6第六章 方差分析

第六章方差分析,本章要求学生:了解方差分析的含义与内容体系；掌握单因素方差分析的原理与方法及应用条件；掌握多因素方差分析的原理与方法及应用特别应该注意方差分析法在社会经济调查数据分析中的应用。,第六章方差分析,6.1方差分析的一般问题6.2单因子方差分析6.3双因子方差分析,6.1方差分析的一般问题,一、方差分析的概念二、方差分析的类型三、方差分析的基本思想,方差分析,ANOVA由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验（Ftest）。用于推断多个总体均数有无差异。,在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结果的影响。通常是比较不同实验条件下样本均值间的差异方差分析是检验多组样本均值间的差异是否具有统计意义的一种方法。例如医学界研究几种药物对某种疾病的疗效；农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响不同饲料对牲畜体重增长的效果等都可以使用方差分析方法去解决。,因变量,待分析的指标（对于调查类数据，即为我们所关心的现象数量表现，对于实验类数据，即为试验结果，也称试验指标）称为“因变量”或“响应变量”（dependentvariable，通常用x或y表示。,如化工产品的质量或性能指标、疾病的手术效果、课程的教学效果（譬如成绩）、商店中一个产品的销售额、网站的访问量等。,自变量,调查或试验中需要考察的、可以控制的条件或影响因素称为因素或因子（factor,也称“自变量”，independentvariable，通常用A、B、C等大写字母表示），因素所处的不同状态（即自变量的不同取值）称为水平（level，通常记为）。,6.1方差分析的一般问题,一、方差分析的概念二、方差分析的类型三、方差分析的基本思想,二、方差分析的类型,单因素方差分析双因素方差分析多因素方差分析,按影响分析指标的因素个数多少的不同,按分析指标（观察结果）中变量个数多少的不同,一元方差分析多元方差分析,6.1方差分析的一般问题,一、方差分析的概念二、方差分析的类型三、方差分析的基本思想,【例6-1】阳光食品有责任有限公司（简称“阳光食品”）开发了一种新型儿童运动饮料（“酷酷爽”），设想了三种不同类型的包装形式：纸质真空包装、易拉罐、塑料瓶。九洲市场研究事务所受阳光食品的委托，采取了市场实验的方式取得有关数据：生产了三种包装方式的样品，在较有代表性的八个商店（分散在全市各主要区域，这些商店周边的顾客源即为该目标产品的潜在需求者）实行试销。为避免商品陈列位置差异对销售结果的影响，各商店在样品陈列高度要求一致、排列顺序随机变化。销售人员不作诱导性推销。试销一个月之后，各商店三种包装款式产品的销售量数据如表6-1所示。,表6-1儿童运动饮品“酷酷爽”的试销量统计单位：（件）,研究人员需要回答：三种不同包装方式的销售量之间有没有显著差异？应该如何安排生产？,上例属于单因素方差分析问题。,包装方式因素（因子）A相应的三种包装类型作为因子的三种不同状态即“水平”，记为A(i=1,2,3),销售量“试验指标”或“因变量”导致其差异的原因如下：,随机误差（比如商店之间条件的差异）,导致差异的主要因素是哪一个？包装方式还是随机误差？,这一问题可归结于判断三个总体是否具有相同分布的问题,假设1：三组数据来自具有相同均值的正态总体（假设方差相等）假设2：三组数据来自具有相同均值与方差的正态总体假设3：三组数据来自具有相同方差的总体,实践中，人们通常只对假设1、假设2进行统计检验，特别是假设1的检验，即人们通常所说的“单因子方差分析”。,检验因子影响是否显著的统计量是一个F统计量：F统计量越大，越说明组间方差是主要方差来源，因子影响越显著；F越小，越说明随机方差是主要的方差来源，因子的影响越不显著。,第六章方差分析,6.1方差分析的一般问题6.2单因子方差分析6.3双因子方差分析,6.2单因子方差分析,一、单因子方差分析的统计模型二、单因子方差分析的偏差平方和分解式三、显著性统计检验,表6-2单因素方差分析数据结构表,其中：,（6-1）,注意:每次试验结果只能得到ij,而(-)式中的均值和方差都不能直接观测到。,单因素方差分析的统计模型,(6-2),两个基本假设,假设一：总体是相互独立的，且服从具有相同方差的正态分布，即有N（,2）（1,2,，r),假设二：在各总体下，各(j=1,2,，ni)也是独立同分布，即有,6.2单因子方差分析,一、单因子方差分析的统计模型二、单因子方差分析的偏差平方和分解式三、显著性统计检验,二、单因子方差分析的偏差平方和分解式,Ho:1=2=r（前提：方差相等)(或写成：1=2=r=0，前提：方差相等)Ho:1=2=r且Ho:,三、显著性的统计检验,单因子方差分析实质上是多个正态总体差异性统计检验，其原假设的内容应该包括以下几种情况：,以下只讨论第一种情况之下的检验问题。