第二章源头之一几何原本

第二章数学思想方法的两个源头,第一节古希腊的几何原本第二节中国的九章算术,几何学的发展简史,几何学的发展历经了四个基本阶段：一是经验事实的积累和初步整理据考证西方的几何学就是起源于测地术“几何学”这个名词是我国明朝徐光启（15621633年）译的，这个词的原义无论在拉丁文或希腊文都含“测地术”的意思,大约公元前1650年，埃及人阿默斯（Ahrmes，生卒年月不详）手抄了一本书，即后人所称的“阿默斯手册”，最早发现于埃及底比斯的废墟中公元1858年由英国的埃及学者莱因德A.H.Rhind购得，故又名“莱因德纸草书”此书中载有很多关于面积的测量法以及关于金字塔的几何问题在我国，最早的数学著作“周髀算经”和“九章算术”也载有许多关于几何的问题，我国古代的几何知识在很早就已到达了很高的程度,由此可见，人们在实践过程中积累了丰富的几何经验，形成了一些粗略的概念这些概念反映了某些经验事实以及它们之间的联系，并经过一定的系统整理而且，在这个漫长的过程中，人们也进行过某些简单的推理和直观的论证,泰勒斯曾发现若干几何定理和证明的方法，这是理论几何的开端，他还利用几何定理来解决实际问题，凭一根竹竿就可以测得金字塔的高毕达哥拉斯认为数学是一切学问的基础，他对几何有很多研究，著名的勾股定理在西方就叫做“毕达哥拉斯定理”希波克拉底是编著第一部初等几何教科书，并首先使用“反证法”的人，他还与柏拉图等同为研究“几何三大问题”的人，并因此发现了许多几何定理,二是理论几何的形成和发展,柏拉图首创证题利器“分析法”，而确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，这种思想也由柏拉图开其先河欧几里得搜集当时所有已知的初等几何知识的材料（也包括他自己的发现），按着严密的逻辑系统，编成“几何原本”十三卷（简称原本），这本书在历史上极负盛名，后世誉为几何学的杰作在我国，战国时代的墨子（名翟，约公元前480前390年），著有“墨经”十五卷，其中所载科学文字，标意立说，都极其精微深刻,三是解析几何的产生与发展,16世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学和航海等方面都对几何学提出了新的要求导致了解析几何的出现1637年法国哲学家和数学家笛卡尔（Descartes，15961650年），发表了他的著作几何学，后世的数学家和数学史学家都把卡笛尔的几何学作为解析几何的起点,由于笛卡尔系统地总结了用数对表示点的位置的方法，建立了笛卡尔直角坐标系，运用了代数方法研究几何问题，从而扩展了几何学的研究内容，使圆锥曲线等图形也成为几何学的研究对象特别是，研究几何方法从单纯强调逻辑方法，到强调逻辑方法和代数方法并重，从而促进了几何学的进一步发展因此，解析几何的产生与发展就成为几何学发展的第三阶段的重要标志,四是现代几何的发展,尝试去证明第五公设的失败，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的成果：一方面从改变几何的公理系统，即用和欧几里得的第五公设相矛盾的命题来代替第五公设，从而导致几何学研究对象的根本突破先后由高斯（Gauss，17771855年）、波约（J.Bolyai，18021860年）和罗巴切夫斯基（17921856年）建立起罗氏几何，以后又有了黎曼（Riemann，18261866年）几何,另一方面，由于对公理系统的严格分析，最后形成了严格的公理化方法，并在1899年由希尔伯特（Hilbert，18621943年）在他的几何基础中建立起完善的欧几里得几何公理系统几何学的分支学科有平面几何、立体几何、非欧几何、罗氏几何、黎曼几何、解析几何、射影几何、仿射几何、代数几何、微分几何、计算几何、分形几何、拓扑学等,（一）内容简介几何原本是古希腊学者欧几里得(约公元前330275年)的代表著作。几何原本是对古希腊数学的整理和系统化的总结是古希腊数学思想的杰出代表，堪称古希腊数学的百科全书。,第一节古希腊的几何原本,几何原本共13篇，第1篇用23个定义提出点线、面、圆和平行线等概念，接着是五个公设：(1)从任意一点到任意点可作直线。(2)有限直线可以继续延长。(3)以任意一点为中心及任意的距离(为半径)可以画圆。(4)所有直角都相等。(5)同一平面内一条直线和另外两条直线相交若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。