工程数学 级数4.2_第1页
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文档简介

1,是定义在区域D上的复变函数序列，则称表达式,4.2复变函数项级数,定义4.2.1复变函数项级数,设,为复变函数项级数（简称复函数项级数）.,该级数前n项和,称为级数的部分和.,2,定义4.2.2如果对于D内某点,，数项级数,收敛，,则称点为,的一个收敛点，若级数在区域D内的每一点都收敛，则称该级数在D内收敛;收敛点的集合称为,的收敛域.若级数,发散，则称,点为级数的发散点，发散点的集合称为,的发散域.,3,4,幂级数概念,5,如果令,，那么(4.3.1)成为,，这即为(4.3.2)的形式.为了方便，今后就以(4.3.2)函数项级数来进行讨论.,6,7,因而存在正数M，使对所有的n有,如果,，那么,，而,8,从而根据正项级数的比较法知,收敛，故级数,是绝对收敛的.,9,另一部分命题用反证法证明.,10,11,(2)对所有的正实数除,外都是发散的.这时，级数在复平面内除原点外处处发散；,对所有的正实数都是收敛的.这时，根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛；,12,(3)既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数发散的正实数.设,(正实数)时级数收敛，,(正实数)时级数发散，那么在以原点为中心，,为半径的圆周,内，级数绝对收敛；,为半径的圆周,外，级数发散.显然只能,，否则级数必发散，如图4.1所示。,在以原点为中心,13,14,定义4.3.2收敛圆收敛半径,15,4.3.3收敛半径的求法,对于幂级数，我们主要关心的是它的收敛问题，即收敛域是怎样的以及如何求收敛域.下面我们借助正项级数的比值法来讨论这个问题.,16,证明:,17,18,19,20,21,在收敛圆上，由于,收敛，所以原级数在收敛圆上处处收敛.,22,当,时，级数为,，它是交错级数，根据莱布尼兹判别法知级数收敛；当,时，级数为,，它是调和级数，故发散.,23,定理4.3.3幂级数的性质：,24,更为重要的是代换(复合)运算,这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.,25,收敛半径为R=|b-a|,解把函数,写成如下形式:,26,O,x,y,a,b,当|z-a|b-a|=R时级数收敛,27,28,但级数,的收敛半径,29,但应注意，使等式,成立的收敛圆域仍应为,，不能扩大.,30,(ii)幂级数在其收敛圆内可逐项求导或逐项积分，即,且逐
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