杆和梁结构的有限元法

第2章杆和梁结构的有限元法,2.1弹簧单元和弹簧系统,2.2杆单元和平面桁架,2.3梁单元和平面刚架,2.1弹簧单元和弹簧系统,什么是单元特性？,弹簧单元的刚度矩阵,弹簧系统的总刚度矩阵,弹簧单元刚度矩阵的特点,例题,如何求解系统的平衡方程,弹簧单元的刚度方程,2.1.1弹簧单元分析,弹簧是宏观力学特性最简单的弹性元件。下面以平衡弹簧系统中一个弹簧单元为研究对象进行分析。,2个节点：节点位移：节点力：弹簧刚度：,已知弹簧力位移关系：,弹簧力，拉伸为正,弹簧伸长,考虑弹簧力学特性和节点上力平衡有：,写成矩阵形式：,矩阵符号形式：,弹簧单元刚度方程，单元特性,2.1.1弹簧单元分析,方法一：,思考问题：1）k有什么特点？,2.1.1弹簧单元分析,上式中：,单元节点力向量,单元节点位移向量,弹簧单元的刚度矩阵,2）k中元素代表什么含义？,3）上面方程可以求解吗？为什么？,2.1.2弹簧系统分析,求解一个弹簧系统：,1）各单元的特性分别为：,单元1：单元2：,2）按两种方法装配系统特性：方法1:按节点列平衡方程分别考虑节点1，2，3的力平衡条件（总节点力与节点外载荷的平衡）：,把单元特性代入，得到：,2.1.2弹簧系统分析,上面方程写成矩阵形式：,或（系统的有限元平衡方程）,弹簧系统的结构总刚度矩阵（总刚）,整体节点载荷列阵,讨论：（1）有哪些特点和性质？（2）上面方程能求解吗？,整体节点位移列阵,2.1.2弹簧系统分析,系统平衡方程节点载荷与节点总内力的平衡,方法2：单元刚度方程扩大叠加a.将单元刚度方程扩大到整体规模：,2.1.2弹簧系统分析,要点：1、单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。2、扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。3、扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！,b.将上面的矩阵方程叠加，得到：,2.1.2弹簧系统分析,系统总节点力（内力）与节点位移的关系系统特性。,c.代入节点平衡条件，得系统节点平衡方程：,注意：总刚度矩阵就是单元刚度矩阵扩大后的叠加！,3)给定载荷和约束条件下的求解设边界条件为：,则系统平衡方程为：,2.1.2弹簧系统分析,该方程展开后分为2个部分：,未知量为2个节点位移和一个支反力,解上面方程得：,2.1.2弹簧系统分析,注意：上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求解原理和过程。,2.1.2弹簧系统分析,例题1：弹簧系统,已知条件：,求：（a）系统总刚度矩阵（b）节点2，3的位移（c）节点1、4的反力（d）弹簧2中的力,2.1.2弹簧系统分析,解：（a）各单元的刚度矩阵为：,2.1.2弹簧系统分析,应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵：,或,总刚度矩阵特征：对称、奇异、带状、稀疏,2.1.2弹簧系统分析,由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：,（b）先施加位移边界条件将带入平衡方程后，第2，3方程为：,2.1.2弹簧系统分析,求解得：,（c)由第1，4个方程求得支反力,(d)弹簧2内力,（拉力）,2.1.2弹簧系统分析,练习1：,对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵,2.1.2弹簧系统分析,2.1.2弹簧系统分析,要点回顾,1、弹簧单元刚度方程的建立,弹簧变形平衡,2、弹簧系统的集成1）列节点平衡方程法,单元特性,系统节点平衡条件,系统平衡方程,相加,系统节点平衡条件,单元特性,系统节点平衡方程,引入系统节点平衡条件,2）单元方程扩大相加法,如何用直接法求杆单元特性？,如何用公式法导出杆单元特性？,什么是虚功原理？,杆单元刚度矩阵的特点？,什么叫坐标变换？,如何对节点位移向量进行坐标变换？,如何对刚度矩阵进行坐标变换？,应用举例二维桁架,2.2杆单元和平面桁架,2.2.1等截面杆单元,L杆长A截面积E弹性模量,研究一个2节点一维等截面杆单元：,2.2.1等截面杆单元,应力应变关系：,杆单元位移杆单元应变杆单元应力,应变位移关系：,杆应变：,杆应力：,杆内力：,杆的轴向刚度：,（一）直接法导出单元特性杆单元伸长量：,2.2.1等截面杆单元,轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：,比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：,2.2.1等截面杆单元,（二）公式法导出杆单元特性方程（虚功原理）,单元上假设近似位移函数位移模式,单元上位移假设为线性多项式函数：,用插值法把多项式中的待定系数转化为待定节点位移ui,uj,从而得到插值形式的假设位移函数单元位移模式如下：,上式中：,2.2.1等截面杆单元,单元位移模式写成矩阵形式：,注意：位移模式采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位移分量，只能对应2个多项式系数。,2.2.1等截面杆单元,单元应变：,单元应变矩阵,单元应力：,下面应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。,2.2.1等截面杆单元,弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能。平衡条件,对于杆单元，定义虚位移如下：,节点虚位移：,单元虚位移：,节点力（外力）虚功：,则单元虚应变：,2.2.1等截面杆单元,虚位移原理,单元虚应变能：,对杆单元应用虚功原理，得：,考虑到的任意性，立刻得到：,这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。,杆单元刚度矩阵,2.2.1等截面杆单元,对于上面的杆单元：,与前面直接法得到的公式相同！