广义逆矩阵计算方法探讨

本科毕业论文（设计）模板本科毕业论文(设计)论文题目： 广义逆矩阵的计算方法的探讨 目 录序 言1一、广义逆矩阵的概念与定理1（一）广义逆矩阵的基本概念1（二）几种广义逆的定义及定理21.减号逆22.最大秩矩阵的右逆与左逆43.自反广义逆54.最小范数广义逆65.最小二乘广义逆66.加号逆6二、广义逆矩阵的计算方法7（一）初等变换法求广义逆矩阵7（二）满秩分解法求11（三）最大秩分解法求14（四）奇异值分解法求15三、结论17参 考 文 献180广义逆矩阵的计算方法的探讨内 容 摘 要矩阵的广义逆，即Moore-Penrose逆，在众多理论与应用科学领域，例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等，都扮演着不可或缺的重要角色。 本文首先简单介绍了经常使用的五种广义逆矩阵：1.减号逆，记 ；2.自反广义逆，记；3.最小范数广义逆，记；4.最小二乘广义逆，记；5.加号逆或伪逆或Moore-Penrose逆，记。并根据其性质定理归纳了广义逆矩阵的几种计算方法：广义逆矩阵的初等变换法 广义逆矩阵的最大秩分解法广义逆矩阵的满秩分解法广义逆矩阵的奇异值分解法。关键词：广义逆矩阵 计算 满秩分解 初等变换Discussion of the generalized inverse matrix calculation methodAbstractGeneralized inverse matrix, the Moore-Penrose inverse, in a number of theoretical and applied sciences, such as differential equations, numerical algebra, linear statistical inference, optimization, power network analysis, system theory, surveying, plays an integralan important role. This article first discusses a brief introduction to five frequently used generalized inverse matrix: minus inverse remember ; reflexive generalized inverse, denoted by ; minimum norm generalized inverse, denoted ; least squares generalized inverse, remember ; plus sign inverse or pseudo-inverse or Moore-Penrose inverse, , denoted by . Summed up the four leads to the generalized inverse matrix calculation method according to the nature Theorem: 1 maximum rank of the singular value decomposition method (2) of the generalized inverse matrix generalized inverse matrix decomposition method (3) generalized inverse matrix of full rank decomposition method (4) elementary transformation and generalized inverse matrix Key words：generalized inverse matrix calculation full rank decomposition elementary transformation 序 言广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广, 推广的必要性, 首先是从线性方程组的求解问题出发的, 设有线性方程组 当是阶方阵, 且 时, 则上述方程组的解存在, 并唯一. 