第9章能量方法.ppt

第9章能量方法,9.1应变能的计算9.2应变能的一般表达式9.3互等定理9.4卡氏第二定理9.5虚功原理9.6单位载荷法莫尔积分9.7计算莫尔积分的图乘法9.8四个常用的强度理论9.9力法解超静定问题,概述,利用应变能的概念来计算结构的变形、位移和内力的方法称为能量法。,二、能量法,结构在外力作用下变形时，外力在其相应的位移上作功，结构由于变形而储存了能量。,一、应变能,应变能不仅与外力的大小有关，还与结构的刚度有关。应变能包含了外力和变形两方面的信息。,9.1应变能的计算,9.1.1基本变形时的应变能,外力所作的功即为阴影三角形的面积，即,1.拉（压）应变能,受轴向拉力作用的等直杆,线弹性范围内，拉力与变形量之间为一斜直线关系,若轴力沿轴线变化，在x截面处的轴力为FN(x),长为dx的微段的应变能为,整个杆件的应变能为,9.1应变能的计算,杆件的应变能,由,扭转力偶所作的功,2.扭转应变能,线弹性范围内,9.1应变能的计算,圆轴应变能,扭矩沿轴线变化，微段的应变能,整个圆轴的应变能为,由,3.弯曲应变能,两端截面的相对转角,9.1应变能的计算,弯曲力偶在变形过程中所作的功,弯曲应变能,微段的弯曲应变能,全梁的弯曲应变能,9.1.2同一基本变形中应变能不可叠加,F1F2二力共同作用下的应变能,杆件中的应变能是内力的二次函数，因而应变能不具有可叠加性。,证明：,9.1应变能的计算,由于通常不为零,即在同一基本变形中应变能不可叠加。,在弯矩M作用下，长度为dx的梁段两端面的相对转角,则,9.1应变能的计算,由此可见，同一基本变形中的应变能不可叠加，原因在于第一组载荷产生的内力会在第二组载荷产生的位移上交叉作功，反之亦然。,9.1.3不同基本变形的应变能可以叠加,组合变形的微段,由于不同基本变形的内力和位移之间不会交叉作功，故应变能对组合变形可用叠加原理，即,9.1应变能的计算,9.2应变能的一般表达式,2.广义位移,1.广义力,载荷包括集中力、分布力和集中力偶，称为广义力。,在广义力作用处沿广义力方向的相应位移称为广义位移。,3.应变能的一般表达式,任一广义力Fi与其对应的广义位移i始终保持线性关系，则该力所作的功为Fii/2。,9.3互等定理,一、功互等定理,在载荷F1和F2共同作用下，1、2点处的位移,先加F1，再加F2,先加F2，再加F1,应变能与加载次序无关,F1在F2单独作用下引起的1点的位移12上所作的功，等于F2在F1单独作用下引起的2点处的位移21上所作的功，这就是功互等定理。,9.3互等定理,二、位移互等定理,当F1=F2时，有,9.3互等定理,12=21,当F1、F2数值相等时，F2在1点引起的沿F1方向的位移12，等于F1在2点引起的沿F2方向的位移21，此为位移互等定理。,9.3互等定理,例9-1所示外伸梁，抗弯刚度EI为常量。已知在跨度中点C处作用集中力F时，截面B的转角为，试求在截面D作用力偶MD时，跨度中点C的挠度。,解,图a为第一载荷系统，图b为第二载荷系统,由功互等定理,于是有,9.4卡氏第二定理,线弹性结构,应变能,第i个外力增加一微量dFi，结构应变能为,1.先施加F1，F2，Fn，后加dFi,应变能,(1)在施加dFi时,其作用点沿dFi方向的位移为di，结构中的应变能为dFidi/2。,2.先施加dFi，后加F1，F2，Fn,9.4卡氏第二定理,(2)再施加F1，F2，Fn时的应变能V。