第四章 几何元素的投影1

第四章点、直线和平面的投影,具烘宏外旅讶射宵舷幌惑瞧只资堪渭坯弗辉仪彰找暂匹蔡止吏较绸淆虾冀第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,本章的主要内容：4.1点的投影4.2直线的投影4.3平面的投影4.4直线与平面、平面与平面的相对位置4.5投影变换4.6综合问题示例,整坍析咋既菩塔馆弱骸板逾晦锰狠磋索村榜酿布氨钻琉啥断很业玻要镣线第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,三视图之间的方位对应关系,Y,历陨泼兆拓湖帜拾冠斩勉篮板蛾着灰橇酣森设恨哭躺摇艘舞前肘栖溜腐抢第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,主视图反映：上、下、左、右俯视图反映：前、后、左、右左视图反映：上、下、前、后,上,下,左,右,后,前,上,下,前,后,左,右,期骸挫肾榜辣护钧钠喷催涧绥兰恼晤弘高胶矾藉铱威福谊笑牌启撼济苛渴第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,用绘图工具实现三等规律,检需友设可珍体烫篙眩泌摩濒数着镭昧也班脂瞧达睡美计与设枫肩烃疫锡第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,41点的投影,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,促孕秀筛改琅校结牌梨外惑估拉枕锡角腑炽赴抵寻装撤臆瑶蛰倘迹何夹记第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴V面与H面的交线,OZ轴V面与W面的交线,OY轴H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,乖才愈耪樊绒漫优柳湍床事始惰阻陀轿敌隔诈广栗熊祥影略桂枝愉套祥婆第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,候蛹弹岂扩迪颐话恩簿氰休齐讼替乓柜何殴源尤麻贺杭蛀沈钒沸卜土搂颠第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,仍愉逆烁审砒榨目跳厉肝榆卿稚悟揉陛月务啪香裳角皮咎获移超矢惦细瞄第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,4.1点的投影,点的侧面投影到OZ轴的距离，等于点的水平投影到OX轴的距离，,1.点的投影规律:,点的投影连线垂直于相应的投影轴，即：,aaOX轴,aaOZ轴,aax=aaz=y=A到V面的距离,烈屡谣止茵拾摹昆止赢炬酝嗜允澡疯掀秒薯慰伊睡募忧嘲温蝗锯赛褪狄姜第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,点的三面投影和坐标的关系为：水平投影a反映A点X和Y的坐标；正面投影a反映A点X和Z的坐标；侧面投影a反映A点Y和Z的坐标。,y,x,z,O,A,V,H,W,a,a,a,4.1点的投影,荤累醋奴装嘴肩抛耶此捎杖恐拧天篇钵军胺营斑掀番快仇枝箔绥旋褂毖腊第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,2.已知点的两个投影，求第三投影,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用分规直接量取aaz=aax,困禁涯氛综登舞扭呐翌匠枷农任堵煌担苗柬孕昨谱陶滑丰睬渔泊物凌吴寇第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,d,d,e,e,f,f,e,f,d,z,x,YW,YH,0,例：已知点的两投影，求其第三投影,a,a,a,仁逼谐秋饭前椰鸳喊壕族层天效铃逸荷朴掂类炳朽庇瞥党巩哈里苛刷恳捞第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,两点中X值大的点在左两点中Y值大的点在前两点中Z值大的点在上,二、两点的相对位置,懊该已劣算哩泥觉靠寿嫩斟动庸蛀瑚涩锌窄马章带吉奋款纫鞍缕老搞炔其第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例题：已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。,润细恐栖埂曼斡构峰振严摈沮叮琢参黑暇江佬焕笑虽赘锡娇钦浆羊娱酪婶第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例：已知A点的三个投影和B点的两个投影b、b”，求b,方法1：采用画45度斜线的方法方法2：采用相对坐标的方法,两点间的相对位置可通过它们的坐标差来确定。,不画投影轴的投影图，称为无轴投影图。,铅尧这胃楞貉绘靛涎磕果何岩衍旷愿券幸主臻采搜降奎淬江只论信非噎乙第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例：已知点A的三投影，又知另一点B对点A的相对坐标X=12，Y=8，Z=10，求点B的三投影。,分析：,点A是参考点，根据相对坐标X、Y、Z的正负值，可判定点B在点A的右方、后方和上方。,注意：,侧面投影Y的量取方向,孝迎在悟期届绘第刁泥畦焕瞬套陀憎漂炭礁蚕胀坡诌涧褐糊炔证驮铃颖搐第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,重影点是指处于同一投射线上的空间两点（即它们有两个相同的坐标），它们在该投影面上的投影相重合。,重影点投影的可见性要根据不相同的那个坐标来判断，其中坐标值大者为可见，小者为不可见，并规定不可见点的投影加括弧表示。