07应力和应变分析2

1,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,返回,2,3,第七章应力和应变分析强度理论,材料力学,4,第七章应力和应变分析强度理论,1应力状态概述2二向和三向应力状态的实例3二向应力状态分析解析法4二向应力状态分析图解法5三向应力状态6位移与应变分量7平面应变状态分析8广义胡克定律,目录,5,9复杂应力状态的变形比能10强度理论概述11四种常用强度理论12莫尔强度理论13构件含裂纹时的断裂准则,6,弯曲和扭转横截面上的应力分析表明：不同位置的点具有不同的应力。（回顾弯曲的应力分布）,7.1应力状态的概述,结论：一点处的应力是该点坐标的函数。,故“应力状态”又称为“一点处的应力状态”,但请思考另外一个问题：仅指明点的位置，是否能有确定的应力值？,7,以轴向拉压为例：,同一横截面上各点应力相等：,同一点在斜截面上时：,目录,8,此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,目录,9,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。,应力,哪一个面上？哪一点？,哪一点？哪个方向面？,指明,目录,10,示例一,目录,11,1,同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.,目录,12,目录,7.1应力状态的概述,13,单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元。,7.1应力状态的概述,14,应力与应变分析,15,空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零,平面（二向）应力状态：一个主应力为零,单向应力状态：两个主应力为零,71应力状态的概述,16,例：图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t=350l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，试:1导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2。计算容器所受的内压力。,7.2二向和三向应力状态的实例,17,1、轴向应力:(longitudinalstress),解：1容器的环向和纵向应力表达式,用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程,18,用纵截面将容器截开，受力如图c所示,2、环向应力：(hoopstress),3、求内压（以应力应变关系求之）,19,1.斜截面上的应力,7-3二向应力状态分析-解析法,20,列平衡方程,7-3二向应力状态分析-解析法,21,利用三角函数公式,并注意到化简得,7-3二向应力状态分析-解析法,即课本p217218公式7.3和7.4,22,2.正负号规则,正应力：拉为正；反之为负,切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,7-3二向应力状态分析-解析法,23,确定正应力极值,设0时，上式值为零，即,3.正应力极值和方向,即0时，切应力为零，说明什么？,本页请对照课本p217218公式7.3和7.4,0,24,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,所以，最大和最小正应力分别为：,主应力按代数值排序：123,7-3二向应力状态分析-解析法,25,最大切应力和最小切应力,令：,若1满足上式，则1+90也满足上式，代入公式可得：,若1满足上式，则1+90也满足上式，代入,公式可得：,切应力的极值称为主切应力主切应力所在的平面称为主剪平面主剪平面上的正应力,27,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,例题1：一点处的平面应力状态如图所示。（与例7.3类似）,已知,7-3二向应力状态分析-解析法,28,解：,（1）斜面上的应力,7-3二向应力状态分析-解析法,29,（2）主应力、主平面,7-3二向应力状态分析-解析法,30,主平面的方位：,代入表达式可知,主应力方向：,主应力方向：,7-3二向应力状态分析-解析法,31,（3）主应力单元体：,7-3二向应力状态分析-解析法,32,例7.3分析圆轴扭转时的应力状态。,33,作业,习题7.3（d）用解析法求,34,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,7-4二向应力状态分析-图解法,根据课本p217218公式7.3和7.4,35,1.应力圆：,7-4二向应力状态分析-图解法,2.应力圆的画法,定坐标及比例尺；,取x面，定出D()点；取y面，定出D()点；,连DD交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；,37,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力,3、对应关系,7-4二向应力状态分析-图解法,角度对应关系,旋向对应关系,4.应力圆的应用,求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力；,用应力圆确定主平面、主应力；,确定极值剪应力及其作用面；,39,求：1)a=30o斜截面上的应力；2)主应力及其方位；3)极值剪应力。,例（与课后习题7.4类似）,40,作业,课后习题7.4(f)用图解法,41,1.三向应力状态应力圆：平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定；平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定；平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定；由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。,一、三向应力状态下的应力圆,2.三向应力状态下的最大剪应力,tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。,二、例题,7.5三向应力状态,42,43,由三向应力圆可以看出：,结论：代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在三个应力圆圆周上或阴影区内。,7.5三向应力状态,例7-4试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。,解：给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。,sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：,根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa,45,46,主应力方位：,最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。,单元体内的最大剪应力：,47,回顾：基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7-8广义胡克定律,一、广义虎克定律1.有关概念：主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示；正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；,2.广义虎克定律：推导方法：叠加原理,主应变与主应力关系：,一般情况：,7.8广义虎克定律,用应变表示应力：,上式中：,二、例题例7-5在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，n=0.30。,柱内各点的三个主应力为：,求得：,由广义虎克定律：,在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为：,解：在柱体横截面上的压应力为：,53,1.基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7-8广义胡克定律,54,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,7.8广义胡克定律,55,7.8广义胡克定律,56,3、广义胡克定律的一般形式,7.8广义胡克定律,57,（拉压）,（弯曲）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,1.杆件基本变形下的强度条件,7-10、概述,58,7-10、概述,59,强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,7-11、经典强度理论,60,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论：最大切应力理论和畸变能密度理论,(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭。,关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,7-11、经典强度理论,61,1.最大拉应力理论（第一强度理论）,材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,7-11、经典强度理论,62,断裂条件,1.最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁拉伸,铸铁扭转（参看p220例7.4）,7-11、经典强度理论,63,2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,7-11、经典强度理论,64,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。,最大伸长线应变理论（第二强度理论）,断裂条件,即,65,铸铁二向应力,66,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。,3.最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,7-11、经典强度理论,67,屈服条件,强度条件,3.最大切应力理论（第三强度理论）,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,7-11、经典强度理论,68,实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,局限性：,未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。,3.最大切应力理论（第三强度理论）,7-11、经典强度理论,69,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的畸变能密度达到一个极限值。,4.畸变能密度理论（第四强度理论）,构件危险点的畸变能密度,畸变能密度的极限值，由单拉实验测得,7-11、经典强度理论,70,屈服条件,强度条件,4.畸变能密度理论（第四强度理论）,实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,7-11、经典强度理论,71,强度理论的统一表达式：,相当应力,7-11、经典强度理论,72,各种强度理论的适用范围及其应用,1、在三向拉伸应力状态下，会脆断破坏，无论是脆性或塑性材料，均宜采用最大拉应力理论。,2、对于塑性材料如低C钢，除三向拉应力状态以外的复杂应力状态下，都会发生屈服现象，可采用第三、第四强度理论。,目录,73,3、对于脆性材料，在二向拉应力状态下，应采用最大拉应力理论。,4、在三向压应力状态下，材料均发生屈服失效，无论是脆性或塑性材料均采用第四强度理论。,目录,74,例题两端简支的工字钢梁承受载荷如图(a)所示。已知其材料Q235钢的=170MPa,=100MPa。试按强度条件选择工字钢的号码。,例题10-3图,（a）,单位：m,目录,75,解：作钢梁的内力图。,(c),8kN.m,M图,Qc=Qmax=20