波动2011formath

1/37,第15章机械波,15.1弹性体弹性形变15.2机械波的产生15.3一维简谐行波15.4波动方程与波速15.5能流密度15.6惠更斯原理波的衍射、反射和折射15.7波的干涉驻波15.8多普勒效应15.9声学简介,2/37,15.1弹性体弹性形变,一、波动介绍,波定义：波是振动或场在空间的传播。波动现象：水波、声、光、无线电波、电视信号等等。生态问题、疫病传染、谣言扩散、神经脉冲等等也涉及到波现象。,具有一定的传播速度；伴随着能量的传播；能产生反射、折射、干涉和衍射等现象；有相似的波动方程。,特征,分类,机械波、电磁波、物质波；横波、纵波,形变:物体在外力作用下,其形状或体积发生变化。,弹性形变：外力撤销，恢复到原来大小和形状。弹性体,塑性：不能完全恢复,3/37,二、线变,线变:沿轴向施加外力,长度发生改变,称为线变。,应力:外力(F)除以横截面积(S):=F/S,胡克定律:,Y:杨氏模量,三、切变与体变,切变:侧面受力发生的形变,称为切变。剪切角记为,G：切变模量,4/37,一、机械波的产生,15.2机械波产生,(2)质元并未“随波逐流”,波的传播不是媒质质元的传播;,(3)“上游”的质元依次带动“下游”质元振动;,(4)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现-波是振动状态的传播,(5)同相点-质元的振动状态相同,(1)机械波的产生条件：波源+媒质,5/37,二、波的几个概念,球面波,各向同性介质点源,柱面波,面源：平面波,线源,波形图（波形曲线）,t时刻,x：质元平衡位置的坐标y：质元相对x的位移,yx曲线：波形图；波形曲线,振动曲线：yt曲线,波射线(波线):,等相面、波阵面、波前,波面:,t+dt时刻,沿波传播方向的射线,同一波源向外传播的波同时到达的空间点连成的曲面,常见波面,6/37,三、波的特征量,1.波长:两相邻同相点间的距离（空间周期）波矢：,2.波的频率:媒质质点(元)的振动频率(波源振动频率），亦即单位时间传过媒质中某点的波的个数,3.波速u:单位时间波所传过的距离,波速又称相速度(相位传播速度),o,x,t,y,问题:波长频率波速分别由什么决定?,7/37,四、波是相位的传播,沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。,图中b点比a点的相位落后,8/37,15.3一维简谐行波,一、简谐波的波函数,1、简谐波的概念,波源作简谐振动，波动所到之处的各个质点也在作简谐振动，相应的波称为平面简谐波，或称为简谐波。,2、简谐波的波函数,讨论:沿+x方向传播的一维简谐波(u,),假设:媒质无吸收(质元振幅均为A),问题:已知坐标原点振动方程，求P点振动方程,9/37,yO(t)=Acos(tO),原点O的振动表达式为,P:,t时刻的振动状态是t-x/u时刻O点的振动状态,讨论1:波函数的常见形式,10/37,讨论2:沿-x方向传播的一维简谐波(u,),一般情况下，一维简谐波的波动表达式为（-代表正向传输的波，+代表反向传输的波）,11/37,由y(x,t)cos(t-kx+0)从几方面讨论,1.固定x,(x=x0),2.固定t,(t=t0),二、简谐波表达式的物理意义,3.波速的物理意义,令(t-kx+0)=常数，对时间求导有,波速为波面的传播速度，即相速！,4.表达式还反映了波的时间、空间双重周期性,12/37,例：,已知：图示为波源（x=0处）振动曲线,且波速u=4m/s,方向沿x轴正向.,求：t=3s时波形曲线（大致画出）,解：,4,8,12,13/37,例：沿x轴正向传播的平面简谐波，振幅为A=1.0m，周期T=2.0s，波长=2.0m。t=0时刻，坐标原点处的质点恰好从平衡位置向轴正向运动，求:(1)波函数；(2)t=1.0s时刻的波形图；(3)x=0.5m处质点的振动曲线；,解：,(1),波函数,(3),(2),14/37,15.4-5波动方程与波速能量密度,一、波动方程的形式,将波函数,对t和x求二阶导数，得,平面波的波动方程,物理学中最重要的方程之一.,15/37,二、波动方程的推导,x、x+dx处的弹力为,研究对象:一小段ab,长为dx,牛II,纵波波速,16/37,三、波的能量,1、波的能量,定性分析：,选择一个质元,质元在振动-动能,质元有形变-势能,同一时刻各质元的振动和形变不同，对应的能量状况也不同，波的能量在介质中有一分布,波的传播是振动和形变的传播，也是能量的传播,能量是如何分布、如何传播？,质元的动能,x处质量为dm的质元，其动能为,17/37,x处质量为dm的质元，其势能为,质元的总能量,结论：,1）质元中的能量是随时间变化的，波动过程是一个能量传播的过程。2）波动过程中，质元中的动能与势能“同相”-同时达到最大，同时达到最小。,18/37,2）波动过程中，质元中的动能与势能“同相”-同时达到最大，同时达到最小。3）简谐振动系统中，势能和动能相互转化，内力做功，机械能守恒。简谐波动系统中，势能和动能相等，外力做功,机械能不守恒。,以绳波为例,2、波的能量密度,定义：单位体积介质中的能量就是能量密度,平均能量密度:一个周期内的能量密度的平均值,19/37,3、能流,定义：单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流,平均能流,4、平均能流密度描述能流的空间分布和方向,定义：通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流，称为平均能流密度，又称为波的强度。