第6章-灰色决策方法2016.ppt

决策理论与方法,第六章灰色决策方法,学习目的,了解灰数、灰色关联、灰色聚类的概念、原理与计算；掌握灰色决策的基本概念以及几类常用的经典灰色决策分析方法和技巧，为以后继续学习灰色决策的理论与方法奠定一定的基础。,灰色系统理论产生的科学背景,现代科学技术在高度分化的基础上高度综合的大趋势，导致了具有方法论意义的系统科学学科群的出现。系统科学揭示了事物之间更为深刻、更具本质性的内在联系，大大促进了科学技术的整体化进程；许多科学领域中长期难以解决的复杂问题随着系统科学新学科的出现迎刃而解；人们对自然界和客观事物演化规律的认识也由于系统科学新学科的出现而逐步深化。,灰色系统理论产生的科学背景,(1)系统论(SystemTheory),创始人：L.Von.Bertalanffy。1925年提出，1945年发表第一篇论文，1968年出版代表作一般系统理论基础、发展和应用。(2)信息论（InformationTheory）,创始人：C.E.Shannon。1948年发表标志性论文“通讯的数学理论”。(3)控制论（Cybernetics）,创始人：N.Wiener。1943年发表第一篇论文，1948年出版代表作控制论。(4)耗散结构理论（DissipativityStructureTheory）,创始人：I.Prigogine.1969年发表第一篇论文。(5)协同学（Synergetics）创始人：H.Haken.1971年提出，1976年出版代表作协同学导论。(6)突变论（CatastropheTheory）,创始人：R.Thom，1972。(7)混沌理论(ChaosTheory),亦称紊乱学(DisorderTheory)，1964年，萨可夫斯基（）证明关于k周期点的结果；1975年，Yorke单纯形方法，1947（G.B.Dantzig）(11)系统动力学（SD），J.W.Forrester，50年代(12)遗传算法（GeneticAlgorithms)JohnH.Holland,1975(13)人工神经网络（ArtificialNeuralNetworks）1943,W.W.McCullon灰色代数系统、灰色矩阵、灰色方程等是灰色系统理论的基础。灰色序列生成;主要包括缓冲算子（弱化缓冲算子、强化算子）、均值生成算子、级比生成算子、累加生成算子和累减生成算子等。灰色系统分析;除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面的内容。灰色模型;通过灰色生成弱化随机性，挖掘数据规律，经过差分方程与微分方程之间的互换实现离散数据序列建立连续的动态微分方程的新飞跃。灰色组合模型;包括灰色经济计量学模型（G-E）、灰色生产函数模型(G-C-D)、灰色马尔可夫模型(G-M)、灰色时序组合模型等。灰色决策;包括灰靶决策、灰色关联决策、灰色统计、聚类决策、灰色局势决策和灰色层次决策等。灰色优化技术;包括灰色线形规划、灰色非线性规划、灰色整数规划和灰色动态规划等。灰色博弈模型;包括基于纯策略的灰矩阵博弈模型和基于混合策略的灰矩阵博弈模型等。灰色控制;包括本征性灰色系统的控制问题和以灰色系统方法为主构成的控制等。,灰数及其运算,1.灰数的基本概念灰数的定义灰数的分类,2.区间灰数的运算加减乘除,灰数的基本概念,所谓灰数是指只知道大概范围而不知道确切取值的实数。灰数的背景信息表现不完全人们认知能力有限,例1:某市2007年居民储蓄存款余额预计200-300亿。若年底结算存款余额为275亿,则即为真值。例2:某成年男子的身高即为一灰数；未测量之前估计其身高约为1.8-1.9米，通过测量得到该男子身高为1.86米，则即为该男子身高的真值。,灰数的基本概念,灰数的基本概念,灰数的基本概念,从本质上看,灰数又可分为:(1)信息型灰数指因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数。(2)概念型灰数指由人们的某种观念、意愿形成的灰数。(3)层次型灰数由层次改变形成的灰数。,例8:预计某地区今年夏粮产量在100万吨以上，；估计某储蓄所年底居民储蓄存款余额将达7000万到9000万元，；预计南京地区10月份最高气温不超过36.例9:某高校承担一项国家重点科技攻关课题，希望科研经费投入不低于3000万元，并且越多越好；某工厂废品率为1%，希望大幅度降低，当然越小越好.