(六年级奥数讲义)第4讲 排列与组合(加法原理与乘法原理)(教师版)

第4讲 排列与组合u 熟悉排列与组合问题。u 运用加法原理和乘法原理解决问题。 在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题：问题一：从A地道B地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。那么从A地道B地共有多少种不同的走法？问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有3条道路（如下图）。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。 加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有种不同的方法，第二类方法中有种不同的方法.第n类方法中有种不同的方法。那么，完成这件事共有种不同的方法。 乘法原理：为了完成一件事，需要n个步骤。做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法做第n步有种不同的方法。那么，完成这件事共有种不同的方法。【例题1】每天从武汉到北京去，有4班火车，2班飞机，1班汽车。请问：每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同的走法？解:4+2+1=7(种)【拓展1】学校开展读书竞赛活动，小明要从4本故事书、2本文艺书、3本科技书里任意选取一本书，共有多少种不同的选法?【例题2】如图，从家村去乙村有3条道路，从乙村去丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路。小华从甲村经乙村、丙村去丁村，共有多少种不同的走法？【拓展2】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年解题技能展示大赛试题）在右图的每个方格中各放1枚围棋子（黑子或白子），共有多少种不同的放法？【例题3】数学活动课上，张老师要求同学们用0、1、2、3这四个数字组成三位数，请问：（1）可以组成多少个没有重复数字的三位数？（2）可以组成多少个不相等的三位数？解：（）332=18（个）（3）344=48（个）【拓展3】用1、2、3、4这四个数可以组成多少个没有重复数字的四位数?【例题4】十把钥匙开十把锁。请问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来?解：9+8+2+1=45（次）【拓展4】15把钥匙开15把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。请问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来?【例题5】用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域所染的颜色不同。请问：共有多少种不同的染色方法?ABDCE思路点拨：从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。解答本题的关键在于：对有最多相邻区域的区域先染色；对不相邻的两个区域染成同色。解：（1）当区域A与区域E的颜色相同：A有5种不同的方法，B有4种不同的方法，C有3种不同的方法，D有3种不同的方法。根据乘法原理，此时不同的染色方法有5433=180（种）。（2）当区域A与区域E的颜色不同时：A有5种不同的方法，E有4种不同的方法，B有3种不同的方法，C有2种不同的方法，D有2种不同的方法。根据乘法原理，此时不同的染色方法有54322=240（种）。（3）根据加法原理，不同的染色方法共有180+240=420（种）【拓展5】如图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、蓝、白、绿五种颜色中的某一种涂染，若使相邻的区域涂不同的颜色，问：有几种不同的涂法?ABCDE【例题6】某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号?思路点拨：用一面旗子可以表示3种不同信号（红、黄、蓝），用两面旗子可以表示32=6（种）信号，用三面旗子可以表示321=6（种）信号，运用加法原理，可以计算出表示信号的种数。3+32+321=15（种）【拓展6】右图是某以地区的道路分布图，A,B,C,D分别代表四个城镇，那么从A镇去C镇一共有多少种不同的走法?(每个点不重复经过)【例题7】(台湾第十一届小学数学世界邀请赛试题)将A、B、C、D、E、F、G七位学生在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻。请问共有多少种不同的排列方法?思路点拨：可以分两类情况考虑：若B站在两端，B有两种选择，C只有一种选择，另五人分别有5，4，3，2，1种站法选择，这种情况共有2154321=240（种）不同站法。若B站在中间，B有五种选择。B无论在中间何处，C都有两种选择，另五人分别有5、4、3、2、1种站法选择，这种情况共有5254321=1200（种）不同站法。因此七人排一列，B与C必须相邻，共有240+1200=1440（种）不同【拓展7】（2008年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题）节日期间，小明将6个彩灯排成一列，其中有2个红灯，4个绿灯。如果两个红灯不相邻，则不同的排法有 种。【精练1】从武汉到南京去，每天有2班火车、3班汽车、2班飞机、1班轮船。请问：每天从武汉到南京去，一共有多少种不同的走法?【精练2】“六一”儿童节，小东到书店去买书，他喜欢的书有：3种故事书、4种科学书、5种文艺书，他带的钱只能买其中一种，请问：他有多少种不同的选择方法?【精练3】（2008年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题）奥运吉祥物中的五个“福娃”取自“北京欢迎您”的谐音：贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中从左向右放五个不同的“福娃”，那么一共有多少种不同的放法?【精练4】（2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛试题）用4种颜色的水彩笔给“MATH”四个字涂颜色，要求不同字母用不同颜色的笔去涂，共可以有多少种不同颜色搭配方式?【精练5】（2008年长春市天宇杯数学测试题）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?【精练6】人民电影院有6个门，其中A,B,C,D这四个门只供散场时作为出口，甲乙这两个门既可以作为入口页可以作为出口（如图）。请问：如果要到人民电影院去看电影，共有几种不同的进出路线?甲乙ABDC【精练7】(第十四届“华罗庚杯”少年数学邀请赛试题)按照中国篮球职业联赛组委会的规定，每队队员的号码可以选择范围是055号，但选择两位数的号码时，每位数字不能超过5。那么，可供每支球队选择的号码共有多少个?【精练8】(2008年巨人学校数学“尖子班”入学试题)如图，要从A走到B，但C，D不能通过，所以增添了一条斜着的路。如果只能向右、向上、向斜上方走，一共有多少种不同的走法?ABDC【精练9】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别别有数字1，2，3，4，5，6，将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情况?【精练10】（南京市“兴趣杯”数学邀请赛试题）六年级的大哥哥大姐姐要毕业了，准备照一张合影留作纪念。4个男同学，2个女同学共6个人站成一排，要求2个女同学紧挨着站在正中间。请问：一共有多少种不同的站法?【精练11】(全国“创新杯”数学邀请赛试题)如图