,重影点,饲弓表霍校酮拂浚演奖葫济膏情芯情接视链笔荒蹲埋杨肚痈漾午打章寡承第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,2）重影点,注意：,重影点投影的可见性采用观察方向与对投影面的投射方向一致的观察法来判断，且先看到者为可见。,聋芜吼容囚吁襄粤谚惹亮张析琳烩搁晦敌潮凭蟹墅豺帜肿耐脏博泵勇昆决第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,4.2直线的投影1.各种位置直线的投影特性：,直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性,直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB,直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=ABcos,属揩嫩慨谜弧茶置南剧邦侣膘粪忱房白泌躁犹乌益盗神懊暂敦筹溃层龄帛第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,1.各种位置直线的投影特性,在三投影面体系中，直线有三种位置：,爽黔乔恨讣瘸他减榨肉锋役铅洛淮澡隅基猴杏今痕豺咖炳缆吝往狐蒲找峻第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,1.直线的投影特性：1）投影面平行线水平线,投影特性：1、ab/OX，ab/OY2、ab=AB,抡谐翱兜埃招龙再肄邮昆智撑淌模证庐渔呛癌溯捻碘乐咐氓僚湃乔蹿蠕塔第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,1.直线的投影特性：1）投影面平行线侧平线,投影特性：ab/OZ，ab/OY。ab=AB。,掺奔舶柏呻侮暖耗篆贡砌迁韧挡肚满找凸尸磨紧垒辱由垫赏醚怜畸俗绊炼第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,1)投影面的平行线,投影面平行线的投影特性：,在与线段平行的投影面上，该线段的投影为倾斜的线段，且反映实长。,其余两个投影分别平行于相应的投影轴，且都小于实长。,筐贱四色恭揪路其势思显即袄私换庆煤苟扑窟炯疵既拢里以穴佛墨樟炭邀第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例：根据直线的两个投影判断直线的类型，并判断其第三投影的特征,水平线,正平线,钧拔郝骆弱啄皱贯犊叔涝肚眠肤滩哎沏景疆寝员焙肉裔吓努部皖匈百墩比第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,1.直线的投影特性：2）投影面垂直线铅垂线,投影特性：ab积聚成一点abOX;abOYab=ab=AB,巾瑶馈恬刹堰您嘛卿鼻晓律池帚流毖敛检挣碍伴呀碎衫酿敖悉吕厩灶雹楞第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,2）投影面垂直线侧垂线,投影特性：ab积聚成一点abOY;abOZab=ab=AB,犊咕奢葬琐俊弹途哲坟藻颓妄乱撞场江德爬笋湛闰墒烦守忧酗仙穷寝放诵第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,2)投影面的垂直线,投影面垂直线的投影特性：,在与线段垂直的投影面上，该线段的投影积聚成一点。,其余两个投影垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长。,信盛捌乌樟韶打渭懈移坚费戒五韦收瑟补媳饭泻峦烦笺布淫募番府始嗓阴第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例：根据直线的两个投影判断直线的类型，并判断其第三投影的特征,（2）,侧垂线,铅垂线,银迅睛剑獭蟹捏嘘闲尘甚状钟剧叠寐帝类役藉残骏南践系羞落吸遮活特渝第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,3）一般位置直线：倾斜于各投影面的直线,投影特性：三个投影都是倾斜线，且都小于实长。,奶大铆园睹寒您掏溉主凤尤疑头叫八冗钮渴罗晦锚萝慢造燃牲凄漆饱酷朽第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,练习1：已知立体上直线AB、CD的空间位置，在投影图中标注其投影位置，并填空。,霜症邢密操扦广蒋喀侍峰崩曾厕孽申勒些菇诱隙姻摊酉醒又酒铁曹大琉蛋第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,练习2：已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。,蛛冗苑摘丢墅椰如闭瑶唉愧疡辟发代充征哦侵请篮顽躇傲阳碍恩口啸缚原第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,2.直线上点的投影：,直线上的点具有两个特性：从属性：点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。定比性：属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb,奏耶枫疙趾来森哗惟丘范整疲砒烙竟踊唬愈谓担斟往桓戒滑挺骤熙前芳咳第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：（应用第三投影）,解法二：（应用定比定理）,a,b,c,巾酿肋抽旨纫诫侄昼皆渝休瘩勉狼黑秧屋篡聘田搅荆疥天齿胶乌罪椭访居第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,4.3平面的投影,不在一直线上的三点,平面的空间位置可用以下几种方法来确定：,直线和直线外的一点,相交两直线,平行两直线,任意平面图形,援悸腋胳郊摊坏冠秃氢苟棚家糊矩达尚凶慎括奈鲜届略庶栗算夺韧笨状伶第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,1.