第10章静电学.ppt

第0章静电学,电磁学,*10-1场的描述,18矢量场的散度与旋度数学已学过，自己看再复习一下。,10-2库仑定律,.电力,1.)就质子与电子的相互作用来说,静电力比万有引力要强约倍,2.)电磁力是一种长程力;而强相互作用和弱相互作用的力程只有m即仅限于原子核大小的范围内.3.)电磁力有吸引力和排斥力两种形式,因此,电磁力可予以屏蔽4.)通常,电力比磁力要强倍(c为光速).,电磁现象的规律研究最为深入、最富有成果。已知电磁相互作用具有以下特征：,2.电荷,1.)两种电荷2.)电荷量子化：密立跟实验（19061917年）,Q=Ne,e=1.6010-19Ce是电量最小的元电荷,称为电荷的量子.1964年盖尔曼提出一些粒子是由夸克反夸克组成电量应为,表述：,3.)电荷守恒定律（lawofconservationofcharge),在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。,电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程(例如核反应和基本粒子过程)，是物理学中普遍的基本定律之一。例如高能光子转化为电子偶,其湮灭又产生几个光子,(见8),4.)电荷的相对论不变性：,在不同的参照系内观察，同一个带电粒子的电量不变。电荷的这一性质叫做电荷的相对论不变性。,3.库仑定律(Coulomblaw)静电力的叠加原理,在真空中两个静止点电荷之间的作用力与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。,表示单位矢量,1.)库仑定律,库仑力满足牛顿第三定律,是国际单位制中的比例系数,称为真空电容率或真空介电常量。,实验表明，库仑力满足线性叠加原理，即不因第三者的存在而改变两者之间的相互作用。(点电荷系),.)静电力的叠加原理：,约定：电荷不说负就算正(以后均如此)。,10-3电场和电场强度,1、电场(electricfield),1.)电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在有电场，引入该电场的任何带电体，都受到电场的作用力，这就是所渭的近距作用。,表明电场具有动量、质量、能量，体现了它的物质性.,3.)电场与实物之间的不同在于它具有叠加性。(同类实物具有可加性)静止电荷产生的场叫做静电场(electrostaticfield),2、电场强度(electricfieldstrength),它与检验电荷无关，反映电场本身的性质。,单位正电荷在电场中某点所受到的力。,物理意义,2.)将放在点电荷系产生的电场中，受到的作用力为，为描述电场的属性引入一个物理量电场强度(简称为场强）：,1.)检验电荷：本身携带电荷足够小；占据空间也足够小，放在电场中不会对原有电场有显著的影响。,3.)单位在国际单位制中(SI),电场是一个矢量场(vectorfield),力的单位是牛顿N;电量的单位是库仑C,场强单位是N/C。或者叫做伏特/米。,4.)场强的叠加原理：,电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。,1.)点电荷产生的场,表示的单位矢量。,2.)点电荷系的电场中的场强：,3.电场强度的计算,3.)任意带电体（连续带电体)电场中的场强：,将带电体分成很多元电荷dq,先求出它在任意场点p的场强,对场源求积分，可得总场强：,以下的问题是如何选出合适的坐标，给出具体的表达式和实施计算。,体电荷分布的带电体的场强,面电荷分布的带电体的场强,线电荷分布的带电体的场强,电荷的体密度,电荷的面密度,电荷的线密度,例题1：求电偶极子中垂线上距离中心较远处一点的场强,用表示从到的矢量，定义电偶极矩为：,离散点电荷场叠加,等量异号电荷、，相距为，它相对于求场点很小，称该带电体系为电偶极子。,结论：电偶极子中垂线上距离中心较远处一点的场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心的距离的三次方成反比，方向与电矩方向相反。,解：建立坐标系。过P点做带电直线的垂线为x轴，交点为坐标原点，沿带电直线为y轴。选积分元,（1）,其分量式为,（2）,(1)式代入(2)式，并积分,例2.求均匀带电（电荷线密度为）直线外任一点P的场强.设场点到直线垂直距离为a.且垂足将导线分为L1，L2两段。,同理,讨论：,1)在导线的中垂线上,2）,3）,E其方向垂直于带电直线,=.1dx,dx,cos,2or,例题3求均匀带电的无限大平面外任一点的场强(设平面单位面积上的电量为)。,解由对称性可知，P点的电场方向是垂直于平面向上的(即y方向)，所以,例.3求均匀带电圆环电荷电量为q轴线上任一点的场强。,由点电荷场强公式：,由于对称性可知,电场沿x方向,1）,讨论:,解：圆环上微元带的电荷,2）当,3）,由对称性可知电场只沿x轴方向,解：取微元电荷,例4.