第十一章 动荷载 交变应力

材料力学(II),2020年5月1日,中国地质大学工程学院力学课部,第11章动荷载交变荷载,11.1概述,11.2构件有加速度时动应力计算,11.3构件受冲击时动应力计算,11.4交变应力疲劳极限,11.5钢结构构件疲劳计算,11.1概述,动荷载：随时间作急剧变化的荷载以及作加速运动或转动的系统中构件的惯性力。,构件在交变应力作用下，其内部裂纹形成并扩展，直至构件断裂的过程称为疲劳。构件破坏所经历的应力循环次数称为疲劳寿命。,交变应力：随时间作重复交替变化的应力。,3.疲劳破坏是突然发生的，构件破坏前无明显的塑性变形，不易为人们察觉。,疲劳破坏比静荷破坏较为危险的原因:,1.疲劳破坏所需的应力较小,通常不及静荷破坏应力的一半。,2.疲劳破坏是一种局部现象,材料组织不均匀、缺口、腐蚀、残余应力、构件表面光洁度等因素对疲劳破坏影响较静荷破坏大许多。,因此，处于交变应力下的构件应进行疲劳强度校核。,动荷载问题通常仍使用静荷载问题的计算公式，但需作相应的动荷修正，即,式中:d是动荷应力,st为静荷应力,Kd为动荷因数。,故处理动荷问题的关键是寻找正确的Kd。,11.2构件有加速度时动应力计算,在构件运动的某一时刻，将分布惯性力加在构件上，使原来作用在构件上的外力和惯性力假想地组成平衡力系，然后按静荷作用下的问题来处理。,计算采用动静法,例题：匀加速起吊一根杆件（图a），杆的长度为l，横截面面积为A,材料的密度为，加速度为a。试求距杆下端为x的横截面上的动应力d。,解：取距下端为x的一段杆为分离体，作用于这段杆上的重力沿杆轴均匀分布，其集度为Ag，惯性力也沿杆轴均匀分布，其集度为Aa，指向与a指向相反。于是，可按静荷问题求得横截面上的轴力FNd。,例题图,得,从而可得横截面上的动应力为,由分离体平衡方程,是动荷因数,例题：一平均直径为D的薄壁圆环，绕通过其圆心且垂直于环平面的轴作等速转动（图a)。已知环的角速度、环的横截面面积A和材料的密度，试求圆环横截面上的正应力。,解：因环壁很薄，可认为环内各点的向心加速度都与环轴线上各点的向心加速度相等。根据动静法，作用于环上的惯性力必然为沿环轴线均匀分布的线分布力，其指向远离转动中心（图b)。,沿环轴线均匀分布的惯性力集度qd为,将环沿一直径假想地截分为二，并研究留下的半环（图c)的平衡。半环上的惯性力沿y轴方向的合力为,其作用线与y轴重合。,由于环壁很薄，可认为在环的横截面m-m或n-n上各点处的正应力相等；又由对称关系可知，两侧横截面上的正应力必组成相等的合力FNd。,于是，横截面上的正应力d为,由平衡条件，求得FNd为,解：飞轮的惯性力矩为,(1),式中，I0为飞轮的转动惯量，为角加速度。,(a),例题：直径d=100mm的圆轴，一端有重量P=0.6kN、直径D=400mm的飞轮，以均匀转速n=1000r/min旋转（图a)。现因在轴的另一端施加了掣动的外力偶矩Me，而在t=0.01s内停车。若轴的质量与飞轮相比很小而可以略去不计，试求轴内最大动切应力d,max。,在掣动时，若为匀减速旋转，则，,(3),沿与相反的转向，将Md作用于轴上（图b），得到一个假想的平衡力偶系。可得轴横截面上的扭矩Td为,而，故代入式(1)，得,(2),轴的最大动切应力d,max为,(4),飞轮的转动惯量,将已知数据代入式（4），得,例题：一长度l=12m的16号工字钢，用横截面面积为A=108mm2的钢索起吊，如图a所示，并以等加速度a=10m/s2上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的动应力，以及工字钢在危险点的动应力d,max欲使工字钢中的d,max减至最小，吊索位置应如何安置？,于是，工字钢上总的均布力集度为,解：将集度为qd=Aa的惯性力加在工字钢上，使工字钢上的起吊力与其重量和惯性力假想地组成平衡力系。