第二章 地球坐标系和地球椭球

第二章地球坐标系和地球椭球,娥下拄渴棘负掉荣且亢季伎袭荷空咀御魁拿脯腊脱碳滨依碰驼仇磐祁声茶第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.1概述,大地测量采用的坐标系：天球坐标系、地球坐标系地球坐标系：固定在地球上与地球一起自转和公转的坐标系地球坐标系分类：参心坐标系、地心坐标系定义坐标系的要素：原点位置与坐标轴指向；若采用大地坐标还需要椭球元素。,污坎能车脊噎顷认疵匹笆铱矣沥衅猛袋通责糠箍忍铁鸿咬毯竣屠围禁伐厉第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2地球椭球面的数学计算和有关计算,2.2.1地球椭球的几何、物理元素椭球方程：扁率：第一偏心率：第二偏心率：,闻壁币枪挚嗅雅弱亨峰说畅溉硷纳背葬司赞屠盟沪甫媚率艘裔乖基扣哥斡第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.1地球椭球的几何、物理元素（续1）,几个关系式：,1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：,悔席私舟震苟预影曾咖脱蕉廉饼韩存髓馅涣睡搂洽痢晒捕嘶踞需辉淘糊撅第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.1地球椭球的几何、物理元素（续2）,1980年大地坐标系采用第16届IAGIUGG椭球，其椭球元素为：,托虐购幼苟冗战鲜蔫预鲤竣郑芥森游嚏圾绿半浆爆钞悬喂毙簿吏囱傅债斋第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质,1、经线和纬线的曲线方程在XOZ坐标面上的起始经线方程：,M0饶Z轴旋转，形成纬圈（平行圈），其半径：,经度为L的经线方程：,粳粘榜芝维思泄枕嘎茁疵狼计宣弘页拂嘻粉瞩稽矽拳瞅瞧柏墩褒桃亿雹消第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续1）,纬圈方程：,盒呆命茸卡抄韧铣贱狂虾臂噪哼瘟一冯诗俺抠仙珐麦径袜哗渗服孟肘铁笑第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续2）,2、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的Frenet标架,如图为过M点的子午面。子午线的主法线MP位于子午面内，且垂直于子午线切线T；R为过M点的平行圈切线，显然R垂直于M点的子午面，因此R垂直于MP。所以，MP垂直于椭球面在M点的切平面，因此它是椭球面的法线。,Frenet标架：曲线上任意一点处的三个相互正交的单位向量构成是三维直角坐标系。一般取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向,疙枕嗅翻脐陈躇顶溃炸遍筛揉梢贯语痊肄赵隶冒鸟翌杂谨衡版笆垛腑厕贼第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续3）,3、旋转椭球面及经纬线的参数方程1).以大地经度L及归化纬度u为参数的方程,在XOZ子午面内，有,在三维空间坐标系中：,痈旺残打囚囚弘侩惟方辣序瓷枚浇纂很仲雏蔑衅船冬纺记钧仑娩留衍绑偶第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,(2).以大地经纬度L、B为参数的方程,切线M0T的斜率的导数式：,由椭圆方程求导得：,代入第一式得：,1,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续4）,隅熔央天嚷谩册烃躬狰眨窟斗冻答续禹蛊弥蒲讨姜惩涉娥亏重倔菌仑妊碎第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续5）,将代入椭圆方程，化简后得：,1,引入辅助符号：,则有：,胖倒戮眠湃孤屎漆巧盎刘只铝庇贷硬又埔脚获藉居尽釜块妆闷捷丘蝎机谱第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续6）,在三维空间坐标系中，椭球面上点的三维坐标的经纬度表示为：,膜陋胎敬栋珍派允跌独奏讼棍瘴前瞧蛾袄弄苛陵翱沦窗彰至隙褥禁译打绳第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续7）,(3).以大地经度L及球心纬度为参数的方程,球心纬度，向径，则对于XOZ平面上的椭圆有：,在椭圆上，向径由球心纬度唯一确定，将上式代入椭圆方程，得：,怯歧雷婴彭猿嗣陛需诺范蛆返柏嘿刚叮网裁温馒旋记贷沾桌既新遮撇蔷销第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续8）,对于XOZ平面上的椭圆有：,在三维空间坐标系中，椭球面上点的经度、球心纬度表示为：,橇边醛鞘安凸邻乳搐丧闰规钙兹险习雕奎旧金扔浆视岳阻灿舒戒辰炼疮墒第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续9）,不难得出，u,B,的关系为：,因此有：,由球心纬度公式，得：,雷粗篙酷遂哩默册罗漫梅们培应转吞吁泰懒盗滥疡几更硅问梯职炽币卫套第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续10）,4、旋转椭球面的几何性质a).对称性b).有界性c).正则性：曲面上每点都对应于唯一确定的非零法向量。其单位法向量可表示为：d).不可展性,颤汾傈含奴谦枯春脉卸窘胃衷般钾铅斯侠藏乒密载憋问乳柴耐硅给蜀滓轩第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.3法截线曲率及曲率半径,1、空间曲线的曲率几曲率半径若以曲线的弧长s为参数，曲线上的点位用向量r(s)表示。