信息论与编码民大05-最佳信源编码

5/3/2020,1/34,最佳信源编码,5/3/2020,2/34,引言,香农编码定理虽然指出了理想编码器的存在性,但是并没有给出实用码的结构及构造方法；编码理论正是为了解决这一问题而发展起来的科学理论；编码的目的是为了优化通信系统，使通信系统的性能指标有效性、可靠性、安全性和经济性达到最佳；按不同的编码目的，编码分为三类：信源编码、信道编码和安全编码（加密编码）。,5/3/2020,3/34,信源编码：提高通信有效性。通常通过压缩信源的冗余度来实现。采用的一般方法是压缩每个信源符号的平均比特数或信源的传输率（码率）。即同样多的信息用较少的信息率来传送，使单位时间内传送的平均信息量增加，从而提高通信的有效性。信道编码：提高信息传输的可靠性。通常通过增加信源的冗余度来实现。采用的一般方法是增大码率/带宽。与信源编码正好相反。加密编码：提高通信系统的安全性。通常通过加密和解密来实现。从信息论的观点出发，“加密”可视为增熵的过程，“解密”可视为减熵的过程。,5/3/2020,4/34,信源编码定理：对于给定的失真率D，总可以找到一种信源编码方法，只要信源速率R大于R(D)，就可以在平均失真任意接近D的条件下实现波形重建。说明1：R(D)称为率失真函数，它是单调非增函数，速率越高，平均失真越小。说明2：为了保证在一定速率下的失真，必需采用信源编码，因而会引入编码延时。信道编码定理：如果信源速率R小于信道容量C，总可以找到一种信道编码方法，使得信源信息可以在有噪声信道上进行无差错传输，即：RC，无差错传输条件说明1：信道容量C可根据香农定理得到CWlog2(1+S/N)说明2：为了保证无差错传输，必需采用信道编码，因而会引入编码延时。,编码理论,信息传输定理：将信源编码定理和信道编码定理综合，就得到信息传输定理。即：为保证无差错传输及失真度的要求，必需满足：CRR(D)说明1：在一般数字通信系统中，信源编码和信道编码可以分开考虑。信道编码定理给出无差错的速率上限，信源编码定理给出无失真或限失真的速率下限。说明2：为了实现理想性能，都要付出延时的代价。,5/3/2020,6/34,速率：高速率、中速率、低速率压缩比质量：客观评价主观评价延时：质量和延时的关系不同业务对延时的要求复杂性：算法的复杂性及软硬件实现的复杂性,信源编码的性能指标,5/3/2020,7/34,波形编码：将波形直接变换成数字码流。特点：比特率较高、解码后质量较高、延时较小。可以分为：时域波形编码，如PCM、ADPCM、M等；频域波形编码，如：子带编码(SBC)、自适应变换编码(ATC)等。参数编码：从信源信号的某个域中提取特征参数，并变换成数字码流。特点：比特率较低、解码后质量较低、延时较大。如：各种声码器。混合编码：将以上二种方法混合，特点：以较低的比特率获得较高的质量，延时适中，复杂。如：GSM的语音编码，IS-95的语音编码等。,信源编码的实现方法,5/3/2020,8/34,香农编码,设离散无记忆信源二进制香农码的编码步骤如下(4步)：将信源符号按概率从大到小的顺序排列p(x1)p(x2)p(xn)令p(x0)=0，用pa(xj)，j=i+1表示第i个码字的累加概率确定满足下列不等式的整数ki，并令ki为第i个码字的长度log2p(xn)ki1log2p(xn)将pa(xj)用二进制表示，并取小数点后ki位作为符号xi的编码。,5/3/2020,9/34,例有一单符号离散无记忆信源对该信源编二进制香农码。其编码过程如表所示。,5/3/2020,10/34,香农码的平均码长若对上述信源采用等长编码，要做到无失真译码，每个符号至少要用3个比特表示。相比较，香农编码对信源的等长编码而言有0.3比特/符号的压缩。,由离散无记忆信源熵定义，可计算出：对上述信源采用香农编码的信息率为编码效率为信源熵和信息率之比。则可以看出，编码效率并不是很高。,5/3/2020,11/34,费诺编码,费诺编码也是一种常见的信源编码方法。编码步骤如下：将概率按从大到小的顺序排列，令p(x1)p(x2)p(xn)按编码进制数将概率分组，使每组概率尽可能接近或相等。如编二进制码就分成两组，编m进制码就分成m组。给每一组分配一位码元。将每一分组再按同样原则划分，重复步骤2和3，直至概率不再可分为止。,5/3/2020,12/34,例与香农编码一样的单符号离散信源对该信源编二进制费诺码。编码过程如表。,5/3/2020,13/34,上述码字还可用码树来表示，如图所示。