第二章2.1、2.2矩阵定义和运算(唐忠明版)..ppt

线性代数,朱广俊zhuguangjun,1,第二章矩阵,第一节矩阵第二节矩阵的运算第三节逆矩阵第四节线性方程组的矩阵解法,2,第二章矩阵,2.1矩阵的概念,1.mn矩阵A=,注:今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵.,元素都是实数实矩阵,元素都是复数复矩阵,元素aij(1im,1jn);(aij),2.1矩阵的概念,3,mn,mn,3.向量,行向量a1,a2,an,列向量,n阶方阵:,2.方阵,一个11的矩阵就是一个数,第二章矩阵,2.1矩阵的概念,4,n,例1.某两人有一只8升的酒壶装满了酒，还有两只空壶，分别为5升和3升。问如何将酒平分？,用三维向量表示(8升,5升,3升)酒壶的酒量,则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终点的最短路.,从图中易得到上下两条路：显然上面一条较短，路长为7;下面一条路长为8.,第二章矩阵,2.1矩阵的概念,5,思考题,一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊,羊与菜不能独处.,你能给出几种给出渡河方法？哪种方法的渡河次数最少？,第二章矩阵,2.1矩阵的概念,6,4.同型:行数相等,列数也相等,5.两个矩阵相等,与,同型,与,不同型,A=aijmn与B=bijmn相等:,对1im,1jn,aij=bij都成立,记为A=B.,大前提:同型,第二章矩阵,2.1矩阵的概念,7,1.零矩阵元素全为零.,有时,加下标指明其阶数.,通常用O表示零矩阵.,例如,上述零矩阵分别可以记为:,O2,O23,O3.,几种特殊的矩阵,第二章矩阵,2.1矩阵的概念,8,2.对角矩阵(diagonalmatrix),diag1,2,n.,第二章矩阵,2.1矩阵的概念,9,3.数量矩阵/纯量矩阵,diagk,k,k数量矩阵/纯量矩阵.,4.单位矩阵,称为n阶单位矩阵.In,第二章矩阵,2.1矩阵的概念,10,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,A=aijmn与B=bijmn的和:A+B=aij+bijmn.,注:设矩阵A=aijmn,记A=aijmn,A的负矩阵.,设A,B是同型矩阵,则它们的差定义为A+(B).记为AB.即AB=A+(B).,2.2矩阵的代数运算,一.矩阵的线性运算,1.加法,11,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,2.数乘,设矩阵A=aijmn,数k与A的乘积定义为kaijmn,记为kA.,注:矩阵的线性运算,12,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,3.性质,设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则,(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB,(9)kA=O(k=0或A=O).,13,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,二.矩阵的乘积,某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.,18000,=18000,20200,+50100,+30150,+25180,14,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,二.矩阵的乘积,某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.,18000,18150,=18150,20180,+50120,+30160,+25150,15,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,二.矩阵的乘积,某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.,18000,18150,16750,=16750,20190,+50100,+30140,+25150,16,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,二.矩阵的乘积,某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.,18000,18150,16750,10480,=10480,16200,+20100,+16150,+16180,17,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,二.矩阵的乘积,某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.,18000,18150,16750,10480,10240,=10240,16180,+20120,+16160,+16150,18,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,二.矩阵的乘积,某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.,18000,18150,16750,10480,10240,=9840,16190,+20100,+16140,+16150,9840,19,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,二.矩阵的乘积,=,24,43,23,20,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,1.定义A=aijms与B=bijsn的乘积是一个mn矩阵C=cijmn,其中,记为C=AB.称AB为“以A左乘B”或“以B右乘A”.,21,例2设矩阵求乘积解,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,22,例3设矩阵，求AB及BA解,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,显然：ABBA,23,，,例4设,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,和,求AB和BA,24,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,2.矩阵乘积的特殊性(1)只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.(2)Amn,BnmAB和BA都有意义.但AB是m阶方阵,BA是n阶方阵.当mn时,AB与BA不是同类型的.当m=n时,AB与BA是同阶方阵,但AB与BA未必相等.例如:,25,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,26,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,(3),A可逆,27,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,设k是数,矩阵A,B,C使得以下两端都有意义,则,(1)(AB)C=A(BC),3.矩阵乘法的性质,28,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,结合律的妙用之一,例6设A=BC,A2017=,?,1,2,3,2,4,6,3,6,9,=11+22+33,=14.,A2017=(BC)(BC)(BC)(BC)(BC)(BC),=B(CB)(CB)CB(CB)(CB)C,=142016BC,=142016A,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,设k是数,矩阵A,B,C使得两端都有意义,则,(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).,4.方阵A的正整数幂,A1=A,A2=AA,Ak+1=AkA.,3.矩阵乘法的性质,(1)(AB)C=A(BC),30,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,(AB)k=AkBk,注:若AB=BA,则(AB)k=AkBk.,ABBA,但(AB)k=AkBk成立.,容易验证,31,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,(AB)k=AkBk,要说明即使A与B是同阶方阵,也未必成立,只要举出一个反例即可.,32,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,(AB)2=A2ABBA+B2,注:(A+B)2,=(A+B)(A+B),=A2+AB+BA+B2,(A+B)(AB)=A2AB+BAB2,AB=BA,33,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,A方阵,f(x)=asxs+as1xs1+a1x+a0,f(A)=asAs+as1As1+a1A+a0E,f(x)多项式,5.方阵A的多项式,12-12,例A=,f(x)=x2+x+3,f(A)=,34,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,三.矩阵的转置,的转置,35,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=AT+BT,(3)(kA)T=kAT,(4)(AB)T=BTAT.,2.性质,36,2.2矩阵的代数运算,第二章矩阵,例8已知,求,解：,所以，,37,2.2矩阵的代数运算,