幂级数的讲解纲要

12.1幂级数,主要内容,2,1,函数项级数的一般概念,幂级数的运算,幂级数及其收敛性,幂级数求和,则称无穷级数收敛.,时,等比级数收敛;,时,等比级数发散.,2.等比级数,(又称几何级数),技巧:,利用“拆项相消”求和,“收收=收;收发=发;发发=不确定”,推论若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,1.,知识点复习,3.定理(级数收敛的必要条件),设收敛级数,则必有,若级数的一般项un不趋于0,则级数必发散.,如,调和级数,发散.,反之,不成立!,4.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,知识点复习,5.利用正项级数判别法,必要条件,发散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收敛,发散,不定,比较审敛法,用它法判别:,部分和极限,知识点复习,发散;,当,时,收敛.,当,时,6.p级数,如,如,发散;,收敛.,7.利用等价无穷小：,8.含有,选择比值判别法，即,知识点复习,10.任意项级数,收敛,9.交错项级数的Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,绝对收敛,条件收敛,发散,如,如,(un单调减少趋于0),知识点复习,12.(绝对值的比值、根值判别法),则,(1)当,(2)当,时,级数绝对收敛;,或,时,级数发散.,(3)当,时,此方法失效，换其他方法.,知识点复习,11.绝对收敛的级数一定收敛.,一、函数项级数的一般概念,12.1幂级数,设,为定义在区间I上的函数项级数.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;,为定义在区间I上的函数,称,收敛,称,为其收,为级数的和函数,并写成,在收敛域上,函数项级数的和是x的函数,称它,若用,余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前n项的和,即,例如,等比级数,它的收敛域是,有和函数,12.1幂级数,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为(x-x0)的幂级数,其中,当,称为幂级数的系数.,时,称为x的幂级数.,如,12.1幂级数,定理1(Abel定理),若幂级数,则对满足不等式,的一切x幂级数都绝对收敛.,反之,若当,的一切x,该幂级数也发散.,时该幂级数发散,则对满足不等式,12.1幂级数,点收敛,发散,收敛,若幂级数,设,则,当,时,即,级数绝对收敛;,当,时,即,级数发散;,令,发散,发散,12.1幂级数,可以看出,的收敛域是以原点为中心的区间.,幂级数在(R,R)收敛;,(R,R)加上收敛的端点称为收敛域.,R称为收敛半径，,在,可能收敛也可能发散.,外发散;,在,(R,R)称为收敛区间.,当,发散,发散,12.1幂级数,幂级数在(,+)收敛;,R=0时,幂级数仅在x=0收敛;,R=+时,当,当,特别地,发散,发散,收敛,收敛,收敛,R=0,R=+,12.1幂级数,定理2若,的系数满足,1)当l0时,2)当l0时,3)当l+时,则,的收敛半径为,说明:据此定理,12.1幂级数,对端点x=1,的收敛半径及收敛域.,解,对端点x=1,级数为交错级数,收敛;,级数为,发散.,故收敛域为,例1求幂级数,12.1幂级数,例2求下列幂级数的收敛域:,解(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在x=0处收敛.,规定:0!=1,12.1幂级数,例3求幂级数,的收敛半径.,解,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,当,即,当,即,12.1幂级数,例4求幂级数,的收敛域.,解令,级数变为,当t=2时,级数为,此级数发散;,当t=2时,级数为,此级数收敛;,因此收敛域为,即,12.1幂级数,三、幂级数的性质,定理3设幂级数,及,的,令,则有:,其中,收敛半径分别为,12.1幂级数,定理4若幂级数,的收敛半径,则其和函数,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,逐项求导,逐项积分,12.1幂级数,解由例2可知级数的收敛半径R+.,例5求幂级数,则,故得,的和函数.,因此得,设,12.1幂级数,分母求导,例6求幂级数,的和函数,解易求出幂级数的收敛半径为1,x1时级数发,散,故当,时，,12.1幂级数,例7求幂级数,的和函数,解,12.1幂级数,例6,例7求级数,的和函数,解易求出幂级数的收敛半径为1,收敛域为,由和函数,的连续性知,12.1幂级数,例8求数项级数,解设,则,12.1幂级数,的和.,故,例9求幂级数,的和函数,解易求出幂级数的收敛半径为1,x1时级数发,散,故当,时，,12.1幂级数,1.函数项级数,则在收敛域上有,2.,3.(x-x0)的幂级数：,4.x的幂级数：,内容小结,5.,的收敛半径为,逐项求导,逐项积分,对非标准型幂级数的收敛半径:,直接用比值法或根值法或通过换元化为标准型再求.,6.幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,内容小结,作业,P2061(2,3);3(1)5月28日(周六)第三阶段考考试内容：第11章,阿贝尔(18021829),挪威数学家,近代数学发展的先驱者.,他在22岁时就解决了用根式解5次方程,的不可能性问题,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中