导数的几何意义教学设计.doc

精品文档 导数的几何意义教学设计 导数的几何意义本节课教学指导思想与理论依据：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期.它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段导数的概念是微积分核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用本节教材选自人教A版数学选修2-2第1章“导数及其应用”第一节“导数的几何意义”，是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内容，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容新课程标准要求，微积分教学“返璞归真”，把极限、连续、瞬时速度等概念，建立在朴素理解的基础上，直接由变化率问题得到导数的概念，进而研究导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用本节内容按照先突破一般曲线的切线定义；再结合旧知识“平均变化率表示割线的斜率”，学生对照动画探究“割线逼近切线割线的斜率逼近切线的斜率切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数”的线索展开，从近似过渡到精确，通过图形直观逼近的方法消除学生对极限的神秘感，通过将曲线一点处的局部“放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现了“局部以直代曲”背后的深刻内涵和哲学原理学情分析：学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此有相当的兴趣和积极性学生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数就是曲线上某点的斜率等等教法分析：本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识学法指导：借助多媒体技术，通过设计环环相扣的探究问题，创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习引导学生动手操作，指导学生讨论交流从而发现规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力使学生充分经历“探索感知讨论归纳发现新知应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中教案导数的几何意义教学流程导数的几何意义李明12月4日于海南华侨中学一、创设情境、导入新课师：上节课我们学习了导数的概念，请回答：函数在x?含义？生：函数在x?x0处的导数f(x0)的x0处的瞬时变化率.f/?x0?limf?x0?x?f(x0)?y?lim?x?0?x?x?0?x师：那么，用定义求导数分哪几个步骤？同学们可参考教材第6页例1.?yf?x0?x?f(x0)?生：第一步：求平均变化率；?x?x?ylim第二步：求瞬时变化率，即f?x0?x?0?x/?y师：非常好，并且我们从求导数的步骤中发现：导数就是求平均变化率当?x?x趋近于O时的极限.明确了导数的概念之后，今天我们来学习导数的几何意义.二、引导探究、获得新知?y师：观察函数y=f(x)的图象，平均变化率在图中?x什么几何意义？生：平均变化率表示的是割线AB的斜率.有y2?y1师：是的，平均变化率的几何意义就是割线的斜率.?xP时，观察割线PPn的变化趋势图.生：当点Pn沿着曲线y=f(x)趋近于点P时，割线PPn趋近于在P处的切线PT.师：看来这位同学已经预习了，他说的很对，“当点Pn沿着曲线y=f(x)逼近点P时，即?x?0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.”这就是切线的概念.师：观察图，曲线y=f(x)与它的割线有2个交点，与它的切线PT有1个交点.那么，能否根据直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系？生：若曲线与直线有2个公共点，则它们相交；若曲线与直线有1个公共点，则它们相切.师：观察图，请指出直线l1与曲线L是什么位置关系？直线l2与曲线L是什么位置关系？生：直线l1与曲线L相交，直线l2与曲线L相切.师：直线l1与曲线L有唯一公共点但它不是曲线的切线，l2与曲线L不只一个公共点，但它是曲线在A处的切线.所以，今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系，应该从定义出发.师：由切线的定义可知，当?x?0时，割线PPn趋近于切线PT.那么，割线PPn的斜率趋近于?？生：切线PT的斜率.师：割线PPn的斜率kn?y，当?x?0时，切线PT的斜率k就是?？?xlim生：k?x?0?y?xf?x0?x?f(x0)?f/?x0?.至此，请同学们总结，导数师：即k?lim?x?0?xf/?x0?有什么几何意义？/?x0?是PT的斜率.师：直线PT是曲线y?f(x)的?？生：直线PT是曲线y?f(x)在x?x0处的斜率.师：同学们说的非常好！导数的几何意义：函数在x?x0处的导数就是切线PT的斜率k，即f?x0?x?f(x0)?ylim?lim?f/?x0?k?x?0?x?x?0?x图像在该点处切线的斜率.师：说出曲线y?f?x?在x?1,2,3处的切线的倾斜角./f/?1?1；f?2?0f?3?生：45、0、120四、知识应用、巩固理解师：例1：求出曲线000f(x)?x2在x?1处的切线方程.你们想怎样求切线方程呢?生：求出函数在x?1处的导数师：求切线的斜率之后呢？生：f/?1?，就知道了所求切线的斜率.师：好，那我们不妨先求出斜率k?f(1)?lim?lim?lim(?x?2)?2?x?0?x?0?x?0?x?x那么，关于直线我们还知道哪些信息？