求半径为R，面电荷密度为的均匀带电圆盘轴线,上任一点的场强,讨论:1),成为无限大带电平板,成为点电荷的电场,2）,10-4静电场中的高斯定理与散度,1.电场线,1.)规定：,2.)电场线性质,(1)电场线始于正电荷（或无穷远）终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；(2)两条电场线不会相交；(3)电场线不会形成闭合曲线。,用一簇空间曲线形象地描述场强的分布。,曲线上每一点的切线方向为电场强度方向。大小为在垂直于场强方向上单位面积上的电场线数目。,(a)正电荷,(b)负电荷,(c)一对等量正电荷,(d)一对等量异号电荷,1)定义,2.电通量,通过任一面元的电场线的条数称为通过这一面元的电通量。,面元在垂直于场强方向的投影是，,是面元的法线方向，是场强的方向与面元法向的夹角。所以,所以通过它的电通量等于面元的电通量,又因,定义：矢量面元,大小等于面元的面积，方向取其法线方向。,通过任一曲面S的电通量：,非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则,3.静电场的高斯定理(Gausstheorem),表述：,静电场中任何一闭合曲面S的电通量，等于该曲面所包围的电荷的代数和的分之一。,数学表达式,证明：可用库仑定律和叠加原理证明。,1)证明包围点电荷的同心球面的电通量等于,球面上各点的场强方向与其径向相同。球面上各点的场强大小由库仑定律给出。,此结果与球面的半径无关。换句话说，通过各球面的电力线总条数相等。从发出的电力线连续的延伸到无穷远。,2)证明包围点电荷的任一闭合曲面的电通量等于,立体角solidangle,平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角,单位：弧度,当然也,一般的定义：,射线长为,线段元,对某点所张的平面角,平面角,立体角面元dS对某点所张的立体角：锥体的“顶角”,单位球面度,对比平面角，取半径为,球面面元,定义式,弧度,计算闭合曲面对面内一点所张的立体角,球面度,计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角,库仑定律+叠加原理,思路：先证明点电荷的场然后推广至一般电荷分布的场,1)源电荷是点电荷在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示),2.高斯定理的证明,在闭合面S上任取面元,该面元对点电荷所张的立体角,点电荷在面元处的场强为,点电荷在面元处的场强为,在所设的情况下得证,2)源电荷仍是点电荷取一闭合面不包围点电荷(如图示),在闭合面上任取面元,该面元对点电荷张的立体角,也对应面元,两面元处对应的点电荷的电场强度分别为,3)源和面均任意根据叠加原理可得,此种情况下仍得证,两点说明：,高斯定律中的场强是由面内外全部电荷产生的。,通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。,散度,例:关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是:()如果高斯面上处处为零,则该面内必无电荷.()如果高斯面内无电荷,则高斯面上处处为零.()如果高斯面上处处不为零,则高斯面内必有电荷.()如果高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零.()高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场.,高斯定理的用途：,当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。,卡文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一客观规律。,对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯定律仍然有效。,P212.电场的散度(不要求）,当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域的电荷、电位分布。p25*2.从分布求电荷分布(不要求),解高斯定理,=o-ba.a2,=oba2=8.8510-12C。,取立方体六个面为高斯面,则立方体内的净电荷为,+b(2a).a2,例Ex=bx,Ey=0,Ez=0；求边长为a的立方体内的净电荷。(a=0.1m,b=1000N/(c.m),4.