2009年全国高考理科数学试题及答案全国1卷

1 欢迎下载！ 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+ +选修选修） 一、选择题一、选择题 (1)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集 U=AB，则集合（AB）中的元素共有u （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个 （2）已知=2+I,则复数 z= 1i Z （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式1 的解集为 1 1 X X （A） x (B) 011xx x 01xx （C） (D)10 xx 0 x x (4)设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于 22 22 1 xy ab （A） （B）2 （C） （D）356 (5) 甲组有 5 名同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学， 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 （6）设、是单位向量，且0，则的最小值为abcab acbc （A）（B） （C） (D)222112 （7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异 111 ABCABC 1 AABCBC 面直线与所成的角的余弦值为AB 1 CC （A）（B） （C） (D) 3 4 5 4 7 4 3 4 （8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为cos 2yx3 4 3 ，0 （A） （B） （C） (D) 6 4 3 2 (9) 已知直线 y=x+1 与曲线相切，则 的值为yln()xa (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 2 （10）已知二面角 -l- 为 600 ，动点 P、Q 分别在面 、 内，P 到 的距离为，Q 到 的距3 离为，则 P、Q 两点之间距离的最小值为2 3 (A) (B)2 (C) (D)422 3 （11）函数的定义域为 R，若与都是奇函数，则( )f x(1)f x(1)f x (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 ( )f x( )f x (C) (D) 是奇函数( )(2)f xf x(3)f x （12）已知椭圆 C: 的又焦点为F，右准线为L，点,线段AF 交C与点B。若 2 2 1 2 x yAL ,则=3FAFB AF (A) (B)2 (C) (D)323 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） (13) 的展开式中，的系数与的系数之和等于 . 10 ()xy 73 x y 37 x y (14)设等差数列的前 n 项和为.若=72,则= . n a n s 9 s 249 aaa (15)直三棱柱-各顶点都在同一球面上.若=，则此球的ABC 111 ABC 1 2,ABACAABAC120 表面积等于 . (16)若,则函数的最大值为 . 42 X 3 tan2 tanyxx 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ，已知，且 22 2acb ，求 b.sincos3cossinACAC 18 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为矩形，SD底面 ABCD，AD=，DC=SD=2.点 M 在侧棱 SC 上，2 3 ABM=60 .()证明：M 是侧棱 SC 的中点； 0 （）求二面角 SAMB 的大小。 (19)(本小题满分 12 分) 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲 获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。 （20） （本小题满分 12 分） 在数列中， . n a 11 11 11 2 n n n aaa n 设，求数列的通项公式； n n a b n n b 求数列的前项和. n an n s 4 21 （本小题满分 12 分） 如图，已知抛物线与圆相交于四个点。 2 :E yx 222 :(4)Mxyr(r0）ABCD、 （I）求的取值范围： r (II)当四边形的面积最大时，求对角线ABCD 的交点的坐标。ABCD、p 22 （本小题满分 12 分） 设函数有两个极值点 32 ( )33f xxbxcx 122 11,2 .xxx ，0 ，且 （）求 b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）和区域； ()证明： 1 10 2 2 f (x )- 5 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+ +选修选修）参考答案）参考答案 一、选择题一、选择题 (1)解：，故选故选 A A。3,4,5,7,8,9AB 4,7,9()3,5,8 U ABCAB （2）解：解： 故选故选 B B。(1) (2)1 3 ,1 3ziiizi (3) 解：验 x=-1 即可。 (4) 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又 00 (,)P xy 0 0 |2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得: . 22 0 1,2,1 ( )5 bb xe aa (5) 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法 112 536 225CCC (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有 345 种选法.选 D 211 562 120CCC （6）解: 是单位向量, ,a b c 2 ()acbca babcc 故选 D.1 | | | 12cos,12abcab c （7）解：设的中点为 D，连结D，AD，易知即为异面BC 1 A 1 A AB 直线与所成的角,由三角余弦定理，易知AB 1 CC .故选 D 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB （8）解: 函数的图像关于点中心对称cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故选 A 4 2 32 k 13 () 6 kkZ min | 6 (9) 解:设切点，则, 00 (,)P xy 0000 ln1,()yxayx 又 0 0 1 |1 x x y xa .故答案选 B 000 10,12xayxa （10）解:如图分别作 ,QAA AClC PBB于于于 B C B C A1 1 1 A D 6 ，连PDlD 于,60 ,CQ BDACQPBD 则 ，2 3,3AQBP2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选 C。0AP AP点与点 （11）解: 与都是奇函数，(1)f x(1)f x(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4T ，即是奇函数。故选 D(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x 12.