生：x?1是切点的坐标师：是切点的横坐标，那纵坐标呢？也是1生：也是1，切点的坐标为师：知道直线上一点的坐标和斜率，那么直线方程?？生：点斜式y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0师：今后我们如何求曲线生：求出y?f(x)在x?x0处的切线方程？f(x0)，则f(x0)就是曲线在x?x0切线的斜率；求切点；f(x0)?f(x0)(x?x0)(3)写出切线的点斜式方程，y?师：同学们很棒！例2.如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像.据图回答问题.请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况.生：作出曲线在这些点处的切线.师：曲线在t0处有怎样的变化趋势？生：不知道怎么表达.师：我们观察在t0处附近曲线几乎与切线l0重合，所以，我们可以用切线的变化趋势刻画曲线在该点附近的变化情况，这种思想方法叫“以直代曲”.那么，l0平行于x轴，即h(t0)?0，说明曲线在t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.师：在t1，t2处呢？生：在t1，t2切线斜率h(t1)?0，h(t2)?0，所以，在t1，t2附近曲线下降，即函数h(t)在t?t1，t2附近单调递减.导数的几何意义教案1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设情景平均变化率、割线的斜率瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f?(x0)的几何意义是什么呢？二新课讲授xn,f(xn)(n1,2,3,4)?曲线的切线及切线的斜率：如图，当Pn(趋近于点P(x0,f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个问题：割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？切线PT的斜率k为多少？容易知道，割线PPn的斜率是kn?f(xn)?f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无xn?x0?x?0限趋近于切线PT的斜率k，即k?limf(x0?x)?f(x0)?f?(x0)?x说明：设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x?x0处的导数.曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0)处的切线的斜率，即f?(x0)?lim?x?0f(x0?x)?f(x0)?k?x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;求出函数在点x0处的变化率f?(x0)?lim?x?0f(x0?x)?f(x0)?k，得到曲线在点?x(x0,f(x0)的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f?(x0)是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f?(x)或y?，即:f?(x)?y?lim?x?0f(x?x)?f(x)注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数函数f(x)在点x0处的导数f?(x0)、导函数f?(x)、导数之间的区别与联系1）函数在一点处的导数f?(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数(来自:海达范文网:导数的几何意义教学设计)，不是变数2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f?(x)在x?x0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一三典例分析2例1:求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.2求函数y=3x在点(1,3)处的导数.(1?x)2?1?(12?1)2?x?x2解：y?|x?1?lim?lim?2,?x?0?x?0?x?x所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y?2?2(x?1)即2x?y?03x2?3?123(x2?12)因为y?|x?1?lim?lim?lim3(x?1)?6x?1x?1x?1x?1x?1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y?3?6(x?1)即6x?y?3?0求函数f(x)=?x?x在x?1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数2?y?(?1?x)2?(?1?x)?2解：?3?x?x?x?y?(?1?x)2?(?1?x)?2f?(?1)?lim?lim(3?x)?3?x?0?x?x?0?x例2如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)?10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况x轴，所以，在t?t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降降，即函数h(x)?10在t?t1附近单调递减t2附近曲线下2降，即函数h(x)?10在t?t2附近单调递减从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢例3如图，它表示人体血管中药物浓度c?f(t)(单位：mg/mL)随时间t变化的图