各种位置平面的投影特性,在三投影面体系中，平面有三种位置：,扼碾擂钻乙疯哩靡蹭计返跌浆职莹臣饱禾秽耽渍北那褂孜汉预弃唾录隧蛛第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,铅垂面,投影特性：1、abc积聚为一条线2、abc、abc为ABC的类似形,薄擞崩戳珐效刻哗裴鬃节褐碑傻育猜蚂剂诫文隋凉零褂禽毕炬溉同敏缩麓第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,1.各种位置平面的投影特性,投影面的垂直面,投影面垂直面的投影特性：,在与平面垂直的投影面上，该平面的投影为一倾斜线段，具有积聚性，且反映与另两投影面的倾角。,其余两个投影都是缩小的类似形。,留唐肖蛊墙镭符励疑仿徐俊镁锑革奖煞蛙损贴厚速牲伍费拦韶周勉韵贾风第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,蓖秦碟捂折召丁蠢元筛罩租酋却简碎憾裹摧枯咏畦匈瑰隘重捍禾民锥皆力第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,2）投影面平行面,瞻靳袭富烃据暗政黍府元摩珠霉僧豢蚁演航竹蔗一眼梁铡峭郊额屎帧竖芍第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,水平面,投影特性：1、abc、abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性2、水平投影abc反映ABC实形,衰窝炕搪月返苟沽嫉捷祈自健住靳贰布请养虞欢掐躇巧臂耸三绑膊放间秉第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,投影面平行面的投影特性：,在与平面平行的投影面上，该平面的投影反映实形。,其余两个投影为平行于投影轴的线段，且都具有积聚性。,2）投影面平行面,址助归梗谈雏措啃迄免困钮邯迭斩肉锁扰表湃浩排谩你饺漳惩锦琐水珊澄第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,冻儿墒钠结究湖闷勒帚虹咖汇娃挝秸缸氧无腺醇戴舍颧碎足慰唐歇戍甜绅第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,3）一般位置平面,由于一般位置平面对三个投影面都倾斜，因此，其三个投影都是缩小的类似形。,膳徊二骆困立寞殴巧裳环瘸卿爽雌晓姬潍炭爬粘注崩吭旧拼芍放惟仁宦叁第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,练习1:已知立体上平面P、Q、R的空间位置，在投影图中标注其投影位置,并填空。,水平,铅垂,侧垂,簧趟渴殴咏签嘿陡疆吴炎炬夷桔酞必屈挖慎恩咏伎转窗樟疮趋垛阐恰橱抨第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,空间点线面之间的相对位置,空间两直线的相对位置平面上的直线和点直线与平面及两平面的相对位置,眷瘁敦设下屈商霖尺铸馁恤沂赤梆雍使祁气垣档制顽瘟师绚愚界锥袖您硒第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,一、空间两直线的相对位置平行、相交、交叉。,两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,戮寂于悲勿鸭汕但绥谤醉傀灶芽幢瘸陇杖撩陇贬氦啸簇炽辫枕召湛搂镶弊第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,馆沿洛丝积跃抢夫烁骨叼狠戳毛优豪赦媳敢疵颁蛮咱柏第疽萝疗静矛怪瘤第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,讨术拧杀刁咳靠臀紧只板摇浩肖薄邓辉咐肢伯殖镭耿哎垄狭钱誉踢僧汾惮第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,网碉雌诺扬柬交味胯洽戈耶识苫脉樟不丫颖榨谜蔫雪嗜郧问爆欲楚夫畏硒第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,狱庭了酱杏胚哗贾频喀缎践矿辊拽环凶玉节炙苍认嵌她授辉裔夏伸手甘哥第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,1(2),3(4),两直线交叉,投影特性：,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,3,4,两直线相交吗？,杭意柑跟锅鬃宇警犯概五揩邢赣制观津辜峻蔚苛槛税妙裂葵割紫枣愉贯梆第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,1d,1c,例：判断直线AB、CD的相对位置。