,自由度的确定：SST是由于的波动引起的方差，但是，这里所有的n个变量并不独立，它们满足一个约束条件，真正独立的变量只有n-r个，自由度是n-r。SSA是因子在不同水平上的均值变化而产生的方差。但是，r个均值并不是独立的，它们满足一个约束条件，因此也丢失一个自由度，它的自由度是r-1。SSE是由所有的在各因素水平上的围绕均值波动产生，它们满足的约束条件一共r个，失去了r个自由度，所以SSE的自由度是n-r。SST、SSA和SSE的自由度满足如下关系：n-1=(r-1)+(n-r),三、显著性的统计检验,检验统计量是:,式中:,F值越大，越说明总的方差波动中，组间方差是主要部分，有利于拒绝原假设接受备选假设；反之，F值越小，越说明随机方差是主要的方差来源，有利于接受原假设，有充分证据说明待检验的因素对总体波动有显著影响。因此，检验的拒绝域安排在右侧。,在给定显著性水平的情况之下，查F分布表值有F1-a(r-1,n-r)，若统计量值F超过这一临界点，则拒绝原假设，认为样本均值之间不完全相同（存在显著差异），否则不能够拒绝原假设H0。,接受域,拒绝域,在实际进行单因素方差分析时，人们习惯把有关统计量及分析结果列在一张表中，此表称为“方差分析表”，如表6-3所示，分析结果一目了然.。,表6-3单因素方差分析表,【例6-2】试对例6-1数据进行单因子方差分析，回答“酷酷爽”三种不同包装方式销售量的差异。,相应的方差分析见表6-4：,表6-4包装方式对销售量影响的单因素方差分析,查F分布表得由于，故在0.05的显著性水平下拒绝原假设H0。该结论说明，包装方式对销售量是有显著影响的。,第六章方差分析,6.1方差分析的一般问题6.2单因子方差分析6.3双因子方差分析,6.2双因子方差分析,一、问题的提出二、无交互作用的双因素方差分析三、有交互作用的双因素方差分析,由于现象的复杂性，影响试验（调查）观察指标的因素往往不是一种，而是多种的。例如，影响销售量固然与包装形式有关，但价格水平也是有影响的，特别是当包装方式的差异对价格本身又有影响时，情况就变得更加复杂，而且，消费者年龄、性别、收入等方面的差异同样也是影响因素；,双(多)因素方差分析方法就是研究两种(或多种)因素对试验（调查）观察指标影响程度的统计分析方法。,双因素方差分析的内容，是对影响因素进行检验，究竟是一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。,双因素方差分析的类型,无交互作用的双因素方差分析,有交互作用的双因素方差分析,假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系,假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应,双因素方差分析的类型,6.2双因子方差分析,一、问题的提出二、无交互作用的双因素方差分析三、有交互作用的双因素方差分析,设有A、B两个因素影响实验（观察）结果指标。因素A有r个水平，因素B有s个水平，因素A、B的不同水平的每种组织都只作一次试验（观察），这种情况下，因素A、B之间没有交互作用。数据结构如表6-6所示。,表6.6无交互作用的双因素方差分析数据结构表,假设xij(i=1,2,r;j=1,2,s)之间相互独立，且,则,（i=1,2,r;j=1,2,s）,其中,独立同分布，且,离差平方和的分解,分别称为“总偏差平方和”、“因素A的偏差平方和”、“因素B的偏差平方和”、“误差的偏差平方和”。,总离差平方和SST的自由度为rk-1=n-1；因素A的离差平方和SSA的自由度为r-1；因素B的离差平方和的自由度为k-1；随机误差SSE的自由度为（r-1）（k-1）,各离差平方和对应的自由度：,由离差平方和与自由度可以计算均方差:对因素A而言：对因素B而言：对随机变量而言：,离差平方和的分解,表88双因素方差分析表,双因素方差分析表,【例】取例6-3(教材)中第一周的数据进行无交互效应方差分析，分析时段对消费量的影响。分时段的平均消费额如下表所示，根据相关公式，可计算有关偏差平方和指标及F统计量，结果见表6-8。周时间为“B因素”（分一周七天），天时间为“A因素”（分为上、下、晚）。,表6-8无交互效应的双因素方差分析表,在显著性水平取5%时，因素A是显著的，而因素B并不显著，即一天之内不同时段顾客的咖啡消费量存在显著的差异，但一周不同日子的咖啡消费量却无明显差异。,6.2双因子方差分析,一、问题的提出二、无交互作用的双因素方差分析三、有交互作用的双因素方差分析,对于双因素方差分析，更加一般化的情况是因素A与因素B之间存在着“交互效应”。即两个因素对实验（调查）观察指标的效应不是简单的叠加，而是存在相互作用。,有交互作用的双因素方差分析数据结构,离差平方和分解形式：SST=SSA+SSB+SSAB+SSE,上式中:,离差平方和SST、SSA、SSB、SSAB和