例10:例如叫张三的人,某个学校只有1人，全市大学有46人，已是灰数；若在全国范围内考虑，就更加说不清了。,本讲内容,灰色决策相关入门知识灰色决策的经典理论与方法非经典灰色决策方法,希腊字母大小写及读法,6.1灰色决策相关入门知识,6.1.1灰数及其白化1.灰数灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。灰数：我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰色。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用“”示灰数。,灰数有以下几类：（1）仅有下界的灰数（2）仅有上界的灰数（3）区间灰数（4）连续灰数与离散灰数（5）本征灰数与非本征灰数（6）黑数与白数(特殊的灰数),6.1灰色决策相关入门知识,6.1灰色决策相关入门知识,2.区间灰数的运算设有灰数用符号表示与间的运算，若，则应为区间灰数，因此应有且对任意，。法则1设则的和记为，且。法则2设则。,法则3设则法则4设则法则5设则法则6设则即。,6.1灰色决策相关入门知识,法则7设定理6.1.1区间灰数不能相消，相约。定义6.1.1设为一灰数集，若对任意的有,均属于（商运算时要满足法则6的条件），则称为一灰数域。定理6.1.2区间灰数全体构成灰数域。定理6.1.3区间灰数全体构成灰色线性空间。,6.1灰色决策相关入门知识,3.灰数的白化定义6.1.3形如的白化值称为等权白化。定义6.1.4在等权白化中，取而得到的白化值称为等权均值白化。当区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权均值白化。定义6.1.5设区间灰数，,当时，,6.1灰色决策相关入门知识,我们称取数一致；当时，称取数非一致。定义6.1.6起点、终点确定的左升、右降连续函数称为典型白化权函数。,6.1灰色决策相关入门知识,6.1灰色决策相关入门知识,6.1.2灰色关联度灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。灰色关联分析方法对样本量的多少和样本有无规律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。,6.1灰色决策相关入门知识,1.灰色关联因素和关联算子对系统进行灰色关联分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行适当处理，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。定义6.1.7设为系统因素，其在序号上的观测数据为则称为因素的行为序列;当序号分别为时间、指标、,决策矩阵(多属性决策),6.1灰色决策相关入门知识,对象时，则依次称为因素的行为时间序列、行为指标序列、行为横向序列。无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可以用来作关联分析。定义6.1.8设为因素的行为序列，为序列算子，且其中1,若,6.1灰色决策相关入门知识,则称为初始化算子，为在初始化算子下的像，简称初值像;2,若,则称为均值化算子，为在均值化算子下的像，简称均值像;3,若则称为均值化算子，为在均值化算子下的像，简称区间值像.,6.1灰色决策相关入门知识,4,若，则称为逆化算子，为行为序列在逆化算子下的像，简称逆化像。5,若，则称为倒数化算子，为行为序列在逆化算子下的像，简称逆化像。称为灰色关联算子集，称(X,D)为灰色关联因子,思考题,P167定理6.1.4,6.1灰色决策相关入门知识,2.灰色关联公理和灰色关联度定义6.1.17设为系统特征序列，且为相关因素序列。给定实数，若实数,满足规范性,整体性,偶对对称性,接近性,则称为与的灰色关联度，为与在点的关联系数，并称四个条件为灰色关联四公理。定理6.1.5设系统行为序列，对于,令,6.1灰色决策相关入门知识,则满足灰色关联四公理，其中称为分辨系数。称为与的灰色关联度。灰色关联度的计算步骤如下：步骤1求各序列的初值像（或均值像）。令步骤2求差序列。记,6.1灰色决策相关入门知识,6.1灰色决策相关入门知识,步骤3求两极最大差与最小差。