(2),B),N(A(n),B)则认为B与A(i)最贴近,即判B与A(i)为一类,该原则称为择近原则。,例3点阵文字的识别。点阵文字是拉丁字母及阿拉伯数字的一种表示法。所谓点阵文字就是将每个字母和数字等分成mn个小方格，然后在每个小方格中或者填上全黑色，或者空成全白色.,例如上图中，前者是字母H，后者是数字6。这里我们将每个字符等分成75=35个小方格。约定把暗色小方格记作1，白色小方格记作0，并按照先从左到右，后从上到下的次序把35个小方格排成行向量，于是,H=（10001100011000111111100011000110001）6=(11110100001000011111100011000111111),这些向量是标准的,每个小方格或者全黑,或者全白,所以把这样的向量叫做标准向量。然而，实际上由于打印时着色不均匀以及可能产生的污点，会使实际的点阵文字变成非标准的，通过传感器所获得的信息就不会和标准向量一致。,使用电脑识别点阵文字时，通常总是把37个标准向量置于内存中，这些标准向量包括26个字母A,B,Z，10个数字0,1,9和1个空白符号。对于每个待识别的点阵文字,则通过光电输入接受每个小方格的信息,由于打印的缺陷,这些信息不一定为0或1,往往介于0,1之间。我们把打印缺陷等偶然因素叫做噪声。我们要解决的问题是消除噪声干扰，获得正确的识别结果。,以下是PPWang等人曾经用过的方法。设=(1,2,35)，i0,1，为待识别的点阵文字向量，,，0,1，j=1,2,37为标准向量。,计算数值N(A(j),)=(6.2),再取最大者，比如N(A(4),)最大，则可认为=A(4)。其中（6.2）式也是一种计算贴近度的公式,它虽然不满足贴近度的全部要求,但用作贴近度的近似公式还是有效的。实验结果为：在噪声达到31.43%的情况下,正确识别率大于90%。,3.7模糊关系,1.普通关系,定义1给定集合A和B，笛卡尔积AB的子集R称为A到B的关系，简称为关系。若R为关系，当(a,b)R时,称a,b适合关系R,记作aRb；否则称a,b不适合关系R,记作,ab。A到A的关系也称为A上关系。,例如，设A为某校全体学生的集合，R为A上同班关系，若R=(张,王),(王,张),(张,李)，则表示张与王同班，张与李同班。,若A,B为有限集或可数无限集,A到B的关系可用关系矩阵来表达。设A=a1,a2,an，B=b1,b2,bmR为A到B的关系,R的关系矩阵定义为：,例1设A=a1,a2,a3，B=b1,b2,b3,b4，A到B的关系R与A上关系S,分别为R=(a1,b1),(a1,b3),(a2,b2),(a3,b2),(a3,b4)S=(a1,a1),(a1,a3),(a2,a2),(a3,a1)则,M(R)=，,M(S)=,定义2设R为非空集合A上的关系。,(i)若对aA,有aRa，则称R有自反性；,(ii)若对a,bA,当aRb时,必有bRa，则称R有对称性；(iii)若对a,bA,当aRb,bRa时，必有a=b，则称R有反对称性；,()若对a,b,cA,当aRb,bRc时，必有aRc，则称R有传递性；()若R同时具有自反性,对称性和传递性,则称R为A上等价关系。,例2(1)设R为实数集,R上的=关系具有自反性,对称性,反对称性和传递性,是R上的一个等价关系；,R上的关系具有自反性反对称性和传递性，不是等价关系。,(2)设P为中国人的集合,则P上的同姓关系有自反性,对称性和传递性是P上的一个等价关系；,P上朋友关系仅有自反性和对称性，不是等价关系。,例2,(3)设A=1,2,3,A上关系R=(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)可验证,S=(1,1),(1,2),(2,3),R有自反性,对称性和传递性是一个等价关系；,S仅有反对称性，不是等价关系。