若工字钢单位长度的重量记为qst，则惯性力集度为,由对称关系可知，两吊索的轴力（参见图b）相等，其值可由平衡方程，,求得,吊索的静应力为,故得吊索的动应力为,(b),由型钢表查得qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已知数据代入上式，即得,同理，工字钢危险截面上危险点处的动应力,由工字钢的弯矩图(图c)可知，Mmax=6qstNm，并由型钢表查得Wz=21.210-6m3以及已知数据代入上式，得,欲使工字钢的最大弯矩减小，可将吊索向跨中移动，使梁在吊索处的负弯矩与梁跨中点处的正弯矩值相等，即得工字钢梁的最大弯矩减至最小时的吊索位置。,(c),12.3构件受冲击时动应力计算,计算采用能量守恒定律,要精确计算冲击应力和变形，就应该考虑弹性体内应力波的传播，计算较为复杂。实际工程中，常采用简化计算方法。,假设：1.冲击物变形与回弹可忽略。2.AB杆质量可忽略。3.冲击过程的能量耗散可忽略。,设重量为P的重物，从高度h自由落下，冲击到等截面直杆AB的B端。杆AB长度为l，横截面面积为A。,冲击物在冲击过程中减少的动能Ek和势能Ep等于被冲击构件所增加的应变能Vd，即,(a),则当冲击物速度降为零时，杆AB发生最大伸长d，则冲击物减少的势能为,(b),而冲击物的初速与终速均为零，故,(c),将(b)(c)(d)代入(a)得,解出d的两个根，取其中大于st的那个根，即得,注意，即在静载P下AB杆的伸长，则上式可,简化成,将上式两边乘以E/l后得,(1),当h0时，相当于P骤加在杆件上，这时,对于实际情况，以上计算是偏于安全的。,例题：钢吊索AC的下端挂一重量为P=20kN的重物(图a)，并以等速度v=1m/s下降。当吊索长度为l=20m时，滑轮D突然被卡住。试求吊索受到的冲击荷载Fd及冲击应力d。已知吊索内钢丝的横截面面积A=414mm2，材料的弹性模量E=170GPa，滑轮的重量可略去不计。若在上述情况下，在吊索与重物之间安置一个刚度系数k=300kN/m的弹簧，则吊索受到的冲击荷载又是多少？,因此，重物在冲击过程中所减少的总能量为,解：由于滑轮突然被卡住，所以重物下降的速度也由降到零，其动能的减少为，其势能的减少为,其中,滑轮被卡住前，吊索内应变能,滑轮被卡住后，吊索内的应变能,其增量为,根据机械能守恒定律，并利用可得,将上式两端乘以，并利用，可简化为,由此解出的两个根，并取其中大于的一个，得动位移为,于是，可得,将已知数据及g=9.81m/s2代入上式，可得Kd为,于是，吊索受到的冲击荷载Fd为,吊索内的冲击应力为,考虑：在吊索与重物间安置一个刚度系数k=300kN/m的弹簧(图c),当吊索长度l=20m，滑轮被突然卡住前瞬间，由重物P所引起的静伸长应为吊索的伸长量与弹簧沿重物方向的位移之和，即,吊索受到的冲击荷载Fd为,于是便可得安置有弹簧时的动荷因数Kd为,例题：弯曲刚度为EI的简支梁如图a所示。重量为P的冲击物从距梁顶面h处自由落下，冲击到简支梁跨中点C处的顶面上。试求C处的最大挠度d。若梁的两端支承在刚度系数为k的弹簧上，则梁受冲击时中点处的最大挠度又是多少？(不计梁和弹簧的自重),重物P落至最大位移位置(h+d)时所减少的势能,(2),(3),当梁在线弹性范围时，Vd=Fdd/2。而梁的d与Fd间关系为,解：重物P落至最大位移位置时所减少的势能Ep，将等于积蓄在梁内的应变能Vd，即,(1),从而,将式(6)左端的用替代，可将式(6)改写为,(7),由此解得d的两个根，并取其中大于st的一个，得,(8),于是得动荷因数Kd为,(9),(10),若梁的两端支承在两个刚度相同的弹簧上，则梁在冲击点沿冲击方向的静位移为,(11),将st代入式(9)，即得动荷因数Kd为,(12),将式(11)和(12)代入式(10)，得,(13),设P=2kN,h=20mm,EI=5.25103kNm2，k=300kN/m，l=3m。将已知数据代入上式，可分别求得该梁的冲击动荷因数为,无弹簧支承时,有弹簧支承时,解：当在A端被骤然刹车卡紧时，可以认为B端飞轮的动能全部转变为轴的应变能而使轴受到扭转冲击，即,由此得,例题：若前例中的AB转轴在A端被骤然刹车卡紧，试求轴内的最大切应力。