高斯定理在解场方面的应用,常见的电量分布的对称性：球对称柱对称面对称,均匀带电的,球体球面(点电荷),无限长柱体柱面带电直线,无限大平板平面,例1均匀带电球面,根据电荷分布的对称性，选取合适的高斯面(闭合面),解:,取过场点的以球心o为心的球面,总电量为,半径为,求：电场强度分布,先从高斯定理等式的左方入手先计算高斯面的电通量,再根据高斯定理解方程,过场点的高斯面内电量代数和?,如何理解面内场强为0?,过P点作圆锥则在球面上截出两电荷元,在P点场强,方向如图,在P点场强,方向如图,结果表明：,均匀带电球壳外的场强分布正象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的场强分布一样。在球面内的场强均为零。,例2、均匀带电的球体内外的场强分布。设球体半径为R，所带总带电为Q,解：它具有与场源同心的球对称性。固选取同心的球面为高斯面。,注意：球内,当,当,解：该电场分布具有轴对称性。,距离导线r处一点p点的场强方向一定垂直于带电直导线沿径向，并且和P点在同一圆柱面（以带电直导线为轴）上的各点场强大小也都相等，都沿径向。,以带电直导线为轴，作一个通过P点，高为的圆筒形封闭面为高斯面S，通过S面的电通量为圆柱侧面和上下底面三部分的通量。,因上、下底面的场强方向与面平行，其电通量为零。即式中后两项为零。,此闭合面包含的电荷总量,其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。,解：由于电荷分布对于所求场点p到平面的垂线op是对称的，所以p点的场强必然垂直于该平面。,又因电荷均匀分布在无限大的平面上，所以电场分布对该平面对称。即离平面等远处的场强大小都相等、方向都垂直于平面当场强指离平面。当场强方向指向平面。,例4、求无限大均匀带电平面的场强分布。,设面电荷密度为,选一其轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面S，带电平面平分此圆筒，场点p位于它的一个底面上。由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法线方向，所以电通量为零；又两个底面上场强相等、电通量相等，均为穿出。,场强方向垂直于带电平面。,场强方向指离平面;,场强方向指向平面。,例6、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。设面电荷密度分别为和,解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定理。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生的总场强。,需注意方向。,直流电路中的平行板电容器间的场强，就是这种情况。,由图可知，在A区和B区场强均为零。C区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板。场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍。,根据高斯定理：,例5求无限长均匀带电圆柱的电场分布,设半径为R电荷密度为,记住内部：r0,E1=0,其它点E0.,所包围的电荷：hr2,柱面外一点，根据高斯定理：,柱面内一点,圆柱内任一点的场强沿径向。距中心同远处场强相同,1.对称性分析：,2.高斯面：选过P点半径为oP，高为h的同轴圆柱面,3.计算，设电荷体密度为,解：,可得,思考：均匀带电圆柱面，柱内一点E=？柱外一点E=？利用场强叠加原理，求如下带电体的电场分布。1.两平行的无限大带电平板内外的电场；2.带小缺口的细圆环圆心处；3.带圆孔的无限大平板；4.带有空腔的圆柱体O处；5.带有空腔的球体O处。,例：半径为R的球体，电荷成球对称分布.(k为比例常数)r为球心到该点的距离.求：球内外各点的场强(球的介电常数设为0),解:用高斯定理求解:,当时,对吗?错在何处?,与r无关,与r2成反比,而,例补偿法:用高斯定理求,解:相当于不挖在同一位置放上电荷密度为的同样大小的球体.场强为带电+的大球与带电-的小球的场强叠加.,所以带电小球在球心心处,同理,可得,球体内球心处d=0,E=0.,因为:方向如图,高斯定理和库仑定律的关系高斯定理是由库仑定律导出来的。高斯定理反映了库仑定律的平方反比关系F1/r2如库仑定律无此关系则得不到高斯定理，高斯定理是库仑定律平方反比关系的间接证明(证明的精度很高，直接用扭称法证明精度很低)。不能认为高斯定理和库仑定律完全等价,“从高斯定理出发可导出库仑定律”说法欠妥。高斯定理并未反映静电场是有心力这一特点。实际上，不增加附加条件，如点电荷电场的方向沿径向或具有球面对称性等条件，并不能从高斯定理推出库仑定律。库仑定律除说明电荷间的作用力有平方反比关系外，还说明电荷间的作用力是有心力。在静电场范围内，库仑定律比高斯定理包含更多的信息。,10-5环路定理与旋度电势,静电场力做功与路径无关-静电场力是保守力用库仑定律和叠加原理证明,1.静电场的保守性和环路定理,1.)点电荷的场中移动点电荷从到,电场做的功：,点电荷从P到Q点，电场所做的功为：,2.)对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带电体，可看成是由无数电荷元组成.