,在五个公设中，第五个公设不像前四个那样显而易见，大家很快就认为：欧几里得把这一命题列为公设不是因为它不能证明，而是找不到证明。这实在是几何原本这部不朽巨著的白璧微瑕。从几何原本的问世到19世纪初，许多学者投入无穷无尽的精力，力图洗刷这“污点”，最后导致非欧几何的创立。公设之后是五个公理。近代数学不区分公设和公理凡是基本假定都是公理。,几何原本后面各篇不再列出其它公理。这一篇在公理之后，用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学，其中第47命题就是著名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形(以斜边为边的正方形)等于直角边上的两个正方形。”,图1.2周髀算经证明步骤,第2篇包括11个命题，主要是用几何的语言叙述代数的恒等式。如第4命题“将一线段任意分为两部分在整个线段上的正方形等于在部分线段上的两个正方形加上以这两个部分线段为边的矩形的二倍”，就相当于代数恒等式。第11命题是分线段为中末比后来被称为黄金分割；第12、13命题相当于余弦定理。,第三篇有37个命题讨论圆、弦、切线、圆周角、内接四边形及与圆有关的图形。第四篇有16个命题包括圆内接与外切三角形，正方形的研究，圆内接正多边形(5边、10边、15边)的作图第五篇是比例论给出25个命题。第六篇讨论比例理论的几何应用，共有33个命题。,第七、八、九三篇是数论，共有102个命题，也完全用几何的方式叙述、第九篇第20命题是数论中的欧几里得定理：素数的个数无穷多。第十篇是篇幅最大的一篇，包括115个题占全书四分之一，主要讨论无理量(与给定的量不可通约的量)，但是只涉及相当于之类的无理量。第十一篇讨论空间的直线与平面的各种关系，共有39个命题。,第十二篇利用穷竭法证明了“圆面积的比等于直径平方的比”，还证明了棱锥之间、圆锥之间、圆柱之间和球体之间的体积之比。值得指出的是：欧几里得在任何地方都没有给出圆面积、球体积等的计算。这并非他不知道早已存在的近似计算方法，而是在他看来，这种计算属于实际测量而不用于理论几何。第十三篇共有18个命题，主要研究五种正多面体，并且证明了(凸的)正多面体不能多于五种。,第五公设的试证,在摆脱第五公设(也称平行公设)困扰的努力中，第一个有影响的工作是由古希腊天文学家托勒密完成的。在这次认真的尝试中，托勒密采取的方式是直接证明法。他试图通过欧几里得的其他九个公理、公设直接推导出第五公设。托勒密认为自己成功了。但在证明过程中，他假定了：两直线平行后，另一与之相交直线一侧内角成立的东西，也必在另一侧同样成立。后人指出，这一假定事实上等价于第五公设。利用等价于第五公设的命题去证明第五公设，这是一种循环论证。这样的证明被宣告是无效的。,许多数学家在证明过程中，不自觉地运用或假定了某个新的公设，在这新的前提下推导出了平行公设。然而，这新公设事实上只是平行公设的等价形式，是伪装起来的平行公设而已。这种努力的最终结果不是证明了第五公设，而只是给出了第五公设的某些等价命题。另一类尝试途径是明确定出一个新的公设来取代欧几里得的平行公设，而不像前者那样把它隐藏在一个新定义或证明过程中。在所有这类替代方案中，最著名也是我们学习中所采用的是：过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。这一受到人们偏爱并为我们所熟悉的表述通常被称为普莱费尔公理。,第一个走上问接证明道路的是意大利数学家萨凯里(16671733)，他第一个应用归谬法来证明这一著名公设。,萨凯里清楚直角假设等价于平行公设。因此为了证明平行公设，可以走一条迂回路线：证明钝角假设与锐角假设不成立。如果能成功地排除钝角假设与锐角假设的可能性，那么就可得出两者皆为直角的结论，从而证明出平行公设。为此，萨凯里使用了反证法。他分别假设钝角假定与锐角假定成立，看能否推出矛盾。从钝角假定成立出发，在假定直线为无限长的情形下(欧几里得同样含蓄地提出过这样的假定，对此似乎没有人提出异议)，萨凯里容易地推出了矛盾，从而钝角假定可以去除。