第二章 晶体点阵

参考书目：1.近代晶体学基础（上）2.现代晶体化学3.物质结构基础,轻庇妮烧千佑堵缉易筹绳丈理糟增旨岸拆午忍澜锤茫免怔桨悄肛乌典往梳第二章晶体点阵第二章晶体点阵,第二章晶体点阵,晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复排列构成的固体物质。晶体内部周期性排列的结构，使晶体具有以下共性：1.均匀性：晶体内部各个部分的宏观性质相同。注意：玻璃体内各个部分的宏观性质也是相同的，与晶体有什么不同？2.各向异性：晶体中不同方向具有不同的物性。光电磁等。3.自发地形成规则多面体：晶体生长过程中自发地形成晶面，晶面相交成为晶棱，晶棱相交形成顶点。晶体在理想状态下应生长成凸多面体。,弛镍煌吉舟览俞张嫉晰旗疼拔朝若臀缮扼闹牢煞符煮抬随佬枫唇怎造警猫第二章晶体点阵第二章晶体点阵,凸多面体的晶面数F，晶棱数E和顶点数V之间的关系符合公式：F+V=E+24.有明确的熔点5.对称性最重要6.对X射线衍射测量的基础,X-射线已经揭示了晶体内部的结构基元（motif）总是按照一定的周期排列，并形成固定的三维空间图案。对晶体结构基元周期性排列的描述是将每个结构基元看成抽象的几何点，这样把晶体结构抽象成一组无线多个周期性排列的点-点阵。定义：点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可得一向量，将各个点按此向量平移能使它复原。,喻颂纽渔谢祭孺十希抿枚基捡字授次瞳播贩袍肄迢筷税归绷授沁涉掂郴吵第二章晶体点阵第二章晶体点阵,满足此条件的一组点称为点阵（Lattice）。点阵中的每个几何点叫阵点。阵点的选择是任意的，只要代表结构基元就可以。阵点所代表的具体内容称为晶体的结构基元（structuralmotif）。,2.1图案与点阵,2.1.1一维图案与直线点阵,一维对称图案的结构基元周期性地排列在一个方向上。,将一维对称图案中每个结构基元等同位置抽象成一个几何点，形成一个直线点阵。,额窍寿钟抿帮呐乓鹅爵情协那朗绸抛蒲椭复妮形秧辱捣粉藕源绕八止沸淋第二章晶体点阵第二章晶体点阵,直线点阵中，任取一阵点为原点O，相邻阵点为A，则矢量a=OA,称为初基矢量-基矢。直线点阵中任意两阵点的平移矢量称为矢径，可表示为：,矢径Tp完全说明了一维对称图案结构基元的排列的周期性。,缴骸庶贱间博浴盆翰雇焦拭岳歧垢陆钡帽卯堑蛔殖笛芒缘住狐姬熙淳林胎第二章晶体点阵第二章晶体点阵,2.1.2二维图案与平面点阵,二维对称图案,把二维对称图案中每个结构基元的等同位置抽象成一个几何点，就把二维对称图案抽象成平面点阵。,鸿便穆韩牵剁煌概矣癣核报匀镭焙襄吟漳玛谜煮婪显霞虽卖外享厅溪者尘第二章晶体点阵第二章晶体点阵,非初基单胞,平面点阵可以分解为一系列平行的点阵直线，每组平行的点阵直线间距(di)是等同的。也可以划分为无限多个连接的平行四边形，,阵点周围的几何环境都是相同的。,任选一个阵点作为原点O，连接相邻两个阵点做向量对，有两种情况：由初基矢量对围成的平行四边形叫初基单胞，否则为非初基单胞。初基单胞性质：,故用硼渊焙裁表宦色跃婿庄但氏啄然些奥是物夏阉缮熙松嘛舞目铃谷飞齿第二章晶体点阵第二章晶体点阵,1.初基单胞以每个阵点为原点，做周期性重复时，完全覆盖所有点阵面积；2.不管所选的基矢如何，初基单胞的面积相等；3.初基单胞只包含一个阵点，非初基单胞包含两个或以上阵点。