但是, 在许多实际问题中所遇到的矩阵往往是奇异方阵或是任意的矩阵 （一般）, 显然不存在通常的逆矩阵, 这就促使人们去想象能否推广逆的概念, 引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵, 使得其解仍可以表示为类似于的紧凑形式， 即 1920年摩尔（E.H.Moor）首先引进了广义逆矩阵这一概念, 其后三十年未能引起人们的重视, 直到1955年, 彭诺斯（R.Penrose）以更明确的形式给出了Moore的广义逆矩阵的定义后, 广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期, 由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识,因而大大推动了对广义逆矩阵的研究, 使得这一学科得到迅速的发展, 已成为矩阵的一个重要分支. 为此，本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，给出其计算方法。一、广义逆矩阵的概念与定理（一）广义逆矩阵的基本概念 1955年, 彭诺斯（R.Penrose）指出, 对任意复数矩阵, 如果存在复矩阵,满足 (1-1) (1-2) (1-3) (1-4)则称为的一个MoorePenrose 广义逆，并把上面四个方程叫做MoorePenrose 方程，简称M P 方程。 由于MP 的四个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的，叫做弱逆。为引用的方便，我们给出如下的广义逆矩阵的定义： 定义1.1 设, 若有某个, 满足 MP 方程（1-1）（1-4）中的全部或其中的一部分, 则称为的广义逆矩阵. 例如有某个，只要满足式(1-1) ，则为的广义逆，记为 ；如果另一个满足式 （1-1）、（1-2），则为的广义逆，记为；如果，则同时满足四个方程，它就是 MoorePenrose 广义逆，等等。总之，按照定义可推得，满足1个、2 个、3 个、4 个 MoorePenrose 方程的广义逆矩阵共有种，但应用较多的是以下五种 , 只有是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定，每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下: （1）：其中任意一个确定的广义逆，称作减号逆，或逆，记为； （2）：其中任意一个确定的广义逆，称作自反广义逆，记为； （3）：其中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为； （4）：其中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为； （5）：唯一一个，称作加号逆，或伪逆，或Moore-Penrose 逆，记为 .（二）几种广义逆的定义及定理 1.减号逆 定义1.2 设是一个的矩阵(,当时可讨论),若有一个的矩阵(记做)存在,使下式成立,则称为的减号广义逆或者逆 (1.5) 当存在时，显然满足上式，可见减号广义逆是普通广义逆矩阵的推广； 另外，由得 ,即 可见，当为的一个减号广义逆时，就是的一个减号广义逆. 如设, 易知 , 故与都是的减号逆。 定理1.1 设,存在阶的可逆矩阵和阶的可逆矩阵，使 则阶矩阵使得的充分必要条件是 其中分别是阶任意矩阵.证明 先证必要性,由条件有阶及阶的可逆矩阵,使 那么 根据应满足的,有 再令 分块如题设要求,代入上式 所以,于是有得到 再证充分性,由于 , 则 引理1.1 对于任意的矩阵,它的减号逆总存在,但不唯一,并且 是的一个减号逆.2.最大秩矩阵的右逆与左逆 定义1.3设矩阵，如果时存在；或者当时，存在有，称这两种长方阵为最大秩方阵（满秩方阵），前者又称行最大秩矩阵（行满秩矩阵），后者又称为列最大秩矩阵（列满秩矩阵）. 定义1.4设是行最大秩的阶实矩阵，如果存在一个阶矩阵，当右乘后得到一个单位阵，即 则叫做的右逆，记做，这就是说，有 一般来说，右逆右逆可用下面的方法来计算，因为是满秩的方阵，故有 所以 同理，可定义左逆，其表达式为 对于行（或列）最大秩的阶矩阵，和是不可能同时存在的，当且仅当时，同时存在，并且就等于普通的逆矩阵. 3.自反广义逆 自反广义逆其实是减号逆的一个子集，它满足自反的性质. 如果是行（或列）最大秩长方阵，则它的右逆与左逆显然满足 这表明右逆或左逆就是的一个自反广义逆 在一个最大秩分解，其中为 列最大秩矩阵，于是，由前面的讨论，有左逆，有右逆,那么有如下定理： 定理1.2 设为矩阵的最大秩分解，则的自反广义逆的一般形式为 其中为的左逆，为的右逆.实际上，上述定理给出了任何非零矩阵求自反广义逆的一种方法。4.最小范数广义逆 最小范数广义逆其实也是减号逆的一个子集，它是用条件对减号逆进行限制后得出的。由其定义可知最小范数广义逆满足等式 定理1.3 设，则 为的一个最小范数广义逆。 引理1.2对于任意的矩阵，它的最小范数总存在，但不唯一，并且 是的一个最小范数逆.5.