,(3)同时,在Fi的方向(即dFi的方向)上又发生了位移i，“等候”在此的常力dFi又完成了功dFii。,略去二阶微量，得,根据弹性结构的应变能与加力次序无关的性质,9.4卡氏第二定理,线弹性结构的应变能对某一载荷Fi的偏导数，等于在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏第二定理。,交换上式中的积分与微分次序,即先对Fi求微分，再对x积分，得,例：对于横力弯曲,由卡氏第二定理，得,9.4卡氏第二定理,9.4卡氏第二定理,例9-2图9-9a所示悬臂梁的抗弯刚度EI为常数。试用卡氏第二定理计算自由端B截面的挠度和转角。,解(1)求截面B的挠度,梁内任意横截面x处的弯矩及其对载荷F的偏导数为,9.4卡氏第二定理,(2)求截面B的转角,在截面B处“虚拟”地施加一个力偶Me,并令Me=0，得,结果为负，说明B的转向与施加的“虚拟”力偶Me的转向相反。,9.4卡氏第二定理,例9-3图9-10a所示简支刚架的抗弯刚度EI为常量，不计轴力和剪力的影响，求截面B的转角和截面C的水平位移。,解(1)求截面B的转角,各段弯矩方程及其对MB的偏导数,AB段,CB段,截面B的转角,9.4卡氏第二定理,(2)求截面C的水平位移,在C处虚加水平力FC,AB段,CB段,截面C的水平位移,各段的弯矩方程及其对FC的偏导数,9.5虚功原理,一、虚位移,2.在发生虚位移的过程中，各微段不仅发生刚体虚位移，而且也会产生虚变形。,由于其他原因(如温度变化或其他外力)使结构产生一新的位移（虚线），称这种位移为虚位移。,受任意载荷作用的简支梁,1.虚位移是满足位移边界条件和变形连续条件的任意微小位移。,二、虚功原理,这称为变形体的虚功原理。,外力在刚体虚位移上所作的外力虚功We，恒等于内力在虚变形上所作的内力虚功Wi，即,9.5虚功原理,现以梁弯曲问题为例，对上述原理加以证明。,假设其平衡状态为平直状态，在此基础上使梁发生虚位移y*(x),证明：,9.5虚功原理,位移边界条件,变形连续条件,外力所作的虚功,9.5虚功原理,则外力功,静力边界条件,满足平衡微分方程,9.5虚功原理,式中为在Fi的作用点沿Fi方向的虚位移。,虚功原理的一般表达式为,在杆件发生组合变形时，任意微段的虚变形,9.6单位载荷法莫尔积分,一、单位载荷法,2.虚拟状态,求在外载荷作用下K点沿n-n方向的位移,1.实际状态,在K点沿n-n方向施加一个单位载荷FK=1,虚拟状态单位载荷引起的微内力,实际状态微段的相应变形,式中，为结构在实际载荷作用下的待求广义位移。,根据功互等定理和变形体的虚功原理，虚拟状态中的外力在实际位移上所作的虚功，等于虚拟状态中的内力在实际状态中的变形上所作虚功之和。,这种求结构位移的方法称为单位载荷法。,9.6单位载荷法莫尔积分,线弹性结构，各种基本变形情况下微段的变形为,二、莫尔积分,则,9.6单位载荷法莫尔积分,上式为计算线弹性杆件或杆系结构位移的一般公式，又称为莫尔积分。,为实际载荷作用于结构时x截面上的轴力、扭矩和弯矩。,为单位载荷单独作用于同一结构时x截面上的轴力、扭矩和弯矩。,1.平面弯曲变形,三、各种基本变形的莫尔积分式,9.6单位载荷法莫尔积分,2.轴向拉压变形,3.扭转变形,9.6单位载荷法莫尔积分,例9-4图9-15a所示刚架，若两杆抗弯及抗拉(压)刚度分别为EI和EA，且为常数。试求A点的水平位移。