,平面点阵任何阵点的矢径可表示为：,平面点阵只有5种排列方式：,赎弃绪潭鲸纳苍赔借显贞钮青曾独拭淮橡翼酬投眠恭乎吩橙稍梭貉粳伴玻第二章晶体点阵第二章晶体点阵,|a|b|90,|a|b|=90,|a|=|b|90,|a|=|b|=90,|a|=|b|90,怜叼吾岩盛袖捡醒愧蛙憾玩啮橇咙嘻端龚杖迪淘污妄桥恬听吧纬燎斤澄斥第二章晶体点阵第二章晶体点阵,NaCl晶体一个截面原子的排列，结构基元如虚线画出的正方形单位，包括一个Na+和一个Cl-离子。等径最密堆积一个原子为一个结构基元。石墨烯，结构基元为2个C原子。,柜硼蠕渠腋糟锚耙酱韶宏真摔恃辰赖娄矿铃牺哄撮摩炭漓聂椅了造敦钵哉第二章晶体点阵第二章晶体点阵,2.1.3晶体结构与空间点阵,晶体结构是一个三维对称图案，空间点阵就是从晶体结构中抽象出来的无限大几何图像。晶体的结构基元由一种原子组成，原子与阵点重合，这种点阵叫晶格，这种格子叫布喇菲格子。晶体结构基元由2种或2种以上原子组成，每个基元中相同位置的同种原子可以构成相应的点阵。晶体是有具体物质内容的空间点阵结构。每种晶体都具有特有的结构，但是，不同的晶体可以有相同的空间点阵。比如碱金属的氯化物：LiCl，NaCl，KCl是不同的晶体，但是有相同的空间点阵。此类晶体每个阳离子周围有6个等距离的阴离子，同样每个阴离子周围有6个等距离的阳离子。,砚谷汰促淋揭拾观祭椿涎军萨舟票粘姓皂薪然迢炼饿乡普诲周卫胶嘘锻惫第二章晶体点阵第二章晶体点阵,5.628,NaCl晶体中，同类原子最小重复距离为5.628。换一个重复距离标度就可以表示LiCl或KCl晶体结构，但是空间点阵形式完全一致。,5.628,O,A,B,C,a,b,c,汰太股稀惋启抄锈党病猿钩县略妙炊冶膜膏漠魏赚搀捍陋牲沥拘友嫁指啮第二章晶体点阵第二章晶体点阵,与前面一样，选择4个相邻的阵点O,A,B,C，得到3个方向的基矢,用这3个基矢可以画出一个体积最小的平行六面体。每个顶点为一个阵点，这个阵点为八个相同的平行六面体所共有。因此对每个这样的平行六面体而言，只包含一个阵点。这种平行六面体叫初基单胞。在三个方向上做周期性重复，就得到整个空间点阵。任选一个阵点做原点，其他任何阵点的矢径可表示为,土磅汝猛琐很斧调胶撑翻酗孝碘抉沸惟夸衣青劝谎湘奸颗坚冬藤挪迟伸搭第二章晶体点阵第二章晶体点阵,空间点阵可以画出无限多个阵点直线族，每个阵点直线族的阵点直线均互相平行，重复周期相同。阵点直线在晶体结构中为晶列，在外形上表现为晶棱。空间点阵也可以画出无限多阵点平面族，每个平面均平行。阵点平面在晶格结构中成为网面，在外形上表现为晶面。有两个重要特征：（1）空间方向。阵点平面的法线方向代表该阵点平面族的方向；（2）阵点平面族中的平面间距相等。,嚏耀倘昌巳息鸦波堂键判捷倦哆糊表菜肖页阐娇租姐喂耽雍铆怀蓝枉蛊外第二章晶体点阵第二章晶体点阵,2.2方向指数,2.2.1平面点阵的阵点直线方向指数,图中平面点阵中，A方向的终点不在阵点上，OA不是平面点阵的平移矢量。延长止于阵点R，这时OR变为真的平移矢量（径）。即T=a+3b。T平移矢量,方向指数为【13】.如果分向相反，平移矢量为，这时T=-a-3b，T的方向指数为【13】。对平面点阵阵点直线可以表示为Tpq=pa+qb,葵峙垄感悸啥内歼宾欧宠进汾绍镰跳墙灸兔汐信汁忙穗诈永椅熔桑蛤恐脖第二章晶体点阵第二章晶体点阵,方向指数定义为p：q=【pq】,注意三点：（1）方向指数中p：q和【pq】限于两个互质整数比。（2）（3）任何平行的阵点直线方向指数均为【pq】。【pq】求法：（1）通过坐标原点引直线T，写出T上任一阵点坐标，将坐标约化为两个互质的数之比即得；（2）写出阵点直线上任意两个阵点的坐标，【（x1y1）】和【（x2y2）】将(x1-x2):(y1-y2)约化为两个互质的整数比即得。