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文档简介

热烈欢迎各位朋友使用该课件！,广州大学数学与信息科学学院,数学分析,广州大学袁文俊、尚亚东,第十一章反常积分,11.1反常积分概念,11.2无穷积分的收敛性质与判别,11.3瑕积分的性质与收敛判别,11.1反常积分概念,一、引例,二、无穷限的广义积分,三、无界函数的广义积分,一.引入,例：,0,x,y,1,b,解：由于这个图形不是封闭的曲边梯形,而在x轴的正方向是开口的，即这是的积分区间为1，），,显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，,则所求曲边梯形的面积为1,二、无穷限的广义积分.,定义1:,设函数f(x)在区间a,+)上连续,取ba,如果极限,存在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间a,+)上的广义积分,记作,(1),这时也称广义积分收敛;若上述极限不存在,就称广义积分发散,这时记号不再表示数值了。,例如：,类似地,设函数f(x)在区间(,b上连续,取a0.如果极限,存在,则称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分.,(4),这时也称广义积分收敛.如果上述极限不存在,就称广义积分发散.,类似地,设函数f(x)在区间a,b)上连续,而在点b的左邻域内无界,取0.,存在,则定义,如果极限,(5),否则,就称广义积分发散.,设函数f(x)在区间a,b上除点c(acb)外连续,而在点c的邻域内无界,如果两个广义积分,都收敛,则定义,(6),否则,就称广义积分发散.,所以,x=a为被积函数的无穷间断点.,于是:,且,由于,当q1时,收敛;当q1时,发散.,证:当q=1时,当q1时,因此,当q1时,广义积分收敛,其值为,当q1时,广义积分发散.,例7计算广义积分,解,故原广义积分发散.,例8.,解:,被积函数f在(0,1上连续,x=0是瑕点.由于.,瑕点,解,例9计算广义积分,注意,广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。,广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。,如无穷限积分,再如瑕积分,例10证明,证,四.小结,(1)无穷积分和瑕积分的定义;,(2)无穷积分和瑕积分收敛与发散的定义;,(3)无穷积分的计算：,(i).求出函数f(x)的原函数F(x).,(ii)
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