,定义3设R为非空集合A上的等价关系，xA,A的子集xR=y|yA并且xRy称为x关于R的等价类，简称x的等价类或等价类。x称为此等价类的代表元。xR可简记为x。,例3(1)设R为中国人的集合P上的同姓关系，则张三=y|yP并且张三与y同姓=y|yP并且y姓张,例3,(2)设R为整数集合Z上的模3同余关系，即R=(x,y)|x,yZ并且xy(mod3)可验证R为Z上等价关系，有,0=3n|nZ,1=3n+1|nZ,2=3n+2|nZ,等价类的性质：设R为非空集合A上的等价关系，则(1)xA,x；(2)x,yA,或x=y，或xy=;,(3)x=A,定义4若集合A的子集族(P(A)具有性质:(1)；(2)Ai,Aj,若AiAj,则AiAj=;(3)Ai=A。则称为A的一个划分，中的元素称为划分块。,例取A=1,2,3,4，1=1,2,3,4是A的一个划分；,2=1,3,4,3=1,2,2,3,4均不为A的划分。,下面的定理给出了等价关系与划分的关系。,定理4(1)设R为非空集合A上的一个等价关系,A/R为A的所有等价类构成的集合(称为商集),则A/R是A上的一个划分。(2)设为A的一个划分,关系R=(x,y)|x,yA,并且x与y同块是A上等价关系，并且R的商集A/R=。,例如，对例3(1)中的关系R,P/R=张三,李四,王五是P上的一个划分；对例3(2)中的R,Z/R=0,1,2是Z的一个划分。,定理4表明等价关系具有聚类功能，并且等价关系与划分一一对应。,2.模糊关系,定义5给定论域U,V,笛卡尔积UV上的F集RF(UV)称为U到V的一个模糊关系,隶属度R(u,v)称为u,v对关系R的相关程度。当U=V时，R又称U上的模糊关系。模糊关系简称为F关系。,例4设U=u1,u2,u3表示赵，钱，孙三人的集合，V=v1,v2，表示两种文学作品A和B的集合。,R=+,确定了一个从U到V的F关系。其中R（u1,v1）=0.9,表示赵对作品A相当熟悉；R=u2,v2=0.1,表示钱对作品B不太熟悉。,例5设论域U为实数轴。U上远远大于关系R是U上F关系，其中,R(x,y)=,与普通关系一样，当U,V有限时,U到V的关系R也可用矩阵来表达。若U=u1,u2,un，V=v1,v2,vm，则R可表为：,R=,如例4的R可表为,说明:(1)如(7.1)这样的其元素由0,1中的数组成的矩阵,我们也称它为模糊矩阵,或F矩阵。,R=(7.1),(2)F矩阵既然是有限论域上的F关系的一种表达形式，因此F矩阵的运算，截矩阵等等都可以沿用F集的有关规则。例如，对(7.1)式的F矩阵的0.8截矩阵为,R0.8=,若用集合表达,则R0.8=(u1,v1),(u1,v2),(u3,v2)。,一些特殊F关系(或F矩阵)设R为U到V的F关系。,(1)R的补Rc:Rc(u,v)=1-R(u,v),(u,v)UV。,(2)R的转置矩阵(关系)RT:RT(u,v)=R(v,u),(u,v)UV。,(3)恒等关系I:若X上的模糊关系I满足I(x,y)=则称I为X上的恒等关系。,(4)零关系O：若U到V的F关系O满足O(u,v)=0,(u,v)UV则称O为U到V的零关系。,(5)全称关系E：若U到V的模糊关系E满足E(u,v)=1,(u,v)UV则称E为U到V的全称关系。,F关系的运算对任意模糊关系R,S，Ri均有,(1)(Rc)c=R；(2)(RT)T=R；,(3)RE=E，RE=R；,(4)RO=R，RO=O；,(5)ORE；,(6)=,=；,(7)若RS,则有RcSc。,3F关系的合成(1)普通关系的合成,设R为A到B的关系，S为B到C的关系，R与S的合成RS是一个A到C的关系，定义为RS=(a,c)|bB,有aRb且bSc,例6设A是所有人的集合。R为A上兄弟关系，S为A上父子关系，若有,a(RS)c,则存在bA，有aRb（表明a是b的哥哥）和,bSc（表明b是c的父亲），,因此a是