解:过点 B 作于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意,故BMll3FAFB .又由椭圆的第二定义,得.故选 A 2 | 3 BM 2 22 | 233 BF |2AF 二、填空题：二、填空题： 13.解: 373 101010 ()2240CCC 14.解: 是等差数列,由,得 n a 9 72S 59 9,Sa 5 8a . 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa 15.解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径ABC2ABAC120BAC2 3BC ABC r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为 O ORT OBO5R . 2 420R 16.解:令,tan,xt1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分） 解法一：在解法一：在中中则由正弦定理及余弦定理有则由正弦定理及余弦定理有: :ABCsincos3cossin,ACAC 化简并整理得：化简并整理得： 222222 3, 22 abcbca ac abbc 7 . .又由已知又由已知. .解得解得. . 222 2()acb 22 2acb 2 4bb40(bb或舍） 解法二解法二: : 由余弦定理得由余弦定理得: : . . 222 2cosacbbcA 又又 , ,。 22 2acb0b 所以所以 2 cos2bcA 又又 ，sincos3cossinACAC sincoscossin4cossinACACAC ，sin()4cossinACAC 即即sin4cossinBAC 由正弦定理得由正弦定理得，sinsin b BC c 故故 4 cosbcA 由由，解得解得。4b 18 解法一：解法一： （I）作交于点 E，则，平面MECDSDMEABME SAD，连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形 作，垂足为 F，则 AFME 为矩形MFAB 设，则，MExSEx 222 (2)2AEEDADx 2 (2)2,2MFAExFBx 由 2 tan60 ,(2)23(2)MFFBxx 。得 解得，即，从而，所以为侧棱的中点1x 1ME 1 2 MEDCMSC （），又,所以为等边三角形， 22 2MBBCMC60 ,2ABMAB ABM 又由（）知 M 为 SC 中点 ，故2,6,2SMSAAM 222, 90SASMAMSMA 取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则,由此知为二面角,BGAM GHAMBGH 的平面角SAMB 连接，在中，BHBGH 8 22 31222 3, 2222 BGAMGHSMBHABAH 所以 222 6 cos 23 BGGHBH BGH BG GH 二面角的大小为SAMB 6 arccos() 3 解法二解法二: : 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设，则( 2,0,0)A( 2,2,0),(0,2,0), (0,0,2)BCS （）设,则(0)SMMC 2222 (0,),( 2,) 1111 MMB 又(0,2,0),60ABMB AB 故| |cos60MBABMBAB 即 222 422 ( 2)()() 111 解得，即1SMMC 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （II）由，得 AM 的中点(0,1,1), ( 2,0,0)MA 2 1 1 (, ) 22 2 G 又 2 31 (,),(0, 1,1),(2,1,1) 222 GBMSAM 0,0GBAMMSAM 所以,GBAM MSAM 因此等于二面角的平面角,GB MSSAMB 6 cos, 3| | GB MS GB MS GBMS 所以二面角的大小为SAMB 6 arccos() 3 9 19解：记表示事件：第 i 局甲获胜，i=3,4,5 i A 表示事件：第 j 局乙获胜，j=3,4 j B （）记 B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局， 从而 34345345 BAABAAABA 由于各局比赛结果相互独立，故 34345345 ( )()()()P BP AAP BAAP ABA = 34345345 () ()() () ()() () ()P A P AP B P A P AP A P B P A =0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6 =0.648 （II）的可能取值为 2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以 3434 (2)()PP AABB = 3434 ()()P AAP BB = 3434 ()()()()P AP AP BP B =0.60.6+0.40.4 =0.52 =1.0.52=0.48(3)1(2)PP 的分布列为 23 P0.520.48 2(2)3(3)EPP =20.52+30.48 =2.48 10 20 解：解：（I）由已知得，且 11 1ba 1 1 12 nn n aa nn 即 1 1 2 nn n bb 从而 21 1 2 bb 32 2 1 2 bb 1 1 1 (2) 2 nn n bbn 于是 1 21 111 . 222 n n bb = 1 1 2(2) 2n n 又 1 1b 故所求的通项公式 1 1 2 2 n n b （II）由（I）知, 11 1 (2)2 22 n nn n ann = n S 1 1 (2) 2 n k k k k 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k 而,又是一个典型的错位相减法模型， 1 (2 )(1) n k kn n 1 12 n k k k 易得 = 11 1 2 4 22 n kn k kn n S(1)n n 1 2 4 2n n 21 （I）将抛物线与圆的方程联立， 2 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr 消去，整理得 2 y （） 22 7160 xxr 抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是： 2 :E yx 222 :(4)(0)MxyrrABCD 方程（）有两个不相等的正根即可. 由此得 22 12 2 12 ( 7)4(16)0 70 160 r xx x xr 解得 2 15 16 4 r 11 又 所以 0r 15 (,4) 2 r 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以 （II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理 本小题是一个较好的切入点。 设与的四个交点的坐标分别为：EM 、。 11 ( ,)A xx 11 ( ,)B xx 22 (,)C xx 22 (,)D xx 则直线的方程分别为ACBD、 2121 1111 2121 (),() xxxx yxxxyxxx xxxx 解得点 P 的坐标为 12 (,0)x x 设，由及（I）知 12 tx x 2 16tr 7 0 2 t 由于四边形为等腰梯形，因而其面积ABCD 21122112 1 2 |() |() 2 Sxxxxxxxx 则 22 12121212