第十三章13.2多元函数的极限和连续性_第1页
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13.2多元函数的极限和连续性,一、多元函数的概念不论在数学的理论还是实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边形的面积由它的相邻两边的长和以及夹角所决定。即，是由三个自变量（三个变元）和所确定的。圆柱体体积由底半径和高所决定，即，是由两个自变量所确定的。这些都是多元函数的例子。,二元函数的定义设是平面点集，是实数集，是一个规律，如果对中的每一点，通过规律，在中存在唯一一个实数和此相对应，我们就称是定义在上的一个二元函数，和是函数的两个相互独立的自变量，在的函数值是，并记此值为，即。与一元函数相仿的，我们常常采用下面的记号来记这个函数：并称是的定义域。在通常数学分析中为了省略，我们也称是一个二元函数。,例1自傲直流电路中，电流，电压与电阻满足关系例2理想气体的状态方程,二、二元函数的极限二元函数极限的定义设二元函数在点附近有定义。如果对人以给定的，总存在，当时恒有我们就称是二元函数在点的极限，记为这一定义也可以用点的坐标表述，即：如果对任意给定的，总存在，当时，恒有，就称在点的极限，记为,定义若对，存在，使当且不与重合，亦即时，恒有那么称为在点的极限。,例3例4,三、二元函数的连续性二元函数连续性的定义若在有定义，存在，且二者相等，即时，则称在点连续。例5求函数的不连续点。,四、有界闭区域上连续函数的性质定义设多元函数在某个开区域内有定义，并且对内任何一点，在连续，则称在内连续。有界性定理若在有界闭区域上连续，则它在上有界，亦即存在正数，使在上恒有一致连续性定理若在有界闭区域上连续，则它在上也一致连续，即对任给的，存在，使上任意两点，当时,恒有这里的仅与有关，而与上的点无关。最大值最小值定理若在有界闭区域上连续，则它在上必有最大值和最小值，亦即在上存在点和，使对上任意的点，恒有也就是说，分别是在上的最小值和最大值,零点存在定理设在区域（不一定是有界闭区域）内连续，并且在内两点异号，也就是，那么用完全位于内的任意的折线联结和时，在上必有一点满足,五、二重极限和二次极限前面所考虑的的极限也称为二重极限。此外，我们还要讨论先后相继地趋于各自的极限时的极限，称为二次
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