,5、波的吸收,振幅的减少-dA与入射波振幅A及介质厚度dx成正比,：介质的振幅吸收系数,20/37,15.6惠更斯原理波的反射和折射,一、惠更斯原理,1、惠更斯原理,介质中波动传播到的各点都可看作是发射球面子波的波源；而在其后的任意时刻，这些子波的包络面就是新的波面。,1）当波动在各向同性均匀介质中传播，各子波在各方向传播速度都相同，用惠更斯原理求出波阵面几何形状不变，波线不发生偏折(波的传播方向不改变),2）当波动在非均匀介质中传播，各子波在各方向传播速度不同，用惠更斯原理求出波阵面几何形状可能变化，波线发生偏折(波的传播方向改变)，如衍射、折射,3）惠更斯原理只能解决波的传播方向问题，可以解释波的反射、折射、衍射。不能给出传播方向上波强度的分布。,21/37,二、波的衍射,1、波的衍射现象,波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘继续前进的现象叫做波的衍射现象。,2、用惠更斯原理解释波的衍射现象,靠近狭缝的边缘处，波面弯曲，波线改变了原来的方向，即绕过了障碍物继续前进。,22/37,三、波的反射与折射,反射波与入射波在同一介质中，传播速度相同，同一时间内行进的距离相等，,折射波与入射波在不同的介质中传播，波速不同，在同一时间内行进的距离不等。,23/37,15.7波的干涉驻波,媒质中同时有几列波时,每列波都将保持自己原有的特性(传播方向、振动方向、频率等),不受其它波的影响。,1.叠加原理,当几列波在空间相遇，在相遇区域内每一点的振动位移等于，各列波独立传播时，在该点引起的振动位移的矢量和。,一、波传播的独立性,二、波的叠加原理,以波独立传播为基础，选台、辨声，不同于粒子的碰撞。,以振动迭加为基础。,适用于强度小的波，不适用于激光、地震、爆炸。,24/37,三、波的干涉,相干波,频率相同、振动方向相同、恒定相位差,s1,s2,p,r1,r2,波源s1和s2产生波的波动方程,P点振动方程,相位差,与t无关,波程差,25/37,波场中确定点有确定的相位差，形成稳定的强度分布干涉,波场中的强度分布,干涉项,相长干涉,相消干涉,干涉使能量重新分布,如果,相长干涉,相消干涉,讨论,(1),(2),(3),26/37,例两个同频率波源S1和S2相距l/4，其振动的初相差j1-j2=p/2，振幅都等于A0。在通过S1和S2的直线上，S2外侧各点合振动的合振幅为多大？S1外侧各点的合振幅又为多大？,S1,S2,P,r2,r1,解：,S2外侧任一点P,两列波在S2外侧任一点引起的振动都是同相位的，合振动的振幅为A=2A0，在S2外侧传播的是一列加强了的波,S1外侧任一点Q,两列波在S1外侧任一点引起的振动都是反相的，合振动的振幅零，在两波源的连线上没有向S1外侧传播的波,27/37,四、驻波,两列相干波，振幅相同，传播方向相反（假定初位相为0）叠加而成驻波。,振幅,称为波节,波腹位置,1）当,称为波腹,2）当,波节位置,28/37,驻波的特点,（1）振幅特点,行波：各质元的振幅相等,驻波：,各质元的频率相等，（行波、驻波）,（3）位相特点,行波中沿传播方向各质元位相依次落后，位相传播,驻波位相不传播,相邻两个波节之间各质元位相相同,同一波节两侧各质元位相相反,（4）能量特点,行波的传播是能量的传播,驻波不传播能量，两列波平均能流相等，方向相反，叠加后为零,波形不传播,相位不传播,能量不传播,（2）频率特点,29/37,五、相位跃变（半波损失）,全波反射：波从波疏媒质(密度与波速乘积小）反射回来，则在反射处，反射波的振动相位与入射波的相位相同,半波损失：波从波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射回来，在反射处发生了的相位突变,30/37,15.8声波,一、声波,（可闻）声波：,次声波,超声波,声强级：,单位：dB（分贝）,声强与频率的平方和振幅的平方成正比。超声波：频率高声强大；炮声：振幅大声强大,应用：研究地球、海洋等大规模运动；预报火山爆发、地震等。军事侦察；次声波有杀伤性。,10420Hz机械波，衰减极小；,次声波,火山爆发、地震、磁暴等大规模自然活动中产生次声波；,31/37,15.9多普勒效应,多普勒效应:,若波源或接受器，或两者同时相对介质运动，则接受器接收到的的频率和波源的振动频率不同。这种现象称为多普勒效应。,32/37,一、关于,u：与介质和波的类型有关，与波源无关,波一旦从振源发出就忘记了自己的来源,：一个完整波形在介质中沿波线展开的长度,v：介质中某点单位时间内振动的次数,三种频率：,波源振动的频率vs,介质中某点振动的频率v,探测器探测的频率vR,单位时间通过波线上一固定点完整波形的个数,振源、探测器的相对运动状态影响探测到的频率,33/37,二、多普勒效应,以下讨论以介质作参考系,波源的运动速度vS，振动频率vS,探测器的运动速度vR，探测到的频率vR,(1)波源和探测器都静止,(2)波源静止，探测器运动,R向源S靠近时,t+t时刻的波阵面,t时刻波阵面,R远离源S时,相当于波速增加,34/37,(3)探测器静止，波源运动,源S向探测器R靠近时,源S远离探测器R时,相当于波长变短,(2)波源静止，探测器运动,35/37,(4)探测器、波源都运动,