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文档简介
2011年高考数学压轴题(三)1(本小题满分13分) 如图,已知双曲线C:的右准线与一条渐近线交于点M,F是双曲线C的右焦点,O为坐标原点. (I)求证:; (II)若且双曲线C的离心率,求双曲线C的方程; (III)在(II)的条件下,直线过点A(0,1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间,满足,试判断的范围,并用代数方法给出证明.解:(I)右准线,渐近线 , 3分 (II) 双曲线C的方程为:7分 (III)由题意可得8分 证明:设,点 由得 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q 11分 ,得 的取值范围是(0,1)13分2(本小题满分13分)已知函数,数列满足 (I)求数列的通项公式; (II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为,求; (III)在集合,且中,是否存在正整数N,使得不等式对一切恒成立?若存在,则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在,请说明理由. (IV)请构造一个与有关的数列,使得存在,并求出这个极限值.解:(I) 1分 将这n个式子相加,得 3分 (II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积,该梯形的两底边的长分别为,高为1 6分 (III)设满足条件的正整数N存在,则 又 均满足条件 它们构成首项为2010,公差为2的等差数列. 设共有m个满足条件的正整数N,则,解得 中满足条件的正整数N存在,共有495个,9分 (IV)设,即 则 显然,其极限存在,并且10分 注:(c为非零常数),等都能使存在.19. (本小题满分14分) 设双曲线的两个焦点分别为,离心率为2. (I)求此双曲线的渐近线的方程; (II)若A、B分别为上的点,且,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;(III)过点能否作出直线,使与双曲线交于P、Q两点,且.若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.解:(I) ,渐近线方程为4分 (II)设,AB的中点 则M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为的椭圆.(9分) (III)假设存在满足条件的直线 设 由(i)(ii)得 k不存在,即不存在满足条件的直线.14分3. (本小题满分13分) 已知数列的前n项和为,且对任意自然数都成立,其中m为常数,且. (I)求证数列是等比数列; (II)设数列的公比,数列满足:,试问当m为何值时,成立?解:(I)由已知 (2) 由得:,即对任意都成立 (II)当时, 由题意知,13分4(本小题满分12分)设椭圆的左焦点为,上顶点为,过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于,两点,且分向量所成的比为85(1)求椭圆的离心率;(2)若过三点的圆恰好与直线:相切,求椭圆方程解:(1)设点其中由分所成的比为85,得,2分,4分而,5分由知6分(2)满足条件的圆心为,8分圆半径10分由圆与直线:相切得,又椭圆方程为12分5(本小题满分14分)(理)给定正整数和正数,对于满足条件的所有无穷等差数列,试求的最大值,并求出取最大值时的首项和公差(文)给定正整数和正数,对于满足条件的所有无穷等差数列,试求的最大值,并求出取最大值时的首项和公差(理)解:设公差为,则3分4分7分又,当且仅当时,等号成立11分13分当数列首项,公差时,的最大值为14分(文)解:设公差为,则3分,6分又当且仅当时,等号成立11分13分当数列首项,公差时,的最大值为14分6(本小题满分12分)垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点,A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点,设直线A1M与A2N交于点P(x0,y0)()证明:()过P作斜率为的直线l,原点到直线l的距离为d,求d的最小值.解()证明:直线A2N的方程为 4分,得()10
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