记步骤4求关联系数步骤5计算关联度,应用研究一级男子百米运动员身体素质与运动成绩的灰色关联度分析选择100米作为研究项目,依据灰色关联度分析原理,揭示一级水平男子百米运动员的各项身体素质、各类型素质与运动成绩之间的关联度;针对训练实践中对身体素质认识上的模糊,提出相应的训练策略,旨在对提高运动成绩有所裨益。相关因素：行进间30米，230米，460米，5150米，立定跳远，立定三级跳，二级蛙跳，后抛铅球，仰卧起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立体前屈，折回跑，象限跳，侧跨步。,应用研究我国铁路货物运输发展的灰色关联分析本文用灰色关联分析方法对19892002年我国铁路运输货运量的发展进行系统分析,探讨影响我国铁路运输货运量发展的主要因素以及各因素相对于铁路运输货运量发展的关联程度,以便为有关部门的决策者提供数据资料.影响我国铁路运输货运量发展的主要因素有:GDP、人口数量、居民消费水平、固定资产总投资及国家财政总收入等.把铁路运输货运量作为母序列X0,其影响因素作为子序列,6.1灰色决策相关入门知识,3.广义灰色关联度（1）灰色绝对关联度命题6.1.5设系统行为序列，记折线为，令则当为增长序列时，；当为衰减序列时，；当为振荡序列时，符号不定。,6.1灰色决策相关入门知识,定义6.1.18设系统行为序列，为序列算子,且,其中,则称为始点零化算子，为的始点零化像，记为命题6.1.6设系统行为序列,的始点零化像分别为,令则：当恒在上方，；当恒在下方，；当与相交，的符号不定。定义6.1.19称序列各个观测数据间时距之和为长度。,6.1灰色决策相关入门知识,6.1灰色决策相关入门知识,定义6.1.20设序列与长度相同，如命题6.1.5中所示，如命题6.1.6中所示，则称为与的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。定理6.1.6定义6.1.20给出的灰色绝对关联度满足灰色关联公理中规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。,6.1灰色决策相关入门知识,命题6.1.7设序列与的长度相同，令，。其中，为常数，若与的灰色绝对关联度为，则。定义6.1.21若序列各对相邻观测数据间时距相同,则称为等时距序列。,6.1灰色决策相关入门知识,引理6.1.1设为等时距序列，若其时距，则时间轴,可将化为1-时距序列。引理6.1.2设与的长度相同，且皆为1-时距序列，而，分别为与的始点零化像，则，,6.1灰色决策相关入门知识,定理6.1.8设序列和长度相同，当它们时距不同或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相映空穴使之化成时距相同的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不变。定理6.1.9灰色绝对关联度具有下列性质：；只与和的几何形状有关，而与其空间相对位置无关，平移不改变绝对关联度的值；,6.1灰色决策相关入门知识,任何两个序列都不是绝对无关的,即恒不为零；与几何上相似程度越大，越大；与平行，或围绕摆动，且位于之上部分的面积与位于之下部分的面积相等时，=1；当或中任一观测数据变化时，将随之变化；,6.1灰色决策相关入门知识,与长度变化，亦变；;。（2）灰色相对关联度定义6.1.22设序列，长度相同，且初值皆不等于零，分别为，的初值像，则称与的灰色绝对关联度为与的灰色相对关联度,简称为相对关联度，记为。,6.1灰色决策相关入门知识,相对关联度表征了序列与相对于始点的变化速率之间的关系，与的变化速率越接近，越大，反之就越小。定理6.1.10灰色相对关联度具有下列性质：，与灰色绝对关联度对应性质类似。只与序列和的相对于始点的变化率有关,而与各观测值的大小无关，或者说，数乘不改变相,6.1灰色决策相关入门知识,对关联度的值；任何两个序列的变化速率都不是毫无联系的，即恒不为零；与相对于始点的变化速率越趋于一致，越大；与相对于始点的变化速率相同,即；或与的初值像的始点零化像，满足：围绕摆动，且位于之上的面积与位于,6.1灰色决策相关入门知识,之下部分的面积相等时，=1；（3）灰色综合关联度定义6.1.23设序列，长度相同,且初值不等于零,和分别为与的灰色绝对关联度和灰色相对关联度，则称为与的灰色综合关联度，简称综合关联度。