[第4讲] 函数迭代和函数方程(上)

函数迭代与函数方程21函数迭代 函数迭代的定义设（其中）是一个函数，对任意，记，则称是函数在上的次迭代，并称是的迭代指数如果有反函数，则记为，于是，迭代指数可取所有整数 简单的函数迭代求一个函数的次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型对于一些简单的函数，它的次迭代是容易得到的若，则，若，则，若，则， 函数迭代的求法数学归纳法这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数迭代几次，观察出其规律，然后猜测出的表达式，最后用数学归纳法证之这种方法只适用于一些较为简单的函数递归法设是定义在上且取值于的函数，由此定义数列：已知，且，一方面，若已求得，则，即通项公式；另一方面，如果已求得的通项公式，则取，而，从而，即的表达式由上述知，函数的次迭代可以通过构造数列的方法来解，其步骤为第一步，设，；第二步，由，求出；第三步，相似法相似法是求函数的次迭代的一个重要方法若存在一个函数以及它的反函数，使得，我们就称通过和相似，简称和相似，记为，其中称为桥函数相似关系是一个等价关系，也就是说它满足：自身性，；对称性，若，则；传递性，若，则如果与相似，即，那么， ，这样一来，我们便把的迭代问题转化为的迭代问题不动点法关于的方程的根称为的不动点不动点法的基本思想是根据函数的不动点得出桥函数的一个性质，进而确定桥函数的形状，然后利用相似法求出函数的次迭代 函数的不动点具有如下的性质：若是的不动点，则，即也是的不动点设，因此有，若，则有，即是的不动点对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后用数学归纳法证之，会使计算简单些利用不动点找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数具有下列性质：它将的不动点映成的不动点，通常为了便于求解，通常为，等2函数方程 函数方程的定义解为函数的方程为函数方程例如等都是函数方程 函数方程解法 寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程，一般有以下几种方法：代换法代换法是解函数方程的常用手段，其基本思想是：将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（当然在代换时应特别注意函数的定义域不能发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知数如，令，则，于是，即，经检验它是函数方程的解代换法在单变量函数方程中尤为多用赋值法所谓赋值法，就是对自变量赋予某些特殊的数值，从而挖掘出题中隐含的条件，并且通过这些新条件简化函数方程，逼近最终目标如函数满足，求令，得，由此令则，从而可知令易得；令易知综上可知递归法函数方程的递归解法，是一种借助于数列对函数方程加以研究的方法设是定义在正整数集上的函数，如果存在一个递推关系和初始条件，当知道，的值后，由可以惟一地确定的值，我们就称为递归函数，递归法主要解决递归函数板块一 函数的迭代【例 1】 已知是定义在上的函数，并且满足，求的值【例 2】 设，求；设，求；设，求【例 3】 设，求；设，求；设，求板块二 函数方程【例 4】 定义在上的函数满足关系式，求求解函数方程，已知函数对任意、有，求【例 5】 求所有满足下列条件的函数，使得；对所有，成立；若，则【例 6】 已知函数满足，求满足条件的一个 习题1. 设，其中为实数，若，则 习题2. 某同学从换乘中心出发坐车去第一家商店，在店里花了剩余的钱的一半，然后坐车返回换乘中心之后又坐车去第二家商店，在店里花了剩余钱的一半，然后坐车返回换乘中心接着他用同样的方式进出第三家和第四家商店，当他返回换乘中心时候，发现身上只剩一元钱若无论从换乘中心到商店还是从商店到换乘中心的车费都是一元钱，问：他在四家商店总共花了多少钱？ 习题3.