高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)

7.8多元函数的极值及其求法,7.8.1极值及最大值、最小值,7.8.2条件极值,7.8.1极值及最大值、最小值1极值概念,定义7.10,设函数,的定义域为D,为D的内点.,若存在,的某个邻域,使得对于该邻域内异于,的点,都有,则称函数在,有极大值,点,称为函数的,极大值点；,若有,则称函数在,有极小值,点,称为函数的,极小值点.,极大值、极小值统称为极值.,使得函数取得,极值的点称为极值点.,例,例,例,在,处有极小值.,在,处有极大值.,在,处无极值.,2取极值的必要条件,定理7.10,设函数,在点,具有偏导数，,且在点,处有极值，,则它在该点,的偏导数必然为零：,驻点,极值点,注意：,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零,的点，均称为函数的驻点.,例如,点(0,0)是函数,的驻点，,证,定理7.10,设函数,在点,具有偏导数，,且在点,处有极值，,则它在该点,的偏导数必然为零：,从几何上看，这时如果曲面,在点,处有切平面，则切平面,3取极值的充分条件,定理7.11,设函数,在点,的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又,令,则,在点,处是否取得极值的条件如下：,（1）,时具有极值，,当,时有极大值，,当,时有极小值；,（2）,时没有极值；,（3）,时可能有极值,也可能没有极值，,还需另作讨论,求出实数解，得驻点.,求出二阶偏导数的值A、B、C.,例1,解,先解方程组,再求出二阶偏导数,如果三元函数u=f(x,y,z)在点,考虑三元函数的极值,偏导数，,则它在点,有极值的必要条件为,满足上述条件的点仍称为驻点.,若点M0是f(x,y,z)的驻点,f(x,y,z)在点M0处所有的二阶偏导数都连续,则当矩阵,具有,为正定阵时,点M0为极小值点;,为负定阵时,点M0为极大,值点;,如矩阵不是正定阵,也不是负定阵,则点M0不是极,值点.,最大值，最小值,将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,在通常遇到的实际问题中，所确定的函数只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是最大值(最小值).,求最值的一般方法：,例2,求函数,在闭区域D,的最大值与最小值，其中D是,由,得f(x,y)在区域D内的唯一驻点(1,0),且f(1,0)=1.,在该圆上函数值均为零，因此,解,例3某厂要用铁板做成一个体积为,的有盖长,方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.,解,设水箱的长为,则其高应为,此水箱所用材料的面积,即目标函数为,令,解得,根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，又函数只有唯一的驻点，因此函数取得最小值.,所用的材料最省.,将一个正数a表为三个正数之和,使这三个正数的积为最大.,例4,解,设这三个正数分别是x、y、z,则x+y+z=a.,它们的积为xyz，由于z=axy,所以问题就变为求函数,在区域D=(x,y)|x0,y0,x+y0,y0,z0,得到方程组,将方程组中的第一、二、三个方程的两端分别乘上,x、y、z后即可以得到x=y=z，,再将此结果代到最后一,个方程中，即得x=y=z=,例6,求椭球面,使长方体的体积为最大.,的内接长方体,解,设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为,(x,y,z),则内接长方体的体积为8xyz,构造函数,x0,y0,z0,得方程组,（1）,由方程组的前三个方程得到,将其代入到最后一个方程中,即得,由于体积最大的内接长方体一定存在,方程组(1)的解,又是唯一的,故,就是所求的最大值,点.,所求的最大体积为,例7.抛物面,椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.,解,设椭圆上点的坐标为,满足,令,并使之为零，再结合条件，得,解出,例8.,求函数f(x,y)=xy在闭区域,上的,最大值与最小值,解,由fx(x,y)=y=0,fy(x,y)=x=0,得到函数在区域内,的唯一驻点为(0,0),且f(0,0)=0.,的边界x2+y2=1上的最大值与最小值.设,下面考虑函数在区域,则,该方程组的解为,所求的点由四个,在P1和P2两个点上,函数值为,在P3和P4两个点上,函数值为,因此函数z=xy在闭区域,上,它们都是在边界上取得的.,例9某公司通过电视和报纸两种媒体作广告,已知销售收入R(万元)与电视广告费x(万元)、报纸广告费y(万元)的关系为R(x,y)=15+14x+32y8xy-2x210y2.(1)在广告费用不限的情况下,求最佳的广告策略;(2)如果提供的广告费用为1.5万元,求最佳的广告策略.,根据题意,最佳的广告策略一定存在,故点(1.5,1)就是所求的最大值点.即当电视广告费与报纸广告费分别为1.5万元和1万元时,销售收入最高,为R(1.5,1)=41.5万元.,解,(1)求最佳广告策略即求R(x,y)的最大值.,解方程组,解得唯一驻点x=1.5,y=1.,根据题意,最大值存在,故当广告费用为1.5万元时销售收入最高为R(1.5,0)=40.5万元.即只做报纸广告为最佳的策略.,(2)求广告费用为1.5万元时的最佳广告策略,就是,在x+y=1.5的条件求R(x,y)的最大值.设,F(x,y)=15+14x+32y8xy-2x210y2+,解得唯一驻点x=0,y=1.5.,例10设某电视机厂生产一台电视机得成本为c，每台电视机得销售价格为p，销售量为x.假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量.根据市场预测，销售量x与销售价格p之间有下面的关系：,(1),其中M为市场最大需求量，a是价格系数.同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：,(2),根据上述条件，应如何确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润？,其中c0是只生产一台电视机的成本，k是规模系数.,例10解,设厂家获得的利润为,作拉格朗日函数,将（1）代入（2），得,（3）,（4）,（5）,将（3）、（4）、（5）代入,由此得电视机的最优价格,练习1,有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽.,练习3,练习2,问怎样折法才能使断面的面积最大.,求二元函数,在直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.,练习4,练习5,在第一卦限内作椭球面,的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体,体积最小，求切点坐标.,将正数12分成三个正数x、y、z之和使得,为最大.,练习1,解,练习2有一宽为24cm