第八章 不定积分(1)_第1页
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1函数列的一致收敛性,第十三章函数列与函数项级数,1函数列的一致收敛性,一般项是数的级数称为数项级数，,一般项是函数的级数称,为函数项级数,由于函数项级数的部分和序列是一函数列，,所,以我们先讨论函数列再讨论函数项级数,一、函数列及其一致收敛性的概念,定义1、,定义在E上的一列函数,称为函数列，,记作,取,则得数列,如果数列,收敛，,则称函数列,在,点收,敛，,则称函数列,在,点发散,如果函数列,在,中的每一点都收敛，,则称,在,上收敛,此时，,函数列,都有唯一,的极限值与之对应，,由此而确定的函数称为函数列,极限函数，,记作,以上介绍的收敛称为点收敛,用,语言叙述如下：,称为收敛点,如果数列,发散，,的,函数列所有收敛点构成的集合称为收敛域,例1、,设,则其收敛域为,且极限函数为,实因：,当,时，,所以,取,当,时，,从而当,时，,当,时，,都收敛，,又,时，,且,时对应的数列为,所以在,外，,都发散，,故其收敛域为,例2、,设,有,所以,取,当,时，,故在实数域上，,由两个例子可以看出，,函数列具有的分析性质，其极限函,数不一定具有，,所以要强化收敛性的讨论而得一致收敛的概念.,定义1、,设有,如果对于任意的,则称,在D上一致收敛于,记作,而,存在仅与,有关的,使得,时，,例3、,在R上一致收敛于0,实因：,取,当,时，,所以结论成立,例4、,在,上非一致收敛于0,实因：,取,取,则有,所以结论成立,一致收敛的几何解释,函数,是平面上的一条曲线，,其上、,下平移而得,从而,是指,使得,当,时，,曲线,就一定位于两条平行线,构成的带形,区域内,在,上非一致收敛于0的几何解释,函数列,如图：,曲线,都有一部分位于带,形区域外,如果在,处挖去,一个小邻域,（）,则,在,上一致收敛于0，,实因：,取,即知结论成立,二、函数列一致收敛性的等价条件,定理1、,(柯西一致收敛准则),在D上一致收敛,证：,设,则,于是,时，,必要性得证,因为,所以函数列在D上收敛.,设,固定,令,则有,故,在D上一致收敛，充分性得证,综上可知结论成立,定理2、,(致收敛确界原理),证：,设,则,此时,所以,设,则,而,故结论成立,利用一致收敛的确界原理来判别函数列的敛散性较为方便，,但必须知道其极限函数,例4、,由于,所以,例5、
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