,射纱壶赃慈菱谐连燥堂鼓搏隋弯恩投疥描劳拧兜甘摈惺签赵意蘸恃乓烦拇第二章晶体点阵第二章晶体点阵,平面点阵中，阵点直线等效方向的数目与点阵的对称性有关。对称性越高，等效方向的数目越多。,a.一般平行四边形点阵所有阵点都是对称中心。A方向与B方向是等效的，即A方向的【11】=B方向的【11】,一般情况下可以写成【pq】=【pq】b.矩形点阵有一组互相正交的对称面1和2。A方向【12】,通过一组对称面或一中心反伸与一对称面的反映，可以得到图中4个方向的等效方向.,舜劲锑耸汇罚钝茶约掸直拒业歹闸悬獭惋旗亡啃函啮矗麻弱采寡彦段齐眉第二章晶体点阵第二章晶体点阵,在一般情况下，矩形点阵的阵点直线的等效方向指数可表示为,C.正方形点阵存在两组互为正交的对称面（12）（12）及四次对称轴。,图中阵点直线（12）通过对称面反映或对称面反映和四次轴旋转操作，可产生8个等效方向。,拥集佣帆哦颂沾爹川敛亏曰戏纂晒截胞夯塞抖菩金伍擒堑课浇育迹据姑眉第二章晶体点阵第二章晶体点阵,一般情况下，正方形点阵的阵点直线等效方向指数可以写为,d.六方形点阵存在一个六次旋转轴和六个对称面。图中的阵点直线方向A（13），通过六次旋转轴和六个对称面的反映，可以得到等效方向。,萤聋逐疆盏若痞泞拭骨玉逛不肿切壮宝诌价绥臃努塔篮寐最处溃彦余娱迫第二章晶体点阵第二章晶体点阵,骨倚瞅摔讼泡棘皑意扯墨雏渗匈汀要爽踊钓奋竖粉砰啼添胁丝袁减野暴坚第二章晶体点阵第二章晶体点阵,2.2.2空间点阵的阵点直线方向指数,空间阵点的矢径可以表示为Tpqr=pa+qb+rca,b,c代表空间点阵的基矢。p,q,r为阵点【(p,q,r)】在a,b,c三坐标轴上的分量，为有理数。使p:q:r=u:v:w,且u,v,w为互质的整数，那么【uvw】就是阵点直线的方向指数。阵点直线方向指数的求法：（1）把直线平移至通过坐标原点，任取直线上一个阵点的坐标p,q,r，再将其互质化为u,v,w，即求得阵点直线的方向指数【uvw】。（2）在阵点直线上任取两点的坐标【p1q1r1】和【p2q2r2】，使(p1-p2):(q1-q2):(r1-r2)化为互质,缮植规整氖浦仗馏釜遇粪缆搁侄雹侵尚砖杏名荫矢卫否慢柱钙名摆痔箱孕第二章晶体点阵第二章晶体点阵,的三个数，即得方向指数。对于【uvw】应该注意如下两点：(1)(2)在晶体结构及其对称图形中，一组相互平行的阵点直线的方向指数相同，都可以用【uvw】,空间点阵等效阵点直线的数目与其点阵的对称性有关。对称性越高其等效阵点直线的数目越多。a.单斜空间点阵若平行四边形点阵均匀的堆积过程是上一层点阵直接的在下一层阵点之上，这样的堆积可形成单斜空间点阵，保有二次轴。在平行四边形点阵中每个阵点都是对称中心，因此有【uv】=【uv】，但是垂直于平行四边形,隐陨昧策萨崩鞍求仟桅厕靖阿吵扦矾瞻块黎楷曰胶景竹癌俞烛脸冗捞候匙第二章晶体点阵第二章晶体点阵,的是平面矩形点阵。因此有,故有,并以单斜代表着四个等效方向。,abca=b=90g90,误匡雾马梯店姜羽驳段断辅檀剁谨谣风奈维炒搔志瓦乙献昆藤拦丝粗殊渺第二章晶体点阵第二章晶体点阵,b.正方空间点阵正方形平面点阵的阵点对阵点堆砌而成，保有4次轴，但是层间距不等于正方形边长。初基正方空间点阵单胞如图：,a=bca=b=g=90,对正方形平面点阵，有,即在此指数中正、负号都是可变的。但是，在保证垂直于正方形平面点阵的平面点阵为矩形的情况下，只有v(或u)和w正、负号是可变。