,2.2.1等截面杆单元,（三）关于杆单元的讨论1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有2个自由度。2）单元刚度矩阵元素的物理意义：刚度方程中令：,单元刚度方程,2.2.1等截面杆单元,所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为，其它自由度位移为时，施加在单元上的所有节点力分量。）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。,2.2.1等截面杆单元,（四）举例例1：求图示段杆中的应力。,解：系统分为个杆单元，单元之间在节点连接。单元刚度矩阵分别为：,2.2.1等截面杆单元,参考弹簧系统的方法，装配系统的有限元方程（平衡方程）：,引入边界位移约束和载荷：系统平衡方程化为：,2.2.1等截面杆单元,上述方程组中删除第，个方程，得到：,位移解：,单元1应力：,解得：,2.2.1等截面杆单元,单元2应力：,提示：1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采用有限元单元应力公式的结果相同。2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。3）求应力之前需要求出节点位移有限元位移法。,2.2.1等截面杆单元,例题2：,已知：,求：杆两端的支反力,解,2.2.1等截面杆单元,2.2.2二维杆单元,（一）2-D空间中杆单元（平面桁架）,1-D空间杆单元2-D空间杆单元,坐标变换,原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系,2.2.2二维杆单元,1.节点位移向量的坐标变换：,2.2.2二维杆单元,向量的坐标变换矩阵为：,显然是正交阵，即：,2.单元节点位移向量的变换式,或,3.单元节点力向量的变换式：,2.2二维杆单元,4.刚度矩阵的坐标变换,局部坐标系下杆单元的刚度方程为：,扩充到4自由度形式：,写成矩阵符号形式：,2.2.2二维杆单元,利用前面的向量坐标变换式，得：,考虑到变换矩阵的正交性，得：,总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为：,用单元刚度矩阵装配系统刚度矩阵的方法与1-D情况相同，按节点号对子块重新排列。,2.2.2二维杆单元,5.单元应力计算：,即：,2.2.2二维杆单元,（二）例题,平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：1）节点2位移2）每根杆应力,解：1.求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：,2.2.2二维杆单元,单元1：1-2,2.2.2二维杆单元,单元2：2-3,2.2.2二维杆单元,2.将单元1，2的刚度矩阵扩大到系统规模（6阶）叠加得到总刚度矩阵，再列出系统平衡方程：,2.2.2二维杆单元,3.引入边界约束和载荷：,则上面6阶有限元方程凝聚为：,4.解出未知位移：,2.2.2二维杆单元,5.按公式计算杆应力：,得到：,2.2.2二维杆单元,结构总刚度矩阵及其性质,梁单元的单元特性,梁单元的单元刚度矩阵,离散结构的整体分析,平面刚架的整体分析,单元与节点,局部坐标系下的平面梁单元,单元刚度矩阵的坐标变换,三维空间梁单元刚度矩阵,2.3梁单元和平面刚架,2.3.1简单梁单元,一、离散化，节点位移与节点载荷,对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是“焊接”。,梁上任一节点i处有2个位移分量：挠度及转角。,2.3.1简单梁单元,对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力和弯矩，称为广义力。,2.3.1简单梁单元,梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。,称为节点i的节点载荷。,结构上一个节点的载荷用列阵表示为：,2.3.1简单梁单元,二、单元特性分析建立简单梁单元的单元刚度方程,单元有2个节点，节点局部编号：i，j。每节点有2个位移分量，单元共有4个位移分量4个自由度；,分析一个从上述离散梁结构中取出的典型梁单元e。单元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。,1、单元的描述,2.3.1简单梁单元,称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。,单元节点位移：,结构中一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分对该单元的作用力，称为单元节点力。该单元每节点2个节点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对应）。,2.3.1简单梁单元,注意：如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与单元局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。,称为单元e的单元节点力列阵（向量）。,单元节点力：,2.3.1简单梁单元,2、单元特性的建立,与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的特性（刚度特性）。,下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。,在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系：,简记为：,2.3.1简单梁单元,上式就是梁单元的刚度方程。称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。