已知轴长=2m，轴的切变模量G=80GPa，轴的质量可略去不计。,将已知数据代入上式，可得,与前例相比较，可见骤停时轴内最大冲击切应力d,max为前例的5.7倍。,轴截面上的最大切应力为,例题：一下端固定、长度为的铅直圆截面杆AB，在C点处被一物体G沿水平方向冲击（图a）。已知C点到杆下端的距离为a，物体G的重量为P，物体G在与杆接触时的速度为v。试求杆在危险点的冲击应力。,解：,杆内的应变能为,由此得,由机械能守恒定律可得,由此解得d为,式中，,于是，可得杆内的应变能为,当杆在C点受水平力F作用时，杆的固定端横截面最外缘（即危险点）处的静应力为,于是，杆在危险点处的冲击应力d为,自由落体冲击,以速度v水平冲击,11.4交变应力疲劳极限,实践表明：金属材料若长期处于交变应力下，则在最大工作应力远低于材料的屈服极限，且不产生明显的塑性变形情况下，也有可能发生聚然的断裂。这种破坏，称为疲劳破坏。,疲劳破坏的机理（疲劳破坏过程的三个阶段）：疲劳裂纹源的形成（产生）；疲劳裂纹的扩展；构件的断裂,交变应力的基本参量：,在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为应力谱。,随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化，应力每重复变化一次的过程称为一个应力循环。,通常用以下参数描述循环应力的特征,应力比rr=1：对称循环；r=0：脉动循环。r0：拉拉循环或压压循环。,(2)应力幅,(3)平均应力,一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力m上叠加一个应力幅为的对称循环应力组合构成。,疲劳极限,将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行r=1的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅均不同，因此疲劳破坏所经历的应力循环次数N（疲劳寿命）各不相同。,以为纵坐标，以N为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应力寿命曲线即-N曲线,注：由于在r=1时，max=/2，故-N曲线纵坐标也可以采用max。,从图中可以得出三点结论：,(1)对于疲劳，决定寿命的最重要因素是应力幅。,(2)材料的疲劳寿命N随应力幅的增大而减小。,(3)存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅称为疲劳极限，记为-1。,10,4,10,5,10,6,10,7,10,8,550,650,750,850,应力循环次数N,s,max,/MPa,如图（以40Cr钢为例）,对低碳钢，其,其弯曲疲劳极限,拉压疲劳极限,对于铝合金等有色金属，其-N曲线没有明显的水平部分，一般规定时对应的称为条件疲劳极限，用表示。,11.5钢结构构件疲劳计算,当交变应力幅小于材料疲劳极限，构件具有无限疲劳寿命。,当交变应力幅大于材料疲劳极限，构件具有有限疲劳寿命。,常幅有限寿命疲劳：,校核点处的应力幅,许用应力幅,N构件在服役期内预计承受的疲劳循环次数,C,两个参数，由书中本章表1和表2查出,如应力循环中无拉应力，则不必验算疲劳强度。,上述计算公式的理论基础是疲劳寿命曲线,对焊接部位=maxmin对非焊接部位=max0.7min,常幅有限寿命疲劳：,解：(1)计算跨中截面危险点处的应力幅,当Fmin=10kN作用时,(a),(b),例题：一焊接箱形钢梁在跨中截面受到Fmin=10kN和Fmax=100kN的常幅交变荷载作用，跨中截面对其形心主轴z的惯性矩Iz=68.510-6m4。该梁由手工焊接而成，属第4类构件，若欲使构件在服役期限内，能经受210