,解在A点加一水平单位力,各段的弯矩方程和轴力方程,BC段,AB段,代入莫尔积分式,9.6单位载荷法莫尔积分,当时，上式变为,第一项是由于弯曲变形引起的A点的位移，第二项是由于轴向变形引起的A点的位移。,可见由于轴向变形引起的位移大约是弯曲变形引起位移的0.3%。,若两杆均为直径为d的圆截面杆，且设a=4d，则I/A=d2/16，A点的水平位移为,9.6单位载荷法莫尔积分,例9-5图9-16a所示外伸梁，其抗弯刚度为EI，试用单位载荷法求截面C的挠度及截面B的转角。,解,欲求截面B的转角，在B点加一单位力偶,BC段,AB段,欲求截面C的挠度，在C点加一向下的单位力,9.6单位载荷法莫尔积分,由莫尔积分，得,正号表明C点的挠度与所设单位力方向相同，即向下。,负号表明截面B的转角与所设单位力偶转向相反。,9.6单位载荷法莫尔积分,例9-6图9-17a所示桁架，设各杆的EA都相同，试求节点C的竖向位移。,解为求节点C的竖向位移，在C点沿竖直方向加单位力,9.6单位载荷法莫尔积分,例9-7图9-18a所示刚架，各杆刚度均为EI，试用单位载荷法求C、D之间的相对位移和相对转角。,解,求相对转角，在C、D两点加一对转向相反的单位力偶,AB段,CA段,求相对线位移，沿CD连线方向加一对相背的单位力,DB段,9.6单位载荷法莫尔积分,由莫尔积分，得,正号表示C、D两点的相对位移与所加单位力指向相同。,负号表示C、D两截面之间的相对转角与所加单位力偶相对转向相反。,9.6单位载荷法莫尔积分,例9-8图9-19a为一水平平面内的直角折杆，在C处承受竖直向下的力F作用。设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别为EI和GIp。求C点的竖向位移。,解欲求C点的竖向位移，在C点加竖向单位力,BA段,CB段,由莫尔积分，得,9.6单位载荷法莫尔积分,应用莫尔积分式计算位移时注意,(1)式中左端的“1”是与相应的广义单位载荷。当为线位移时，“1”应为单位集中力；当为角位移时，“1”应为单位力偶。,(2)若求结构上任意两点之间的相对线位移，则需要沿该两点的连线施加一对相向(或相背)的单位集中力；若求结构上任意两截面之间的相对角位移，则需要在该两截面施加一对转向相反的单位力偶。,9.6单位载荷法莫尔积分,(3)在各积分区间内，与、与、与必须选用同一x坐标。,(4)若所得的结果为正值，则表示所求位移与所加单位载荷同向；反之，则表示所求位移与所加单位载荷反向。,9.6单位载荷法莫尔积分,(5)用单位载荷法求K点位移的步骤:,在K点沿位移的方向虚设相应的单位载荷；,写出结构在实际载荷作用下的内力,写出结构在单位载荷单独作用下的内力,代入莫尔积分表达式即可计算出位移。,9.7计算莫尔积分的图乘法,图一般是曲线图形,计算梁或刚架的位移时，则莫尔积分可以写成,图为直线或折线图形,莫尔积分可以用图形互乘的代数运算来代替。,一、图乘法,设在杆长l段内M图是曲线；,图是斜直线,代入积分,(1)上式第一项的积分代表l段内M图的面积,(2)第二项的积分代表此M图对于纵坐标轴的面积矩，其值为，此处xC是M图形心C的横坐标。,9.7计算莫尔积分的图乘法,是M图形心处对应的值,积分式,因此对于等截面杆,以上对莫尔积分的简化运算方法称为图乘法。,9.7计算莫尔积分的图乘法,二、常见图形的面积和形心位置,9.7计算莫尔积分的图乘法,9.7计算莫尔积分的图乘法,例9-9图所示简支梁受均布载荷作用，梁的EI是常量。