,为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：,方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：,（这里1，2，3，4是单元自由度序号）,第1列刚度元数就是第1个节点位移分量为1，其他位移分量皆为0时所有节点力分量。,2.3.1简单梁单元,按上述物理意义求刚度矩阵元素：,按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下：,挠度：,转角：,联立解出：,再由梁单元的静力平衡条件得：,至此已求出刚度矩阵的第1列元素。,2.3.1简单梁单元,再设：,同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：,2.3.1简单梁单元,同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：,显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：1）对称性；2）奇异性；3）主对角元素恒正。,刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：,2.3.1简单梁单元,采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。,单元节点力列阵分块：,单元节点位移列阵分块：,分块形式的单元刚度矩阵：,上面每一子块均为21子列阵。,每一子块均为22子矩阵,3、单元刚度方程的分块,2.3.1简单梁单元,将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：,因此，单元刚度方程分块形式表示为：,从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节点位移对对应节点力的贡献。,上面按分块形式表示的单元刚度方程节点力节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简洁，在有限元分析中广泛采用。,2.3.1简单梁单元,2.3.1简单梁单元,三、离散结构的整体分析,设已知分块形式的各单元特性方程：,2.3.1简单梁单元,以离散结构的各节点作为隔离体，以节点2为例，建立其平衡方程。,单元节点力的反作用力,外载荷,单元节点力,单元节点力,节点2的受力分为两类：1）外载荷：2）单元（1）、（2）上节点力的反作用力：,2.3.1简单梁单元,由节点2的静力平衡条件得：,单元节点力的反作用力,外载荷,单元节点力,单元节点力,节点2的外载荷=节点2对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力）也就是节点2所受外载荷要分配到相连的单元上。,2.3.1简单梁单元,由前面给出的单元（1）、（2）分块形式单元刚度方程代入节点2的平衡方程：,2.3.1简单梁单元,同理，由节点3的平衡可得：,由节点1、4的平衡得：,将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：,2.3.1简单梁单元,上式简写为：,结构（系统）有限元平衡方程,2.3.1简单梁单元,结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。总刚度矩阵中有大量元素为0，因此矩阵具有稀疏性非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。,结构总刚度矩阵的讨论：,2.3.1简单梁单元,总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下：1）对称性；2）奇异性；3）稀疏性；4）非零元素带状分布,2.3.1简单梁单元,结构有限元平衡方程的讨论：,平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献总刚子块的物理意义。,2.3.1简单梁单元,平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由节点位移和单元刚度矩阵子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表征了系统各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（总节点力）之间的平衡。结构有限元平衡方程可以叙述为：总节点力（内力）=节点外载荷。,2.3.1简单梁单元,对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，通过剩余方程求出支反力。,2.3.2平面内一般梁单元,拉伸、弯曲组合,平面梁单元,节点自由度：3,一、单元与节点,平面刚架,单元有2个节点：i，j局部坐标系下节点位移分量：轴向位移：横向挠度：转角：局部坐标系下节点力分量：轴向力：横向剪力：弯矩：,2.3.2平面内一般梁单元,单元描述：,二、局部坐标系下平面梁单元刚度方程,单元有6个位移分量6个自由度单元节点位移列阵：单元节点力列阵：,2.3.2平面内一般梁单元,单元描述：,2.3.2平面内一般梁单元,建立单元特性方程,在小变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合。可以分别研究两种变形模式下的刚度特性。,因此，组合变形下的平面梁单元刚度方程可以由该局部坐标系下的轴向变形刚度方程（相当于一维杆单元）和弯曲变形刚度方程（相当于简单梁单元）叠加而成：,2.3.2平面内一般梁单元,上面刚度方程简写为：,分块形式：,其中：,刚度矩阵一个子块：,2.3.2平面内一般梁单元,三、整体坐标系下刚度矩阵：坐标变换,局部坐标系下节点位移：,整体坐标系下节点位移：,节点位移矢量坐标变换：,考虑到节点转角不变,节点向量变换矩阵：,2.3.2平面内一般梁单元,单元节点位移列阵的变换：,单元坐标变换矩阵,单元节点力列阵的变换：,2.3.2平面内一般梁单元,单元刚度矩阵的坐标变换：,将节点位移和节