材料力学-扭转

第7章平面图形的几何性质,概述,构件的横截面积都是具有一定几何形状的平面图形，构件的承载能力（强度，刚度，稳定性等）都与平面图形的一些几何性质（横截面积，极惯性矩等）有关。因此需要,第7章平面图形的几何性质,7.1静矩和形心1静矩,同一图形：坐标轴不同-静矩不同，数值可正，可负，可为零！量纲：,2.形心,3组合图形的静矩和形心,组合图形,注:1静矩有符号.2当Sz=0yc=0，即平面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必然过形心3当yc=0Sz=0，即若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩为零。4由平面图形的形心必在对称轴上，故平面图形对于对称轴的静矩总是等于零。5静矩是截面对于一定的坐标轴而言的，同一截面对于不同的坐标轴，其静矩不同。,解：,已知：矩形截面bh求：sz和sy,已知：图示图形求：zc和yc,解：,4.2惯性矩和惯性半径,1惯性矩,2惯性半径,3极惯性矩,2空心圆,1圆,5组合图形的惯性矩,4惯性矩与极惯性积的关系,已知：矩形求：Iy和Iz解：,已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.求：Iy和Iz。,解：,1实心圆,2空心圆,4.3惯性积,1y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；,2惯性积为零的一对座标轴称为惯性主轴；,3通过形心的主轴称为形心主轴或形心惯性主轴；,4.4平行移轴公式,图形对平行于形心轴y、z轴的惯性矩和惯性积为：,图形对形心轴的惯性矩和惯性积为：,已知：T形截面。求：Izc,解：形心c(0yc),100,20,140,20,c,c1,c2,yc1,yc,z,y,zc,作业4.24.74.9,第三章扭转,31扭转的概念,外力特点：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。,轴：以扭转变形为主的杆件。,变形的特点：当杆件发生扭转变形时，任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。这种相对角位移称为扭转角，用表示。,32外力偶矩的计算，扭矩和扭转图,一、外力偶矩的计算,已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（Nm）,N功率，单位为千瓦（KW）n转速，单位为rod/min,N功率，单位为马力n转速，单位为rod/min,二、扭转时的内力扭矩,右:Mx=0,MeMx=0Mx=MeMx、Mx为扭矩,扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩矢量方向与截面外法线相同为正，反之为负。,扭矩左:Mx=0,MxMe=0Mx=Me,三、扭矩图,例题：1、一传动轴作200rmin的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。,一薄壁圆筒扭转时的应力rt为薄壁圆筒,3.3纯剪切,现象：1圆周线的形状大小不变相邻两周线之间距离不变，但发生了相对转动。2各纵向线仍然平行，但倾斜了相同的角度（剪应变）,矩形歪斜成平行四边形,由平衡条件,试中：r为圆筒的平均半径。,二、剪应力互等定理,由平衡方程,结论：在互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；二者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离两平面的交线，这种关系称剪应力互等定理。,纯剪切应力状态:单元体上只有剪应力而无正应力的情况。,=,dytdx,=dxtdy,G,四E、G和之间的关系,三剪应变、剪切胡克定律,剪应变,在弹性范围内,剪切胡克定律,G-剪切弹性模量,34圆轴扭转时的应力及强度计算一、横截面上的应力,1、变形几何关系,平面假设：,圆轴的各个横截面,变形后仍保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线,并且相邻两截面间的距离不变.,表面剪应变,2、物理关系,内部剪应变,3、静力关系,截面对形心的极惯性矩（与截面形状、大小有关的几何量）,抗扭截面模量（系数）,当=R时,极惯性矩和抗扭截面模量（1）圆,（2）空心圆,二、强度计算,抗扭截面模量（系数）,解决三类强度问题：,35圆轴扭转时的变形和刚度计算,扭转角：任意两横截面相对转过的角度,1扭转角,(1)等直圆轴,(2)阶梯轴,(3)变截面轴,2单位长度扭转角,3扭转刚度条件,许用单位长度扭转角,rad/m,0/m,例题：1、有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分别为d1=40rmn，d2=70mm，已知轮3输入的功率为N3=30kW，轮1输出的功率为N1=13kW。轴作匀速转动，转速n=200rmin。若材料的容许剪应力=60MPa，G=8104MPa，轴的容许单位长度扭转角为=2m，试校核该轴的强度和刚度。,2、图示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9kN.m，m4=4.5kN.m；各轮的间距为l1=0.8m，l2=1.0m，l3=1.2m；材料的=80GPa，=0.3/m，G=80GPa.(1)设计轴的直径D；(2)若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角D-A,3、有一外径为100mm、内径为80mm的空心圆轴，与一直径为80mm的实心圆轴用键相连接。在A轮处由电动机带动，输入功率N1=150kW；在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。若已知轴的转速为n=300rmin，容许剪应力=45MPa；键的尺寸为10mml0mm30mm，其容许应力为=100MPa和c=280MPa。(1)校核空心轴及实心轴的强度（不考虑键槽的影响）；(2)求所需键数n。,P,36扭转静不定问题,已知:AB阶梯轴两端固定,C处作用外力偶矩m,AC抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭刚度为G2Ip2.求:轴的扭矩.,解:1静力学关系,2变形几何关系,m,扭转静不定问题,3物理关系,解出:,37非圆轴截面杆扭转的概念,矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无约束，翘曲程度不受任何限制的情况，属于自由扭转。此时，杆各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维长度无变化，横截面上只有剪应力，没有正应力。杆一端被约束，杆各横截面的翘曲程度不同，横截面上不但有剪应力，还有正应力，这属于约束扭转。,式中h矩形截面长边的