试求跨中C点的挠度。,解在C点加铅垂单位力,单位力作用下的图,载荷作用下的M图,M图的面积为,形心处所对应的图中的纵坐标值为,跨中C处的挠度为,9.7计算莫尔积分的图乘法,例9-10图9-23a所示刚架，抗弯刚度为EI，用图乘法求C截面的铅垂位移、水平位移和转角。,解在C点分别施加铅垂、水平单位力和单位力偶，并分别画出载荷弯矩图及单位载荷弯矩图,9.7计算莫尔积分的图乘法,载荷弯矩图分别与单位载荷弯矩图互乘,C截面铅垂位移,9.7计算莫尔积分的图乘法,C截面水平位移,9.7计算莫尔积分的图乘法,C截面转角,9.7计算莫尔积分的图乘法,应用图乘法须注意：,(1)画和图时，正负号规定要一致。,(2)必须取自直线图形。如果M图和图都是直线图形，则的数值可取自任一个图形。,(3)当M为正弯矩时，为正，反之为负。,(4)图乘时应注意分段，每一段的须为常数，且图必须为一条直线，否则必须分段计算。,(5)当M图较复杂时，可考虑用叠加法作弯矩图，以易于确定M图的形心位置和面积。,9.8力法解超静定问题,二、相当系统,一、静定基,将支座B作为多余约束去掉，以简支梁作为静定基本系统，简称为静定基。,在原有载荷和多余约束力共同作用下的静定基称为原结构的相当系统。,9.8.1一次超静定问题,沿X1方向的位移等于零,三、一次超静定问题的力法方程,1.确定X1的变形条件,以表示未知力X1单独作用于静定基上时，在X1作用点沿X1方向的位移,9.8力法解超静定问题,以表示载荷q单独作用于静定基上时，在X1作用点沿X1方向的位移,根据叠加原理,若以表示X1为单位力，即时在B点沿X1方向的位移，则有,2.力法方程,9.8力法解超静定问题,由于是以力作为基本未知量的，这种方法称为力法，上式称为一次超静定问题的力法方程。,列出载荷以及多余约束力单独作用于静定基时AB段的弯矩方程,3.求解,9.8力法解超静定问题,由莫尔积分得,9.8力法解超静定问题,代入力法方程得,其弯矩图如图(f)所示。,正号表明X1的实际方向与所设方向一致，即向上。,9.8力法解超静定问题,例9-11图9-25a所示刚架，各杆EI相同，且为常量。试绘制M图。,解建立相当系统,列弯矩方程,CB段,BA段,由莫尔积分，得,由力法方程，得,画出弯矩图，如图e所示。,建立相当系统,三次超静定刚架,位移条件,9.8.2力法典型方程,9.8力法解超静定问题,杆件变形,根据叠加原理,上式称为力法典型方程。,9.8力法解超静定问题,式中的9个系数(i，j=1,2,3)和3个常数项(i=1,2,3)都是静定基在单位载荷和原有载荷作用下的位移。,对于梁或刚架结构，只考虑弯矩的影响,由的表达式可知,9.8力法解超静定问题,例9-12图9-27a所示刚架各杆的EI相同，且为常量。试求解此超静定刚架，并画刚架的弯矩图。,解建立相当系统,将原有载荷及各单位约束力分别作用于静定基上,9.8力法解超静定问题,用莫尔积分计算力法典型方程中的各系数及常数项如下,9.8力法解超静定问题,9.8力法解超静定问题,9.8力法解超静定问题,代入力法典型方程，得,解得,根据,(逆钟向),可绘制出刚架的弯矩图,如图g所示。,9.9对称性与反对称性的应用,图示刚架沿对称轴切开，便得到一个对称的静定基,作用未知力及外载荷F建立相当系统,此时未知力有三对：一对弯矩X1，一对轴力X2和一对剪力X3。,其中X1和X2是对称的，X3是反对称的。,绘出静定基在各单位未知力作用