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第三章二阶线性偏微分方程的化简及其分类,祁影霞作,二阶线性偏微分方程的一般形式：,其中,是自变量,的函数，如果f=0，则方程是线性齐次方程，否则方程是非线性齐次方程。,3.1两个自变量方程的化简,一般形式：,其中,只是x，y的函数。以下讨论时,是实数。作变量代换如下：,（3-1）,假定,则在上式代换下方程（3-1）变为,（3-2）,其中系数：,（3-3）,从（3-3）中可以看出，如果取一阶偏微分方程,（3-4）,的一个特解作为,，则,从而A11=0。如果取（3-4）的另外一个特解作为,则A22=0，这样方程（3-2）就可以简化。,一阶偏微分方程（3-4）的求解可以转化为常微分方程的求解，将（3-4）改写成：,如果将,看作定义隐函数,的方程，则,从而有：,（3-5）,常微分方程（3-5）叫做二阶线性偏微分方程的特征方程。特征方程的一般积分,和,叫做特征线。,（3-5）的解为：,（3-6）,若,，二阶线性偏微分方程为双曲型方程,若,，二阶线性偏微分方程为抛物型方程,若,，二阶线性偏微分方程为椭圆型方程,1：双曲型,当,时，（3-6）式给出一族实的特征,曲线,取,则,，这时方程变为,若再作,则上述方程变为：,（3-7）,2：抛物型,当,，这时（3-6）式只有一个解,它只能给出一个实的特征线，,。取与,函数无关的,作为另一个新的变量,则有,（3-8）,3：椭圆型,当,时，（3-6）式各给出一族复特征线,，,在该变换下：,且方程化为：,令,则有：,（3-9）,5-1二阶线性偏微分方程的分类,由前面的讨论可知，方程(3.1)通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式，主要决定于它的主部系数。若方程(3.1)的主部系数在区域中某一点(x0，y0)满足,则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在中,则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。,则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;,相应地，(3.7)、(3.8)和(3.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。,3.2方程的分类,标准形式,例1：判断下面偏微分方程的类型并化简,解：,故,故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程,或,故有,或,取新变量,则,，,代入原方程得：,即：,例题2：把方程,分类并化为标准形式,5-1二阶线性偏微分方程的分类,解：该方程的,故该方程是抛物型的。,特征方程：,从而得到方程的一族特征线为：,作自变量代换,(由于和必须函数无关,所以宜取最简单的函数形式,即=x或=y),于是，原方程化简后的标准形式为：,特征的解：,例题3：判断下面偏微分方程的类型并化简,
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