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,二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第七节,机动目录上页下页返回结束,函数的连续性与间断点,第二章,可见,函数,在点,一、函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,机动目录上页下页返回结束,continue,若,在开区间内每一点都连续,则称它在该区间内,连续,或称它为该区间内的连续函数.,例如,在,内连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,只要,都有,机动目录上页下页返回结束,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动目录上页下页返回结束,例1.证明函数,在,内连续.,证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,机动目录上页下页返回结束,例2.证明指数函数y=ex的连续性.先证即y=ex在x=0点连续。,再证,即y=ex在x=x0处连续.,函数,在闭区间a,b上连续，指的是：,函数,在开区间(a,b)内连续，且在区间,左端点右连续，在区间右端点左连续.,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续(称为间断):,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,机动目录上页下页返回结束,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,机动目录上页下页返回结束,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,机动目录上页下页返回结束,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,机动目录上页下页返回结束,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.讨论函数,x=2是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,2.设,时,提示:,为,连续函数.,机动目录上页下页返回结束,答案:x=1是第一类可去间断点,思考题确定函数,间断点的类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,机动目录上页下页返回结束,思考题试分别举出具有以下性质的函数的例子:,的所有间断点,且它们都是
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