同济大学高等数学第六版第七章第四节一阶线性微分方程.ppt

一阶线性微分方程,lineardifferentialequationoffirstorder,非齐次non-homogeneous,齐次线性方程homogeneouslinearequation,非齐次线性方程non-homogeneouslinearequation,常数变易法methodofvariationofconstant,伯努利方程Bernoulliequation,全微分方程totaldifferentialequation,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,性质1：,性质2：,性质3：,性质4：,性质5：,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),例,2.线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动目录上页下页返回结束,例1.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动目录上页下页返回结束,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,例2.求方程,的通解.,解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得,故方程可,变形为,所求通解为,机动目录上页下页返回结束,解,例,例求方程,例求方程,这是线性方程吗？,是关于函数x=x(y)的一阶线性方程！,解,变形为：,第一步:先求解齐次方程,齐次方程通解是,第二步:用常数变异法解非齐次方程,假设非齐次方程的解为,代入方程并计算化简,积分得,通解,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程。,求出通解后，将代入即得,代入上式,例,例.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,解,例,例用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,内容小结,1.一阶线性方程,方法1先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,P3151;2;6;7;8,作业,练习题,练习题答案,(雅各布第一伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(16541705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代