,5/3/2020,14/34,该信源的熵为平均码长为编码效率为费诺编码有较高的编码效率。费诺码比较适合于每次分组概率都很接近的信源。特别是对每次分组概率都相等的信源进行编码时，可达到理想的编码效率。,5/3/2020,15/34,例有一单符号离散无记忆信源对该信源编二进制费诺码，编码过程如表。,5/3/2020,16/34,码树图如图信源熵为H(X)=2.75(比特/符号)平均码长为信息率编码效率为=100%。因为每次所分两组的概率恰好相等。,5/3/2020,17/34,5.4.1编码步骤,哈夫曼(Huffman)编码是一种效率比较高的变长无失真信源编码方法。将信源符号按概率从大到小的顺序排列，令p(x1)p(x2)p(xn)给两个概率最小的信源符号p(xn-1)和p(xn)各分配一个码位“0”和“1”，将这两个信源符号合并成一个新符号，并用这两个最小的概率之和作为新符号的概率，结果得到一个只包含(n1)个信源符号的新信源。称为信源的第一次缩减信源，用S1表示。将缩减信源S1的符号仍按概率从大到小顺序排列，重复步骤2，得到只含(n2)个符号的缩减信源S2。重复上述步骤，直至缩减信源只剩两个符号为止，此时所剩两个符号的概率之和必为1。然后从最后一级缩减信源开始，依编码路径向前返回，就得到各信源符号所对应的码字。,哈夫曼编码,5/3/2020,18/34,例设单符号离散无记忆信源如下，要求对信源编二进制哈夫曼码。,5/3/2020,19/34,将上图左右颠倒过来重画一下，即可得到二进制哈夫曼码的码树，如图所示。,5/3/2020,20/34,信源熵为平均码长为编码效率为若采用定长编码，码长K=3，则编码效率可见哈夫曼的编码效率提高了12.7%。,5/3/2020,21/34,注意：哈夫曼的编码并不惟一。每次对缩减信源两个概率最小的符号分配“0”和“1”码元是任意的，所以可得到不同的码字。只要在各次缩减信源中保持码元分配的一致性，即能得到可分离码字。不同的码元分配，得到的具体码字不同，但码长ki不变，平均码长也不变，所以没有本质区别；缩减信源时，若合并后的新符号概率与其他符号概率相等，从编码方法上来说，这几个符号的次序可任意排列，编出的码都是正确的，但得到的码字不相同。不同的编法得到的码字长度ki也不尽相同。,5/3/2020,22/34,举例说明上述问题例:单符号离散无记忆信源方法一：合并后的新符号排在其它相同概率符号的后面。,5/3/2020,23/34,5/3/2020,24/34,方法二：合并后的新符号排在其它相同概率符号的前面。,5/3/2020,25/34,5/3/2020,26/34,单符号信源编二进制哈夫曼码，编码效率主要决定于信源熵和平均码长之比。对相同的信源编码，其熵是一样的，采用不同的编法，得到的平均码长可能不同。平均码长越短，编码效率就越高。编法一的平均码长为编法二的平均码长为可见，本例两种编法的平均码长相同，所以编码效率相同。,5/3/2020,27/34,讨论：哪种方法更好？定义码字长度的方差2：长度ki与平均码长之差的平方的数学期望，即编法一码字长度方差：编法二码字长度方差：,可见：编法二的码长方差要小许多。意味着第二种编码方法的码长变化较小，比较接近于平均码长。编法一的5个码字有4种不同的码长；而编法二的码字只有2种不同的码长；显然，编法二的方法更简单、更容易实现，所以更好。结论：在哈夫曼编码过程中，对缩减信源符号按概率由大到小的顺序重新排列时，应使合并后的新符号尽可能排在靠前的位置，这样可使合并后的新符号重复编码次数减少，使短码得到充分利用。,5/3/2020,28/34,“全树”概念定义：码树图中每个中间节点后续的枝数为m时称为全树；若有些节点的后续枝数不足m，就称为非全树。二进制码不存在非全树的情况，因为后续枝数是一时，这个枝就可以去掉使码字长度缩短。对m进制编码：若所有码字构成全树，可分离的码字数（信源个数）必为m+k(m1)。k为正整数。若信源所含的符号数n不能构成m进制全树，必须增加s个不用的码字形成全树。显然sm1，若s=m1，意味着某个中间节点之后只有一个分枝，为了节约码长，这一分枝可以省略。,m进制哈夫曼编码,5/3/2020,29/34,例：对前面的单符号离散无记忆信源编三进制哈夫曼码。这里：m=3，n=8令k=3，m+k(m1)=9，则s=9n=98=1所以第一次取ms=2个符号进行编码。,5/3/2020,30/34,5/3/2020,31/34,平均码长为信息率为编码效率为可见：哈夫