5工程数学_留数

1,第五章留数,1孤立奇点,2,函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.,将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域内展开成洛朗级数.根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.,3,1.可去奇点如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点.这时,f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是一个普通的幂级数:c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.因此,这个幂级数的和函数F(z)是在z0解析的函数,且当zz0时,F(z)=f(z);当z=z0时,F(z0)=c.由于,4,所以不论f(z)原来在z0是否有定义,如果令f(z0)=c0,则在圆域|z-z0|d内就有f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而函数f(z)在z0就成为解析的了.由于这个原因,所以z0称为可去奇点.,5,6,2.极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点.上式也可写成,其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+.在|z-z0|d内是解析的函数,且g(z)0.,7,反过来,当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的形式,且g(z0)0时,则z0是f(z)的m级极点.如果z0为f(z)的极点,由(5.1.1)式,就有,8,3.本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.,中含有无穷多个z的负幂项.,9,在本性奇点的邻域内,函数f(z)有以下的性质(证明从略):如果z0为函数f(z)的本性奇点,则对任意给定的复数A,总可以找到一个趋向于z0的数列,当z沿这个数列趋向于z0时,f(z)的值趋向于A.例如,给定复数A=i,我们把它写成,10,综上所述,11,4.函数的零点与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),(5.1.2)其中j(z)在z0解析且j(z)0,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点,根据这个定义,我们可以得到以下结论:如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0(5.1.3),12,这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+.易证z0是f(z)的m级极点的充要条件是前m项系数c0=c1=.=cm-1=0,cm0,这等价于f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0(5.1.3)例如z=1是f(z)=z3-1的零点,由于f(1)=3z2|z=1=30,从而知z=1是f(z)的一级零点.,13,由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定,所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.,14,15,16,由此,当zz0时,得,而y(z)=1/j(z)在z0解析,并且y(z0)0,所以z0是f(z)的m级极点.证毕这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.,17,18,19,5.函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R|z|内解析,称点为f(z)的孤立奇点.,20,21,规定,如果t=0是j(t)的可去奇点,m级极点或本性奇点,则称点z=是f(z)的可去奇点,m级极点或本性奇点.由于f(z)在R|z|+内解析,所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,根据(4.4.5)与(4.4.8),C为R|z|+内绕原点任何一条简单正向闭曲线,22,如果在级数(5.1.6)中i)不含负幂项,ii)含有有限多的负幂项,且t-m为最高幂,iii)含有无穷多的负幂项,则t=0是j(t)的i)可去奇点,ii)m级极点,iii)本性奇点.,23,因此,在级数(5.1.5)中,i)不含正幂项;ii)含有限多的正幂项,且zm为最高幂;iii)含有无穷多的正幂项;则z=是f(z)的i)可去奇点;ii)m级极点;iii)本性奇点.,24,25,26,27,2留数,28,1.留数的定义及留数定理如果函数f(z)在z0的邻域内解析,那末根据柯西-古萨基本定理,但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分,一般就不等于零.,29,因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.后,两端沿C逐项积分,右端各项积分除留下c-1(z-z0)-1的一项等于2pic-1外,其余各项积分都等于零,所以,其中c-1就称为f(z)在z0的留数,记作Resf(z),z0,即,30,定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则,D,z1,z2,z3,zn,C1,C2,C3,Cn,C,31,证把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有,32,求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0,因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式.如果z0是本性奇点,则没有太好的办法,只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.,33,2.留数的计算规则规则1如果z0为f(z)的一级极点,则,规则2如果z0为f(z)的m级极点,则,34,事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(z),z0,因此即得(5.2.5),当m=1时就是(5.2.4),35,36,37,由规则1,得,38,我们也可以用规则III来求留数:,这比用规则1要简单些.,39,40,41,42,43,3.在无穷远点的留数设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分,的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作,积分路线的方向是负的.,44,定理二如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).又设C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有,45,46,47,3留数在定积分计算上的应用,48,1.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.令z=eiq,则dz=ieiqdq,49,其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.,50,例1计算的值.,解由于0p1,被积函数的分母在0qp内不为零,因而积分是有意义的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此,51,在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.,52,53,54,取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,z1,z2,z3,y,CR,-R,R,O,x,55,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,56,57,58,59,3.形如的