,6.1灰色决策相关入门知识,6.1.3灰色聚类灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测指标或观测对象划分成可定义类别的方法。按聚类对象划分，灰色聚类可分为灰色关联聚类和灰色白化权函数聚类。1.灰色关联聚类设有个观测对象，每个对象观测个特征数据，得到序列如下：,6.1灰色决策相关入门知识,，对所有的，计算出与的灰色绝对关联度，得上三角矩阵如下：其中，。,6.1灰色决策相关入门知识,定义6.1.24上述矩阵称为特征变量关联矩阵。取临界值，一般要求0.5,当时，则视与为同类特征.定义6.1.25特征变量，在临界值r下的分类称为特征变量的r灰色关联聚类。r根据实际问题的需要确定,r越接近于1,分类越细;r越小，分类越粗。,灰色系统方法,主要介绍灰色系统的三种方法：灰色关联分析方法灰色预测方法GM(1,1)灰色统计（灰色评价）,因素分析的基本方法过去采用的主要方法是统计方法。如回归分析（包括线性回归、多因素回归、单因素回归、逐步回归、非逐步回归）。回归分析虽然是一种较通用的方法，但一般认为回归分析有下述不足：（1）要求大量数据，数据量少难以找到规律；（2）要求分布是线性的，或是指数的，或是对数（3）计算工作量大；（4）有可能出现反常的现象，使正相关变成负相关，以致正确现象受到歪曲或颠倒。,1、灰色关联分析方法,灰色系统考虑到上述种种弊病和不足，采用关联分析的方法来作系统分析。作为一个发展变化的系统，关联度分析事实上是动态过程发展态势的量化分析。说得确切一点，是发展态势的量化比较分析、发展态势的比较，也就是系统历年来有关统计数据列几何关系的比较。考虑有三个数据列，一个是某地区的年总收入，一个是某地区的养猪收入，一个是某地区的养兔收入。,从图中可以观察到，总收入曲线与养猪曲线趋势较接近，而与养兔曲线差距较大，因此可以认为该地区对收入影响较大的是养猪而不是养兔。,例1果树产量因素分析某农业研究所在研究果树的产量时发现影响果树单产的因素很多，有数据的因素就达12种之多。如树龄、剪枝、硝氨、磷肥、农肥、浇水、药物人防、畜耕人耕、弥雾、喷雾等等。经过详细的定量分析找出4种认为是对果树单产有较大影响的因素，其数据如下：,首先需要将数据列进行无量纲化处理。,然后再计算各子数据列与母数据列的差值,计算极大差和极小差,=0,=6.86,计算关联系数,计算关联度计算得到的关联度分别如下：,因此，药物对果树单产的影响最大，农肥次之，剪枝再次之，浇水对果树单产的影响最小。,2、灰色预测模型灰色系统理论认为，随机量可以看作是在一定范围内变化的灰色量。对于贫信息的灰色系统，灰色变量所取的值十分有限，并且数据变化无规律。对这些灰色变量作生成运算处理，处理后的数据变化有一定规律，与原始数据相比，增加了数据变化的确定性。从而在生成数据的基础上建立灰色系统模型。灰色系统中数据的生成运算有累加生成运算AGO(AccumulatedGeneratingOperation)和累减生成运算IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation)。,(1)累加生成运算（AGO）设有原始数据列,对作一次累加生成运算,得到一次累加生成序列,对作二次累加生成运算,得到二次累加生成序列,例如，某公司19901994年的产品销售额原始数据列为,其一次累加生成后的序列为,其二次累加生成后的序列为,生成前的序列,生成后的序列,累加生成的特点,一般经济数列都是非负数列。累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。原始数列作图1AGO作图,某市的汽车销售量,递增的规律,原始数列作图,1AGO作图,有明显的指数关系的规律,某钢厂产量,某地区作物产量,s型变化规律,(2)累减生成运算（IAGO）累减生成运算是累加生成的逆运算。累减生成运算公式为：,(3)灰色系统建模用灰色系统理论和方法建立的模型称为灰色模型GM（GreyModel)。一般的GM模型是一个n阶，h个变量的微分方程模型，简记为GM(n,h)。GM模型的建模机理是，将随机量看作是一定范围内变化的灰色量，对无规律的原始数据经过生成处理后，建立生成数据序列的微分方程模型。