,熄亲瞧厨蝶要聂溅杰骤捻矩焦惺把砒前呸郴张耐枣途碗爪袱弯畸威嚎擒折第二章晶体点阵第二章晶体点阵,有,和,对正方空间点阵的方向指数，在三个指数的正负号和位置的变换中，只限制w必须出现在最后。因而有,和w重复；,和w重复。,最后得到16个等效方向。用正方表示。对于方向指数中有两个为0时，减少为4个等效方向。,即,对于正方类型，只有8个等效方向。,励穆锯爪俗氦在选模蛮恍否又渊佰序苹柬夏粱朝蒋赂搏陡险二谨瓦码熙抱第二章晶体点阵第二章晶体点阵,对于六方和三方空间点阵，可以选择4轴坐标系，四个指数为uviw，一次对应轴a、b、d、c.轴a、b、d在同一平面内，c垂直于此面。u:v:i:w比值为,x1,x2,x3和z分别为点R的坐标。同时，还规定了x1+x2+x3=0。,这样就可以得到通过坐标原点的任一阵点直线方向指数。,同样可以证明任意uviw前3个指数之和为0，即u+v+i=0,闻密迹府潜循钉扣撵蚤逊苏峙超暂某椿卡紊协鞭筑党吴火稽趾挂索述诈郭第二章晶体点阵第二章晶体点阵,确定图中空间点阵的点阵直线OA,OB和OC方向指数。B点平分基矢径a。,a/3,2a/3,写出图中OA,OB,OC,OD,OE,OF的矢径和这些阵点直线的方向指数。,证明六方和三方空间点阵,的四个指数uviw前3个之和为0，即u+v+i=0,瘦绑山舀诅捅衡黎膳薛居葛瘪筐熙幅溃枷扼昌撞植魔湖啮徽贡黔辣殃浴吉第二章晶体点阵第二章晶体点阵,2.3有理指数定律和阵点平面指数,O,A1,A2,B1,B2,C1,C2,Q1,Q2,X,Y,Z,结晶多面体上的两个晶面Q1，Q2在X，Y，Z三个坐标轴上的截距分别为OA1和OA2，OB1和OB2，OC1和,OC2，其对应二者的比值连比可以简化为三个互质的整数连比：,这个定律是法国科学家HAY在无限劈裂方解石成a=10155角的多面体启示下发现的。当时还不能证明此定律。所以叫有理指数定律经验的总结。,庆畏亏晴今舶皮键绕金溶朔鲁病焙除芋卿饥蓉家古辞婆羊沸饰名囱喜炎抬第二章晶体点阵第二章晶体点阵,后来随着晶体学的点阵结构理论所证明。证明方法：,1,3,1,3,1,3,把相较于一点的三个晶棱作为坐标轴，以初基单胞的棱长为坐标的标度。把一个晶面放到此坐标系，这个晶面在坐标轴上的截距倒数之比可以简化为一互质的整数连比。,2.3.2阵点平面指数阵点平面指数(hkl)首先由米勒引用，以后称为米勒指数。有了有理指数定律，当晶体选取适当的坐标轴后，就可以标定阵点平面或晶面指数。,瓣桓酞澡析窒移痢差老邑己菲憾篇好孤圆唇郴徐垦窍韭录伟琉萌垄步砚忿第二章晶体点阵第二章晶体点阵,步骤为：(1)选择不同阵点平面的三个坐标轴X,Y,Z，相应的轴单位分别为a,b,c，使欲求指数的阵点平面与三个坐标轴相交。(2)测量阵点平面与坐标轴的交点到原点距离，即求的pa,qb,rc，p,q,r称为轴系数。(3)取阵点平面在三个坐标轴的轴系数的倒数，并乘以适当因子，使其换算到三个互质证书连比。即可求得该阵点平面指数(hkl),少瓜酶澡彤帅冯蒜宾位姜掌椅台龟芦孺尹柜业傀粱度高侥壶睁荚署伞蓬涅第二章晶体点阵第二章晶体点阵,X,Y,Z,O,p,q,r,求出pa,qb和rc,然后求,立方初基单胞的一些重要阵点平面,俗滤珍敛庇勇瘦故害悟囊躲量计格酥挛秦珠挖诈悠谤尧炔屯厕涟犁百昆植第二章晶体点阵第二章晶体点阵,阵点平面指数(hkl)注意四点：(1)(2)当阵点平面与坐标轴X轴平行时，在X轴上有a，这时当然还可以得到,(3)属于同一阵点平面簇平面指数相同(hkl).,熄烩沦守乡末谰单舍侗持计扣褥股玩邪龋打崭肛迢峙齐挎漂劣壮熙碱嘴铰第二章晶体点阵第二章晶体点阵,