,1763年，德国数学家克吕格尔(Kergel，17391812)在他的论文中指出：(1)公理的实质在于经验，而并非不证自明，人们之所以接受欧氏平行公设的真理是基于人们对空间观念的经验；(2)欧氏平行公设的可证明性值得怀疑，萨凯里并没有得出矛盾，他只得到似乎异于经验的结果对上述提示，瑞士数学家兰伯特(Lambert，17281777)作了进一步的研究，认识到一组假设如果不导致矛盾，一定可以提供一种可能的几何,受此影响，施威卡特(Schawikart)在1818年送交高斯征求意见的备忘录中已区分了两种几何：欧氏几何与假设三角形内角和不是两直角的几何；他的外甥托里努斯(Taurinus)继续进行研究，在有关著作中叙述了如何用纯粹形式的分析方法展开由锐角假设所导出的几何，他取球半径r=i，证明了虚半球面上成立的公式恰好是他所研究的星空几何中的公式遗憾的是，他认为只有欧氏几何对物质空间才是正确的，而星空几何只是逻辑上无矛盾，他不能想象使锐角假设成立的空间，因而把锐角假设作为一个非实在的东西予以抛弃了从克吕格尔到托里努斯，这几位学者都已承认第五公设的不可证明性，即第五公设相对于欧氏其他公设是独立的；但他们都没有认识到，就描述物质空间的性质来说，欧氏几何并非是唯一的几何,（二）几何原来思想方法的特点1、封闭的演绎体系,几何原本是最早形成的演绎体系。在形式上，它是由少数不定义概念，如点、线、面，虽然几何原本中“定义”了这三个概念，但后来的推演中却没有利用这些定义，而且这些定义只是几何形象的直观描述，严格地说并不能算作定义。因此一般仍将这三个概念看作几何原本中的不定义概念等等，和少量不证明的命题(公理和公设)出发，按定的逻辑规则，定义出该体系中的所有其它概念，推演出所有其它的命题(定理)。,除了推导时所需要的逻辑规则外，几何原本的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系，原则上不再依赖其它东西。因此，从理论发展形式看，几何原本是一个封闭的体系。当然，几何原本在证明某些命题时确实运用了除公理和逻辑之外的“直观”。但是那只是个别地方，并不影响整个体系；而且那正是作为几何原本的“缺陷”而受到人们的批评，后来人们不断地在该体系中剔除直观，从而建立起更严格的数学理论体系，其指导思想正是源于几何原本。,另外，从几何原本与当时的社会生产、生活的关系看，它的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说它也是封闭的。所以，从本质上说，几何原本是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系。,2抽象化的内容,几何原本中研究的都是一般的、抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，从一些给定的概念和命题出发演绎出另一些概念和命题。它不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。重视抽象理论、鄙视数学理论的现实原型及其具体应用，乃是该著作的显著特点。,3公理化的方法,几何原本采用了前面我们已经指出的比较严格的演绎体系，人们通常称这种体系为公理体系，而构造公理体系的方法就是公理化方法。,几何原本13篇，共给出475个(有的版本是477个)命题，其中10个作为公理(公设)，其余465个命题部是由公理及有关定义推演出来的。从结构上看，第一篇开头给出的10个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公理和前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公理外也都照此办理。从全书来看也符合这种有序性：后面各篇的证明只利用前面已有的公理、定义和定理作为依据。,倘若用现代的标准去衡量，几何原本的公理体系是有缺陷的。首先，一个公理系统都有若干原始概念，或称不定义概念，作为其它概念定义的基础。点、线、面就是这一类概念。,其次，公理系统不完备，没有运动、顺序、连续性等公理，所以一些证明不得不借助于直观。此外，有的公理不是独立的，例如“直角必相等”即可由别的公理推出。这些缺陷直到1899年希尔伯持(1862一1943)的几何基础出版才得以补救。尽管如此毕竟瑕不掩瑜、几何原本是实现公理化方法的最早典范，它产生于两干多年以前，这是难能可贵的。,几何原本可以说是古希腊数学的最高成就。几何原本的思想方法使得数学理论成为个严谨的系统性理论。它使得人们能够在一定程度上超越当时的实践，充分发挥自己的主观能动性，得到意义深远的理论结果，再利用这些成果指导人们的实践，提高人们认识世界、改造世界的能力。,（三）几何原本思想方法的深远意义,几何原本曾经统治几何学的学习，自成书之后，在世界各地以各种不同的文字，共出了一千余版，仅次于圣经，称得上是世