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1,第五章留数,洛朗级数的正幂项部分解析部分负幂项部分主要部分（无限部分）其中（z-z0）的负一次幂的系数a-1具有特别重要的地位，因为专门起了一个名字叫函数在奇点z0点的留数。,2,奇点的分类：在洛朗展开的负幂项部分分三种情况（围绕孤立奇点）（1）没有负幂项n=0可去奇点（2）有限个负幂项n=m极点（3）无限个负幂项n=-本性奇点（1）如果z0是函数的可去奇点，则展开级数为这个值是有限的，就是说函数在可去奇点的邻域上是有界的，可去奇点不作为奇点看待,第五章留数,3,例子：可见0/0型的函数对应的可能是可去奇点。（2）如果z0是函数的极点，则显然m叫着z0点的阶，一阶的极点称为单极点。,第五章留数,4,第五章留数,（3）如果z0是函数的本性奇点则此时函数在z0点的极限值随z趋近于z0的方式而定如果函数在无限远点的邻域上是解析的则上式中负幂项叫着解析部分，正幂项是主要部分但函数在无限远点的留数却定义为z的负一次z-1幂项的系数的反号，即a-1,5,第五章留数,5.2留数定理柯西定理指出，如果被积函数在回路L所围区域上解析，则如果L包围着函数的一个孤立奇点z0，则在去心环域上，可以展开函数为,6,第五章留数,由以前的关系可知，上式两边除k=-1项外均为零即留数（或残数）记为这样上式积分如果L包含n个孤立奇点,7,【1】留数定理设函数在回路L所围的区域B上除有限个孤立奇点外都是解析的，在边界上连续，则以上讨论限于有限远点，如果包含无限远点，可得到函数在全平面上的各点的留数之和等于零这里奇点包括无限远点和有限远的奇点。,第五章留数,8,第五章留数,【2】留数的计算一般原则来讲，把函数在环域上展开为洛朗级数，取它的负一次幂的系数即可但是，如果能不做展开，而直接计算留数更方便（1）如z0是函数的单极点则,9,第五章留数,上述可计算单极点留数，也可判断z0是否是函数的单极点若P(z),Q(z)都在z0点解析，但z0是Q（z）的一阶零点p(z0)不等于零则,10,第五章留数,（2）如果z0是m阶极点利用上式可以判断z0是否是m阶极点,11,第五章留数,以上介绍了留数的计算方法总结：利用留数定理计算回路积分的步骤（1）判断极点类型（2）计算留
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