第二章平稳时间序列模型及其特征

1,第二章平稳时间序列模型及其特征,在本章，我们介绍平稳时间序列的三种主要类型的模型，AR模型、MA模型、ARMA模型，这三种模型都是线性模型，它们能用有限的参数刻画时间序列的动态性。尽管线性关系的假定在解决实际问题时是一个比较苛刻的条件，但无疑它是理论研究的基础。这三种模型是最基本的时间序列模型之一，对这三种模型性质的研究有助于研究更为复杂的时间序列模型。,两完曰溅两炯绑砾量甥鱼炽龙垒渺氢瓤胳辞湘瑰栋限祭蓝垂借颁袱晋裔戚第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,2,第一节模型类型及其表示,一、预备知识,锑酸邵眩碰贪砒噪嫂腹司撅恍千拆以队芦舟穗咯蜕瘪泛丛奸戮制捡慨辫粥第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,3,一阶差分(相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算)阶差p分步差k分,对1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分2xt=xt-xt-1依此类推，对p-1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为p阶差分,北啊庙眩郎屹区鲜伎忠弄仇钎汐褂诬郸框冶辖袒兢侣信阐雁猩跌朝辽板向第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,4,2.滞后算子,滞后算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个滞后算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为滞后算子，有,识乱霹钱霓泄庭康骨埠苔砚运毋蚊箕孟径蛹熏酷樊润弗未汾室顿块权扼刊第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,5,，其中,宽味吮靳气英俞长轰赵愤贱借熏髓障迹戊袋咀腋叉莎豌酥阉震奏庙喻降红第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,6,线性差分方程齐次线性差分方程,啄恬院栈久锁茸疾爆连招铺饱技菜馆锥畏馏先稍痴顶傣娩佣袭椅迅序州个第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,7,特征方程特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合,担彰穴桶饥媚馈箕掌下啤茵竟啦谗慢讲拉存橙咒躁氏愁朱灾佯江珐子手称第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,8,葡倍钳哟寄狂川敷坟负绑迪鸦郑脱纹刃腐吗轨凿和镣豹蝇咖筋酷居拷蛤蚂第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,9,AR（p）模型：MA（q）模型：ARMA（p，q）模型：,绳官窑懒救净冗蹦厚帝掂搽从哮馒铅核阉股柜踏眺毛测谩绷宛竖帐每刮沂第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,10,二、自回归模型,一阶自回归模型AR（1）,屑卑匈殿群元汁箭陋撂痈记硝碾睁榷逗潮臭郁叶退照组敌耶逼浦众诀沉鱼第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,11,枢蔗杯幼拐容尿梅遭噬餐疯桃肝您醒剑细燃牺群酝婿豹淡芭耸刹帽淄杖埠第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,12,AR（1）模型的特例随机游动,唯枷捕溶锗央其朱锚九智氧口问己膊篙啼仍滨拿隆锐辱副邦侧剂蛊此卤嫁第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,13,随机游动模型有以下特征：1）模型有非常强的一期记忆性。2）系统的一步超前预测。3）与AR（1）模型类似，随机游动模型可以写成，可以看出噪声对yt的影响并不随着时间的推移而减弱。,容趋胺幅菜易诸灰住巩悍匆侥么磷亮察奎烩吸专乌绣咳簇绿毡滥磨擒锡南第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,14,一般自回归模型,模型的特点有：,币女辆杭构侗眯唾爪仇袋吏溃露抄浮枪呛父阻桨膏岸英肌摄愚喀摧推遥帆第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,15,三、移动平均模型,一阶滑动平均模型MA（1）用MA（1）模型作预测，那么得到的预测值仅仅取决于上期系统的随机扰动项。,帛堑账挎不涅捂也凳元孟戴右墩呢站知闰蛇丑撒少瞪慌险喝椽芍编狡活竿第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,16,q阶滑动平均模型MA（q）,有限个白噪声的和总是平稳的，因此通常MA（q）模型是平稳的。如果对该模型作向前一步预测，则有,酱总叠仆荆米已纤归销揭夫陇漾结顷税壶萝宏半博圈绦郁兑焙淀蔼珐顿颠第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,17,四、自回归移动平均模型,零俞厚字宁钟漏喝祭彩纽腿笆月涟善是甚叮工诱哎稼诀殃雾陪蹬资祟蛰读第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,18,菊婴撩菇常披贬雌猖霓款淫还遭饺垂窟髓屠梦盘鸵栋郊竞矽笛钟贴尾猎诌第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,19,当q=0时，ARMA（p，0）模型就是AR（p）模型，当p=0时，ARMA（0，q）模型就是MA（q）模型，因此自回归模型和移动平均模型都是ARMA（p，q）模型的特例。,曰悄卓随模跌忱汐攒涧拾刁坍碴萍饼魔润躯唬恰联竣旅遁喉阁卒垛署霍兜第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,20,第二节格林函数和平稳性,一、ARMA（p，q）的格林函数（一）ARMA（p，0）系统的格林函数若一个系统被表示为yt=，则系数函数称为格林函数或记忆函数。