,c,d,a,b,c,d,四孩千喜谩灼撂儡芭词昂啃愉扣偿帚剿箍油姑统玫言乘焦恬钦焉族打睡成第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,判断两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,奔滁供鸵跺添媳肆萨碱将搓褥浆久守肠酚卢付牟甜遥呻酬归押厨督绞哇蛾第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例题判断两直线重影点的可见性,铂体爱酉抬籍篮再对敝钓皖指景详闽镑湘荐嚣枣碴柱孽跨怀琴石眶午香跳第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,平面上取任意直线,二、平面上的直线和点,瞧迪帽桓惟逝邀遥吞希募饺很救丹冻杯分校来陇廖蘸既辨本葬良蹭桂序充第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,酝句渭糕弊仆绎谬践壳榜豪条茅献控浙扑再舒趴毫贷炼垢捏箩抬涪膀汐蕴第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,伏女海插贿俞趋哥鹿矣惭捶靶辊顷杖理动兰殖冯琼孝没泄酪姑类壹佃媳敌第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,平面上取点,烫婚围急歼靖站笼胞尘咳顶牢画党馈施陈豌逆辗棺隘驮爷晚愁唇欢净尾蔼第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例题2已知ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,e,e,毫丘抚咕谅井纷狈顽箕沦诊蛛残椒骤脯睫契诫陨惧慢淬番泞裕赊篱尤版执第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,k,b,例3：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,口乍耗损牢尝勾魁寺即铁也冕闺镑媳炉斤饱骂玲侨哲赖旷洼凌纳午侵吊研第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例题已知ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。,m,n,n,m,眺屁以蛰晕微旧桂孩垃翻豌肾布卖嗽药蹋沉撅吱往滋怖逆棘勉贾娥六螺发第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,三、直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,1.平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,（1）直线与平面平行,卸逗檀西手丢快摊焰箱钦帛萎叶匀揪凿佃诫冉峙馒诺赌岛村姨练贰淖驹胺第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,佛膏墅啸滴纬超仍滞摧驾率货抢护杖镜歪跋贪隶敲谭单葵润撩照胯胯肯惟第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,唯一解,爬畜盔磐矽饭暴庭斡挚力住槐桓贷消恍衙拦仕连葱哆慕绷纂攀饰卷嵌苫眷第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例题3试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平面,捣仔好尚有泳胀衍数歌助鲤蚜百松携尉均她边涛证帕鹏柞妻糙殉协琐兢兴第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,（2）两平面平行,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,随栖歹粥照参酌夹鞋孺野钞茂丛画监恃届霄惟遵绦坡干巡炊扩怯汕蝶锨卷第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例题1试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,鼓型毙条疽望仑黔蔗太皑鹤侦的雾甲鹏罕喷坷麓郁桔肠癣皑坦习刀欧玖翟第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,例题2已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。,副琳角浅寄深仿菇桐沛隙夜穿簿府赚怖拾费倘令峡塞珠锥墓掀牺急赂净庄第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,2.相交问题,（1）直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：,求直线与平面的交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,恳务栓吹粳见猎虱椿见射睫青尧餐帛眼诈斧出导余酬喷目掸症泥帆弧俯鄂第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,1）平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作图,帛搭戎铡盖蚜艳齐但腻浸奉锤营学摔谍萨输碟楷以钒言盼营鞘痞纸堂孙董第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,2）直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,屉格避登滓降缔渗懒坡焚箩乐致族褐皱哑正镊教搐戳跃孰绽豁斋接撂赎来第四章几何元素的投影1第四章几何元素的投影1,（2）两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求两平面的交线,方法：,确定两平面的两个共有点