由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单位电荷的功）为：,做功与路径无关,任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了的位置,而与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性。,静电场的保守性还可表述为：在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。称为静电场的环路定理或环流定理。,3.)静电场的环路定理,注意:运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场部分讨论。,(Circuitaltheoremofelectrostaticfield),2、电势能,静电力将电荷从电场中点移到点静电场力做正功时，静电场的电势能减少。,q0在电场中a,b两点的电势能之差等于把q0从a点移至b点过程中电场力所作的功,讨论：,q0在电场中a点电势能,3.电势和电势差,显然，场强总是从电势高处指向电势低处。,定义：移动单位正电荷从电场中点移到点，静电力所做的功，为静电场中两点的电势差:,电势：(electricpotential)场点P的电势定义为：,当电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无穷远处。,将单位正电荷从P点沿任意路径移到电势为零的点时，静电力所做的功。,在实际问题中，也常常选地球的电势为零.电势差与电势的零点选取无关。,当带电体为无限大时常选取某一点电势为零,电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（Volt,V），即1V1J/C,当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动时电场力所做的功：,4.电势的计算,例1、点电荷产生的电场中的电势分布,和电势的定义直接积分。,解：用场强分布,负点电荷周围的场电势为负离电荷越远，电势越高。,例2、求均匀带电球面的电场中的电势分布。设球面半径为R，总带电量为Q,在球面处场强不连续，而电势是连续的。,正点电荷周围的场电势为正离电荷越远，电势越低。,带电球壳是个等势体。,例3、求无限长均匀带电直线电荷线密度为的电场中的电势分布,解：已知场强为方向垂直于带电直线。,由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。,若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线为的点为电势零点，则距带电直线为的点的电势：,2.)电势的叠加原理由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。,当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电势的叠加就是总的电势。可写为：,表述：,一个点电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。,表达式：,电荷体密度为的带电体产生的电势：,电荷面密度为的带电体产生的电势：,电荷线密度为的带电体产生的电势：,例4、试计算均匀带电圆环轴线上任一点P的电势。设已知带电量为q,求半径为R电荷面密度为的圆盘轴线上任一点的电势,其中,例5一圆台(R1、R2)，侧面均匀带电，电荷面密度为，求顶点o的电势。(取无穷远为电势零点),解,.2rdx,4ox,由于,得,例6一带电球体，半径R，电荷体密度为=Ar,A为常量；求:球内外的电场和电势。,rR:,(2)电势,rR:,解(1)电场,解将平面分为若干个圆环积分。,x,2rdr,圆环:,例7一无限大平面(),中部有一半径为R的圆孔，求圆孔中心轴线上p的场强和电势。(取o点的电势为零),取o点的电势为零,求p点的电势。,例6一真空二极管，其主要构件是一个半径R1=510-4m的圆筒形阴极A和一个套在阴极外的半径R2=4.510-3m的同轴圆筒形阳极B，如图所示。阳极电势比阴极高V=300伏，忽略边缘效应，求:(1)两极间的电场；(2)电子刚从阴极发出时所受的力；(3)电子到达阳极时的速度。,解(1)设内外圆筒单位长度分别带电，由高斯定理，两极间的电场:,两极间的电势差：,故电场为,(2)电子刚从阴极发出时所受的电场力,方向沿半径指向阳极B。,(3)由动能定理：,电子到达阳极时的速度：=1.03107(m/s)。,例7一半径为R的均匀带电球面，带电量为q；球面外有一均匀带电细线，电荷线密度为,长为l,细线近端离球心距离为ro,如图所示。求细线受的力和细线在球面电场中的电势能。,解,dx,dx,1、等势面,等势面：将电场中电