并用不同的数据生成建立不同模型来提高模型的精度。模型采用三种方式检验，即残差检验、关联检验和后验检验。,GM（1，1）模型GM（1，1）是一阶常微分方程模型。设有原始数据列,作一次累加生成后的数据列为,则可建立下述白化形式的微分方程,记参数列为,按最小二乘法求,微分方程复习,设运动方程为S=S(t),则,两次积分分别得出:,条件代入:,一阶线性方程,一般形式:,一阶线性齐次方程,一阶线性非齐次方程,自由项,白化形式的微分方程的解为：,综上所述，GM（1，1）模型建模的计算步骤：1）对原始数据序列作一次累加生成得到2）用最小二乘法估计得到参数3）解一阶线性微分方程得到时间响应函数4）模型检验5）利用模型进行预测,例题某公司19901994年的年销售额（单位：百万元）数据为试建立GM（1，1）模型并进行预测。,解：1）对原始数据作一次累加生成，得到,2）用最小二乘法估计得到参数,从而可得,得到一阶线性微分方程,其时间响应函数为,3）模型检验：这里仅对模型进行残差检验。用时间响应函数计算，用公式计算还原数据，并求出各时期的残差值q(k)和相对误差值e(k)。计算结果见下表,由此看出，模型的相对误差不超过3%。4）利用模型进行预测当k=5时，利用模型求得,GM（1，h）模型GM（1，h）模型上含有h个变量的一阶微分方程，形如,其中为待估参数，均为一次累加生成变量,模型反映了h-1个变量对因变量变化率的影响，故称GM（1，h）为h个序列的一阶线性动态模型。与GM（1，1）建模原理相仿，GM（1，h）模型的建模步骤是：设有h个变量组成的原始数据序列,1）对原始数据序列作一次累加生成运算，得累加生成序列,2）计算GM（1，h）模型的待估参数，用最小二乘法得到估计值,其中，B为累加数据矩阵，YN为参数项向量，分别是,3）将参数的估计值代入方程，求得微分方程的解,4）模型检验。检验方法与GM（1，1）模型检验类似。,GM(1,1)MATLAB实现,clcclearallformatshort%输入要预测的数据x0=2.874,3.278,3.337,3.39,3.679;%x0矩阵中输入已知几年的数据,%求x1x1=;fori=1:length(x0)forj=1:ix1(i)=sum(x0(1:i);%累加求和endend,%求z1z1=;z1(1)=x1(1);fori=2:length(x1)z1(i)=1/2*(x1(i)+x1(i-1);%求平均end,求a,bY=x0(2:length(x0);b1=z1(2:length(z1);b2=-1*b1;b3=b2;b4=ones(1,(length(z1)-1);B=b3,b4;A=inv(B*B)*B*Y;,%时间响应方程symsky=(x0(1)-A(2)/A(1)*exp(-1*A(1)*k)+A(2)/A(1);%求模拟值k=0:length(x0)-1;y1=eval(y);,eval()函数的功能就是将括号内的字符串视为语句并运行Eg.eval(y1=sin(2)和语句y1=sin(2)等价多在循环中使用，可以对多个名字有规则的变量或文件进行操作,%还原x0的模拟值x01x01=;x01(1)=x0(1);fori=1:length(x0)-1x01(i+1)=y1(i+1)-y1(i);end,%以下进行残差检验e=;e(1)=0;f=;f(1)=0;fori=1:length(x0)e(i)=abs(x01(i)-x0(i);f(i)=e(i)/x0(i);endg=1/(length(e)-1)*sum(f)ifg0.01h=1;disp(通过检验);elseh=0;end,%以下进行预测ifh=1m=input(请输入要预测几年:);%m为你要预测的已知数据x0后m年的数据的个数n=m+length(x0);k=length(x0):n-1;y2=eval(y);yy=y1,y2;v=;v(1)=x01(1);forq=2:nv(q)=yy(q)-yy(q-1);enddisp(您要预测的,num2str(m),年数据如下：);p=v(length(x0)+1:n)%p为你要预测的已知数据x0后m年的数据end,3、灰色统计模型(评价模型)以灰数的白化函数为基础，将一些具体数据，按某种灰数所描述的类别进行归纳整理，称为灰色统计。记I、II、II