最小二乘广义逆 最小二乘广义逆同样是减号逆的一个子集，它是用条件对减号逆进行限制后得出的。 定理1.4 设，则 为的一个最小二乘广义逆。 引理1.3 对于任意矩阵,它的最小二乘逆总存在 ,但不唯一,并且 它是的一个最小二乘逆.6.加号逆 定义1.5设, 若存在 阶矩阵 , 它同时满足： 1） 2） 3） 4）则称为 的加号逆, 或伪逆, 或 Moore-Penrose 逆, 记为.从定义中可看出, 加号逆必同时是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆和最小二乘广义逆, 在四个条件中, 与 完全处于对称地位. 因此也是的加号逆, 即有; 另外可见, 加号逆很类似于通常的逆阵, 因为通常的逆也有下列四个类似的性质: (1) (2) (3) (4) 由定义1.5 中的条件 3）和 4）还可看出, 与都是对称矩阵. 定理1.5 对于任意矩阵,它的加号逆总存在，并且唯一. 定理1.6 是 矩阵 , 若是行满秩矩阵 ,则总有；是列满秩矩阵，则总有；，则总有，其中是的满秩分解式.定理1.7 对任意矩阵, 总存在着矩阵和矩阵，使得成立.二、广义逆矩阵的计算方法 （一）初等变换法求广义逆矩阵 方法和步骤：经过一系列的初等行或初等列变换总可以将写成式的形式, 这里分别是和矩阵，由定理1.1，则的全部广义逆为 这里、分别是任意的和矩阵。 例2.1. 解：由定理1.1 ,首先要将写成式的形式. 为此 , 将作初等变换得= 设, , , 则,从而，有 这种方法比较繁杂，下面介绍一种简单易行的初等变换法： 步骤： 为阶矩阵，对阶方阵 的上行左列实行初等行变换和初等列变换，化为 此时根据定理1.1可求得，也可以进一步作为如下的分块矩阵： 则有 其中表示阶，阶，阶单位阵，*表示阶的任一矩阵。 例2.2 求矩阵的广义逆. 解： 构造分块矩阵, 通过适当变化, 将进行行列变换化为形式, 并求出变换, . 因此有, 于是我们取, , 均为0得 例2.3 求矩阵的广义逆矩阵. 解： 对下式矩阵的上三行和左四列进行初等变换：故有 （二）满秩分解法求 将一非列或非行满秩的非零矩阵表示为一列满秩和一行满秩的矩阵的积的分解称为满秩分解. 在各种广义逆的直接计算方法中, 几乎都要对矩阵进行满秩分解, 例如分解等等. 但当计算某些广义逆时,分解将带来大量非必要的计算, 因而有必要对满秩分解的方法进行简化。 对任意矩阵，由定理1.6知，其中是阶矩阵，是阶矩阵，且，再由引理1.1及定理1.2可得 如果是实矩阵，有 设为矩阵的最大秩分解 ,则的广义逆矩阵的一般形式为.例2.4 设，求其广义逆矩阵.解：首先对进行最大秩分解 ,对作行初等变换如下:所以的最大秩分解为=由定理1.2知，这里为3阶可逆方阵，故为行满秩矩阵，故可取=从而 = 例2.5 设矩阵 = 求及. 解: 有满秩分解为取= ，从而 = ，得 取,得 得 于是得到 （三）最大秩分解法求 的矩阵的秩，的最大秩分解为 其中是阶矩阵，是阶矩阵，且，则 特别当时（行满秩阵） 当时（列满秩阵） 例2.6 求矩阵的逆. 解: 首先对进行最大秩分解 所以的最大秩分解为 故 （四）奇异值分解法求 定义2.1 设,的特征值为 则称()为矩阵的正奇异值,简称奇异值. 定理2.1 设的奇异值分解为其中， ，为的奇异值，则具有如下形式： 证明：详见参考文献4. 例2.7 设 用奇异值分解法求.解： 因此的特征值求出对应于的单位特征向量所以 =三、结论矩阵是工程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具，凡是用到矩阵的地方,基本上都要涉及广义逆矩阵，尤其数值分析与数理统计有着重要作用，通过本文对广义逆矩阵求法的探讨，可以解决广义逆矩阵在实际应用中的一些计算问题。关于广义逆矩阵的计算方法，还有很宽广的探讨领域，本文旨在介绍几种常见广义逆的性质及基本计算方法，整个写作过程是对新知识的一次学习和对已掌握知识的总结，既锻炼了自己的思维，也培养了自己解决问题的能力。关于广义逆矩阵的计算方法，还有很宽广的探讨空间，我将在这个方向上继续探索，希望以后可以探讨出求解广义逆矩阵的新思路！参 考 文 献1程云鹏,张凯院,徐仲.矩阵论M.西安：西北工业大学出版社,2000. 2苏育才，姜翠波等.矩阵理论M.北京：科学出版社，2003.3韩世勤,彭放,罗文强.矩阵理论及应用M.武汉:中国地质大学出版社,2005.4王松桂,杨振海.广义逆矩阵及其应用M.北京：北京工业大学出版社,1996. 5任晓红.球广义逆矩阵 A的初等变换法J.西北轻工业学院学报，2000（2）：105106.6西昌学院.张礼平,喻惠波.广义逆矩阵表达式及计算J.西昌学院学报自然科学报,2008.