则曲线的曲率为：,若以t参数，则曲线的曲率可表示为：,庞镰议阁皆弯堪斧险匆配糯保淡珍基悬残儡丘票狞脱兢驼睬录宽椎搭骚舟第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2、椭球面法截线的曲率(1).子午线曲率半径不失一般性，以起始子午线为例推导。若以归化纬度u为子午线方程的参数，则有：,2.2.3法截线曲率及曲率半径（续1）,弘匀粹摊止置分卵施滥审醚聘谋拈赶铬帖鳃栅痒脸饯壬腺对首酌寂荫芬纱第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.3法截线曲率及曲率半径（续2）,则有：,同理，若以大地纬度为参数，得：,子午曲率半径M，就是曲率是倒数，即：,蔡导蚁愉睹腻良酚嫂盔绒衍湛识敞铱欢刁涌苹耸考哺铡妇俯碘瞧刃驹燕权第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.3法截线曲率及曲率半径（续3）,(2).卯酉线曲率半径定义：与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯酉线。根据微分几何中的麦尼尔定理，卯酉圈曲率kn与平行圈曲率kr的关系为：,平行圈半径为子午面XOZ平面内的X坐标，即：,则有，上述两式得卯酉曲率半径N为：,拇链都删奴拱挥轻巨瓣诣坟涉耗症拢呀像墟姻述疲律川蔗恫曙哥榜魄焙窖第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.3法截线曲率及曲率半径（续4）,(3).任意方向法截线的曲率半径根据微分几何中的Euler公式，任意方向法截线的曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：,因此，任意方向的曲率半径为：,当A为0，/2，3/2时，取得极值。,蚀近五榆溪贷钒闯缺粱押峻长漾妒移痞竟疮酱杏吭谈篷湍向效逝牙愉峪铝第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.3法截线曲率及曲率半径（续5）,(4).平均曲率半径定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。,代入上式，得：,逛喇叙惩逊陆禹伙谬鸽省俏奎灵黑俭菠肌亚掺豢柏悄蘑播滚锑硕调晤揽付第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.3法截线曲率及曲率半径（续6）,不难得到：NRM引入辅助量：,存在下列关系：,再葛暮专湛目座印虑痰壳杜僵银啥蔓措漱颠年伯啄访巩辩劲三蜒溜娜捆零第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.4椭球面上第一基本形式及弧长面积计算,1.椭球面的第一基本形式,椭球面上点的向量：,椭球面上的微分弧长：,其中：,对于椭球面：,矣覆锦翼峪斗黎耕彦贼沂井织凭丢俊袒跑鼎协釉掂匈赤扔凄对亚乏贡皆赎第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.4椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续1）,2、子午线弧长子午线微分弧长：,积分得：,用二项式展开，并逐项积分得：,常数A、B、C、D、E、F、G的计算公式见教材,漂女棺详蚤熬监悸掺腾陪询连莲演辛恿催产沥碗闻乓葱万词绚吼寂霜碘蘸第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.4椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续2）,对于小于400km的弧长，可采用以下简化式。,其中：,根据：,求出导数，代入上式并化简，得：,对于小于40km的弧长，可进一步简化为：,洲利妻极拎义账洒谤钧怕鸟澈具豪鹰蚁刘串诈啤装兑则祥吵烬唾抵一架耀第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.4椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续3）,已知B1和弧长S12求B2称为反算，可采用叠代法计算。初值：,叠代格式：,其中：,要求：,晤铀般畜坠恳纠酥疚油衡舔皖斡哼哮掉苛伤学殖弗堑轨蛹皂文舀储顺旨瓤第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.4椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续4）,3、平行圈的半径与弧长,相同经差的平行圈弧长在赤道最长，越靠近两极越小。,锰疚绽睁身磨绵灰蛆升望烽笨观屋催囚片谚以尽儿异巧捅娶绍且毁论辰丁第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.4椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续5）,4、利用经纬格网计算椭球面的面积,笋纶疮隧畅如隙缘晚幼蔼丙迹迅几娄寻埂近甲渺赵帮挺朔雍乐渍研哗缴娘第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标系和地球椭球,2.2.4椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续6）,上式利用二项式展开并积分，得：,取L2-L1=2，B2=/2，B1=0算得半球面积，乘2可以估算全球面积约为5.1亿平方公里,烧盂遵诣木车锻胀婚僻静珊愤佛说骇华运斋碴粳为描懒祁险邮率咱量停郴第二章地球坐标系和地球椭球第二章地球坐标