11 答案 二次函数-矩形的存在性问题

参考答案1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，ODE是OCB绕点O顺时针旋转90得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x26x+8=0的两个根，且OCBC（1）求直线BD的解析式；（2）求OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由1. 分析： （1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；（2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得OFH的面积；（3）当MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分MFD=90、MDF=90和FMD=90三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标解答： 解：（1）解方程x26x+8=0可得x=2或x=4，BC、OC的长是方程x26x+8=0的两个根，且OCBC，BC=2，OC=4，B（2，4），ODE是OCB绕点O顺时针旋转90得到的，OD=OC=4，DE=BC=2，D（4，0），设直线BD解析式为y=kx+b，把B、D坐标代入可得，解得，直线BD的解析式为y=x+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y=mx，把E点坐标代入可求得m=，直线OE解析式为y=x，令x+=x，解得x=，H点到y轴的距离为，又由（1）可得F（0，），OF=，SOFH=；（3）以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，DFM为直角三角形，当MFD=90时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF=，OD=4，则有MOFFOD，=，即=，解得OM=，M（，0），且D（4，0），G（，0），设N点坐标为（x，y），则=，=0，解得x=，y=，此时N点坐标为（，）；当MDF=90时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，则有FODDOM，=，即=，解得OM=6，M（0，6），且F（0，），MG=MF=，则OG=OMMG=6=，G（0，），设N点坐标为（x，y），则=0，=，解得x=4，y=，此时N（4，）；当FMD=90时，则可知M点为O点，如图3，四边形MFND为矩形，NF=OD=4，ND=OF=，可求得N（4，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，）或（4，）或（4，）2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标. 答案解：AD：过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证FGHFGM故设则FM=则 C=故最大周长为若AP为对角线如图，由PMSMAR可得由点的平移可知故Q点关于直线AM的对称点T为 若AQ为对角线如图，同理可知P由点的平移可知Q故Q点关于直线AM的对称点T为 3. (2016 山东省东营市) 】在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC（1）若抛物线经过点C、A、A，求此抛物线的解析式；（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标分析（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC，且点A的坐标是（0，4），可求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A的抛物线的解析式；（2）首先连接AA，设直线AA的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA的解析式，再设点M的坐标为：（x，x2+3x+4），继而可得AMA的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案解答解：（1）平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC，且点A的坐标是（0，4），点A的坐标为：（4，0），点A、C的坐标分别是（0，4）、（1，0），抛物线经过点C、A、A，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，解得：，此抛物线的解析式为：y=x2+3x+4；（2）连接AA，设直线AA的解析式为：y=kx+b，解得：，直线AA的解析式为：y=x+4，设点M的坐标为：（x，x2+3x+4），则SAMA=4x2+3x+4（x+4）=2x2+8x=2（x2）2+8，当x=2时，AMA的面积最大，最大值SAMA=8，M的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（1，0），点B的坐标为（1，4），点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，当BQ为边时，PNBQ，PN=BQ，BQ=4，x2+3x+4=4，当x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，P1（0，4），P2（3，4）；当x2+3x+4=4时，解得：x3=，x2=，P3（，4），P4（，4）；当PQ为对角线时，BPQN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，4），P4（，4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E（1）求抛物线的解析式；（2）若C为AB中点，求PC的长；（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式 分析（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQx轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式解：（1）A（a，8）是抛物线和直线的交点，A点在直线上，8=2a+4，解得a=2，A点坐标为（2，8），又A点在抛物线上，8=22+2b，解得b=2，抛物线解析式为y=x2+2x；（2）联立抛物线和直线解析式可得，解得，B点坐标为（2，0），如图，过A作AQx轴，交x轴于点Q，则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，当C为AB中点时，则OC为ABQ的中位线，即C点在y轴上，OC=AQ=4，C点坐标为（0，4），又PCx轴，P点纵坐标为4，P点在抛物线线上，4=x2+2x，解得x=1或x=1，P点在A、B之间的抛物线上，x=1不合题意，舍去，P点坐标为（1，4），PC=10=1；（3）D（m，n），且四边形PCDE为矩形，C点横坐标为m，E点纵坐标为n，C、E都在直线y=2x+4上，C（m，2m+4），E（，n），PCx轴，P点纵坐标为2m+4，P点在抛物线上，2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x=1或x=1（舍去），P点坐标为（1，2m+4），DE=m，CP=1m，四边形PCDE为矩形，DE=CP，即m=1m，整理可得n24n8m16=0，即m、n之间的关系式为n24n8m16=05. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点A(0，3)，B（），对称轴为直线，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PMx轴于点M，PNy轴于点N，在四边形PMON上分别截取（1）求此二次函数的解析式； （2）求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设二次函数的解析式为,将点A（0，-3）、B（）、对称轴方程分别代入可得：，解得此二次函数的解析式为.（2）证明：如图连接CD，DE，EF，FC.PMx轴，PNy轴，四边形OMPN是矩形.MP=ON，OM=PN.又CMDENF,同理ODEFPC(SAS),CF=ED，CD=EF.,四边形CDEF是平行四边形.（3）如图，作CQy轴于点Q，设P点坐标为，则.在RtECQ中，当CDDE时， 本题用相似更简单！6如图所示，抛物线y=ax2+bx3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PEBC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）把A（1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx3，得到，解得，抛物线的解析式为y=x22x3（2）如图1中，连接PB、PC设P（m，m22m3），B（3，0），C（0，3），OB=OC，OBC=45，PFOB，PFE=OBC=45，PEBC，PEF=90，PEF是等腰直角三角形，PE最大时，PEF的面积中点，此时PBC的面积最大，则有SPBC=SPOB+SPOCSBOC=3（m2+2m+3）+3m=（m）2+，m=时，PBC的面积最大，此时PEF的面积也最大，此时P