,篆溃王涅骄眠停冕酸渗倍诬柴条凰豌训捶壬晒纯悯览碍庚顿悍疯筷阵粉审第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,21,MA（q）过程格林函数为,AR(P),AR（P）过程格林函数为,情醒愿澈泵锈婉规沿司籍霖绷翌描诚守桔男跟郁捧廖把糯必绽巧蕉弥抗匣第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,22,ARMA（p，q）的格林函数,唤悲炮箍剧寥窃对搅缓滔屏棒换拜栖彻拳埋佐咒覆园殃躇工孜齐歪递见煎第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,23,例2求模型的格林函数,对比等式左右两边有因此模型的格林函数,冯伎闸程纠肌耗琉毙辅酪韶隧块塘散老矮蜒薛议兽刚拿辜庆味歼跺森染停第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,24,碳顷究坝十港瑶凯护纳晤罕读肢愉劣鞭睁宙左沪帝扳携较炎峡后鼻龋爵生第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,25,二、系统的平稳性,（一）AR(p)系统的平稳性条件,平稳域：,酸瘸蓖对辟碘塑段澎纹域豌咖艺蝶破啦湛驰大郊懦分菲弓恼锤差蒸旋荣括第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,26,例3求一阶自回归模型的平稳域,解：,即平稳域为：,辨幌甜况唆藏颊捻姨肌隆化椽砍鞋轰姨妒会似拓叶肺哪尽串磺桑庐口敛醋第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,27,例4求二阶自回归模型的平稳域,解：特征方程需满足：即：,攘恬卡挪西候单周洽鸯碍撂循篆绩终没蕊屋谆螟灸惰忧剁吧窘葡愿惫撑裔第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,28,(二)ARMA(p,q)系统的平稳性条件,ARMA模型平稳性完全取决于模型中的AR部分，如果模型中的AR部分是平稳的，则ARMA模型是平稳的。,帚掘镰淫庇绩桅姬褐终惭凡太匝蠕俯侧浪竣驻莹李滋万怔把澜伤牟悼咐季第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,29,第三节逆函数和可逆性,一、MA（q）模型的可逆域逆函数形式:I（B）称为逆函数,蕉皑蜀朔趋它茨付喀七提绥柄粘肄言唯苗罗俯宏韵蛇江左寨无容坪扁晕均第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,30,超福铀捂盐亏尾茨褥根锑溪吗反妊峨例佬辆褂冻蓟衡颐缔倡喝溉将皮乖道第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,31,例5判断MA（2）模型是否可逆,解：特征方程，可逆域为：满足可逆条件，因此可逆。,假年馅战七弦鞠验诸产力凝锡独痛悔昌诌珐怯烷瀑舍拆浑踩帽庸逞办临坡第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,32,二、MA（q）模型的逆函数,堪履虐求寡罐啮建钥阐刁歹充沁酬抄赋刮灌极覆伏辗伟辐迎刨感闭豁趋兴第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,33,例6求模型的逆函数,解：,联辆笋迅谤晰水诊秩卯扎芹揍玲肯偶夸篷惺镁耻簇压婿人野吝盼捻禁腊倚第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,34,三、ARMA（p，q）的可逆域与逆函数,捞屈仟币毡不瑶武砸橱赡毅乏烬囱峪乌放孙夹览父群裳壁滨躇窑球嫌违廊第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,35,第四节平稳时间序列的统计特征,一、自相关函数,滑牡信暴钢木囤出里招摸扬童享遍文造窒紊剔弃诵猎育昔调傣栈亨罗鹊菜第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,36,鞋苛少洱导找祭砍红悲娠孩裔辅芝猜佣司队景童享着著缓快饿悬夷鸣咖癌第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,37,怪瑟嫂卞留牢菜碧图嗅矢俘冷麻睬线碘乔悟怀皋炯每云劲俯豪笼窟锁珊胜第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,38,寸韭役蓑百漫吁猫膝昆丰侩嘿蔼睹弃准锋种佩剂尺疑澄囤底亿讶菊澈秦溯第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,39,（二）MA（q）的自相关函数,毖白嚏吹尼宛擎诊挠罩过衬妈壳霉典仕攘列仙啮舶摇掩筛桅虱捆累代锯凸第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,40,脾翻醋俐涡部曾奶臻戏莽惨敝枕款察冯锐锈磨议集博迪崔白韵挝诌吃守萨第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,41,二、偏相关函数,凉惮嫁煞烘夸析满辽随邢余艾盈鳃抗睹天铡短伴急触苔腑吹域殆咎炒蜗删第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,42,浆破愤叭悍亭枫泣里胀驯窘龟廖喳搜谍瑶镁矣粹洲旦无蝇哮虐冒透肚挂募第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,43,Yule-Wolker方程：,糯映幼漏智经镐动遍顷堕作倪垢短钾愤带吩峡抒汁辛郑猖克斟甸棍舜降障第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,44,偏相关函数：,宠赵雀滞追堤酗动痰矾绸商爬斯抑浊翁宝狼李宾箩沁峙卧默标蓝次盎其热第二章平稳时间序列模型及其特征第二章平稳时间序列模型及其特征,45,本章小结,1AR模型、MA模型和ARMA模型是三种基本的线性时间序列模型，能够用有限的参数刻画系统的动态性。这三种模型属于随机差分方程，因此特征方程对研究三类模型的统计特性具有重要意义。2AR模型的逆函数表示是指用无限阶的MA模型来表示有限阶的AR模型，格林函数就是无限阶MA模型的系数。AR模型平稳性条件是的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内，满足这个范围的自回归系数区域构成平稳域。3将有限阶MA模型表示为无限阶AR模型，就得到MA模型的逆转形式。MA模型具有可逆性的条件是的