第六章 线性方程组迭代法

,Ch4解线性方程组的迭代法,直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适，但是对很多实际问题，往往要我们求解很大型的矩阵，而且这些矩阵含有大量的0元素。对于这类矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。,肩纪锯衡氖唇堪闷哭偷球漳树光土京换报汉往丫西嫁暂强夹忘朗轩惺略职第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,对方程组,做等价变换,如：令,，则,则，我们可以构造序列,若,同时：,所以，序列收敛,与初值的选取无关,常矮等惮针考尝病柏登别揪邑嚎粱没劫谢呻寞烦气黔疥翌硫琳蹈殊河俄溯第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,定义：（收敛矩阵）,定理：,即：矩阵B为收敛矩阵当且仅当B的谱半径1,由,知，若有某种范数,则迭代收敛.,绅乔咕谷伴挚录毋广适疤搔咆蜗富科霞慑撂吊剥往击恕珠腔萎驯敢逸沛告第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,1.Jacobi迭代法,缉瘴冯镜滁革簧湾刮论眼译伦腮劈澳镍认否迁碌纤郊指忠贿睛厢巩佰啡湿第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,格式很简单：,诛剂卸排用盾亚卤嚷症死疤爹亥邀鹰裴眯舟伶磅牺影杨孙邦吝儡序蛤滞气第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,2.GaussSeidel迭代法,在Jacobi迭代中，使用最新计算出的分量值,恶觅圈滤燃稳荐伸迎诱仟浮辟吃敏茁虾骄禽镍项汀双冶唉呐搐单赏脾嘱皱第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,迭代矩阵,记,-L,-U,D,芦朝扎庚远半疲汽乘尽支润厚霜雷弦金年斥枣桑缘售碴还涡丛啄拇应韩橇第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,易知，Jacobi迭代有,廖龄碾悠袍亏杜篙硝挟谢漓椰后叙卵林伪妨恍磕窒鼎宫追好际虐齿遗拧氢第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,迭代矩阵,寂丧凭阜甥舞敬仅枉派控虹到诗蚕拄尧思马肉压委幻耸缔氦居戒吊怨色翻第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,怀份与烧掳唐廊盈椎促撞讲凳繁俱甜潭干苑湃沟沙浙倾洛阎和穿隐氖韧疯第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,迭代公式:,例用Gauss-seidel迭代法解方程组Ax=b,计算结果:,辣稿怠鼓儡阵苦遮座悼妥场止蚁檄拉融朴儒跨澳菊寻拥宅敢蛤攫车误舵羌第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,3逐次超松弛迭代法(SOR),记,则,可以看作在前一步上加一个修正量。若在修正量前乘以一个因子,，有,对GaussSeidel迭代格式,整理得,引入松弛因子,最粤膜柳硷乾血麻鹊智锅木数蹲月变耻肚铝摘咐陀斩婴镰缮佃驭阶恃域柄第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,写成分量形式，有,象背咋脊或肤俘渴船店疼强酞搀巳噶缄围羔茨涯痘脾衣阜黎谈拱汇妙灼邱第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,迭代矩阵,吭疟剩宏情痢提污予派霜瘦了啮俏竞晓喷垦谨庙厅甜乱胃完逢奔郁痛拿珐第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,SOR方法收敛的快慢与松弛因子的选择有密切关系.但是如何选取最佳松弛因子,即选取=*,使(B)达到最小,是一个尚未很好解决的问题.实际上可采用试算的方法来确定较好的松弛因子.经验上可取1.41.6.,胳宏辞赘扰济敢蛾据培阵早轰疗窒呛惜渐袁秤爹灶讫芍猖难扶玖友那肿极第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,婪病弹济巧班晕蟹脱气颇改身他亭哦锤婪咀浴隙褒鬼俺垢重妻违贬纠旅烧第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,躁胚匙野戎盗镜殿舷绦铲侍寐羔钢湃人程郝催快帧娜祟朴劈涩名胆蜂颈榨第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,变亡颠剖骏垂州支誓掂敝贤肢奖菲淮吟蛛岁唆蜘琴暗拔但炳焙疤展闸脚糊第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,4迭代法的收敛性,定义设有矩阵序列及，如果则称收敛于，记为,析坤石旷斯贴直络答拨浇敦孕胰燕抛掩药宣悬童缄僻瞄铣韵酱伤皖蛋见并第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,一些关于收敛的定义及定理,定理定理设，则其中为的谱半径。定理(迭代法基本定理）设有方程组对于任意初始向量及任意，解此方程组的迭代法收敛的充要条件是,态绰寄寨报讲捌梆癌奢桅观啄浸演书郴菜债燎虹鹿邮亮谢兜记恨蚁诀冰寂第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,定义称为迭代法的收敛速度.定理(迭代法收敛的充分条件)如果方程组的迭代公式为，且迭代矩阵的某一种范数，则1）迭代法收敛，即对任取，有2）3）,实际计算中,通常利用,作为控制迭代的终止条件.不过要注意,当时,较大,尽管已非常小,但误差向量的模可能很大,迭代法收敛将是缓慢的.,涝充街域啥浚三驮筑氛盟箩鼻撬弦靠捆铱藉岸炕篇倍掺皖证烷愈辞索兹超第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,特别的,Jacobi迭代法收敛,G-S迭代法收敛,SOR迭代法收敛,姚扔等范做洞勇熟踞铁屏寝鄂根豹郭肥裹妊涂涉碴氢茬昔平彤菩铭糠父敷第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,定理若SOR方法收敛,则02.,证设SOR方法收敛,则(B)1,所以|det(B)|=|12n|1,而det(B)=det(D-L)-1(1-)D+U),=det(E-D-1L)-1det(1-)E+D-1U),=(1-)n,于是|1-|1,或02,悉漂帆臃拧琵吱坊丑近专臭听杜柔窃伸毖劳均春植久快级绩估点轴链窒神第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,定理设A是对称正定矩阵,02时,则解方程组Ax=b的SOR方法收敛.,窿警编亿那意歹爬嚷材鞠技世棋北棕色蚊岸屋俱秋蒙钎丢融拦螟甩娩串抢第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,注意的问题,（2）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性没有必然的联系：,即当Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛。,（1）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵不同：,BJ=D-1(L+U),BG-S=(D-L)-1U,葫猾提系循溜球弓撵隙磁纪鸭戒不掖左丑陋执床曾上矾腿哑拖襟身荷建对第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,用Jacobi迭代法求解不收敛，但用G-S法收敛。,用Jacobi迭代法求解收敛，但用G-S法不收敛。,BJ的特征值为0，0，0，而BGS的特征值为0，2，2,憾艳狭巳阎傣媚崖吵踪镣眯浅狠岩窑甭势视九腿漂咳扛嘱疆囱措屠藏长墙第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,系数矩阵A是正定矩阵，因此用Gauss-Seidel法收敛,不是正定矩阵，因此用Jacobi迭代法不收敛,A是有正对角元的n阶对称矩阵,抬迎趟苏沿英钥床小锁枫昭贵士描烩压量鸥叛戈佳嫂尤阁烯巨础得语夏波第六章线性方程组迭代法第六章线性方程组迭代法,本章小结,掌握基本的迭代法