第五章-连续系统的S域分析.ppt

5.1拉普拉斯变换,一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。,相应的傅里叶逆变换为,Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。,二、收敛域只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。,解：,例1因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯变换。,可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。,解：,例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。,可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其收敛域为Res-2、(t)或11/s,Re(S)03、(t)1，Re(S)-4、t(t)1/s2,Re(S)0,解：,例5.15求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的象函数,若s0为实数，令s0，则有,若s0为实数，令s0j，则有,5.2拉氏变换的基本性质,拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于ROC的讨论。,1.线性（Linearity）：,若,当与无交集时，表明不存在。,例.,2.时移性质（TimeShifting）:,若,3.S域平移（Shiftinginthes-Domain）:,表明的ROC是将的ROC平移了一个。,例.,显然,4.时域尺度变换（TimeScaling）:,若,则,当时收敛，时收敛,例.,求的拉氏变换及ROC,可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在S平面上作相反的尺度变换。,特例,包括,5.卷积性质:,显然有:,例.,ROC扩大,原因是与相乘时，发生了零极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边界上时，就会使收敛域扩大。,6.时域微分:（DifferentiationintheTimeDomain）,7.S域微分:（Differentiationinthes-Domain）,答案,8、时域积分特性（积分定理）,若f(t)F(s),Res0,则,已知后者，也可推出前者,例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s),9、初值定理和终值定理,初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t),初值定理设函数f(t)不含(t)及其各阶导数，,终值定理若f(t)当t时存在，并且f(t)F(s),Res0,？,0,5.3拉普拉斯逆变换,直接利用定义式求反变换-复变函数积分。,比较困难,通常的方法:（1）查表法（2）利用性质（3）部分分式展开-结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为,若mn（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。,由于L-11=(t)，L-1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式（m0,分析因果信号两种变换的关系,设Res0,(1)00;收敛域在虚轴右边，在s=j处不收敛，傅立叶变换不存在,这时有：,(1)00;收敛域包含虚轴，在s=j处收敛，傅立叶变换存在。,例如：,其傅立叶变换为,分析：因为00，所以在虚轴上有极点，即F(s)的分母多项式A(s)=0必有虚根。设A(s)=0有N个虚根（单根）j1,j2,jn,将F(s)展开成部分分式，并把它分成两部分，极点在左半平面的部分令为Fa(s)。则有,(1)00;在虚轴上不收敛。,因为,如令L-1Fa(s)=fa(t),则上式的拉