第6章_代数系统

第三篇抽象代数,第6章：代数系统第7章：典型代数系统,离散数学,6.1代数系统的基本概念,代数结构也叫抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它来表示实际世界中的离散结构。构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。为了研究抽象的代数系统，需先定义一元、二元代数运算以及n元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义，在此基础上再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。,6.1.1代数运算,定义6.1：对于集合A和正整数n，函数f:AnA称为集合A上的n元代数运算(n-tuplealgebraicoperator)，简称为n元运算(n-tupleoperator)。当n=1时，f:AA称为集合A上的一元运算；当n=2时，f:A2A称为集合A上的二元运算，n(n2)元运算又称为多元运算。注意：代数运算是一个函数。（1）代数运算的唯一性：对每一个自变量有唯一像。（2）代数运算的全域性：代数运算的定义域为关系f:AnA的前域，即domf=An。（3）代数运算的封闭性：代数运算的结果是A中的元素，即ranfA。,6.1.1代数运算,例6.1分析f(x)=1/x是否为实数集R、集合R-0、整数集合Z、集合Z-0上的代数运算。解：f不是实数集R上的代数运算，因为函数在x=0没有定义，不满足全域性；f是非零实数集R-0上的一元代数运算；f不是整数集Z上的代数运算，因为函数在x=0没有定义，并且3/7Z，不满足全域性和封闭性；f不是非零整数集Z-0上的代数运算，因为5/10=0.5Z-0，不满足封闭性。,6.1.1代数运算,例6.2分析下列哪些是代数运算。(1)f(x,y)=1/(x-y),xR,yR;(2)g=,集合A=1,2,3;(3)h(x,y)=xy-y,xR,yR;(4)f1=|xR,yR,|x|=|y|;(5)f2=,集合A=a,b,c;(6)w(x)=x2,xN。,是A上的一元运算,不是,是R上的二元运算,不是,不是,是N上的一元运算,6.1.1代数运算,例6.3在Nk=0,1,2,k-1上，定义,其中，“+”和“-”为普通意义下的加和减。分析是否为Nk上的代数运算。,解：根据的定义，是NkNk到Nk的一个函数，满足唯一性、全域性和封闭性，所以是Nk上的一个二元运算。,模k加法。,6.1.1代数运算,例6.4在Nk=0,1,2,k-1上，定义,其中，“”和“/”为普通意义下的乘和除。分析是否为Nk上的代数运算。,解：根据的定义，是NkNk到Nk的一个函数，满足唯一性、全域性和封闭性，所以是Nk上的一个二元运算。,模k乘法。,6.1.1代数运算,二元运算的运算表：对于具有n个元素的有限集合A上的二元运算“”，可以通过一个nn表格来表示。表格的上方、左侧依次列出A中元素，表格中第i行、第j列元素列出A中第i个元素和第j个元素在运算“”下的结果。,6.1.1代数运算,例6.5试给出N7=0,1,2,3,4,5,6上，模7加法、模7乘法的运算表表示。,6.1.2代数系统,定义6.2非空集合A以及A上的若干个代数运算1,2,m组成的数学结构，称为代数系统(algebraicsystem)，或代数结构(algebraicstructure)，用多元组表示。非空集合A称为代数系统的载体(carrier)。例：、都是代数系统。、都是代数系统。、都不是代数系统。,6.1.2代数系统,例6.6分析如下数学结构是否构成一个代数系统。,解：（1）是一个代数系统。,（2）是一个代数系统。,（3）不是一个代数系统。,（4）是一个代数系统。,6.1.2代数系统,练习设P(S)是非空集合S的幂集，对于，,定义如下运算：,判断是否构成一个代数系统。,6.1.2代数系统,定义6.3对于代数系统，如果非空集合T是集合A的子集，且运算1,2,m在T上满足封闭性，则称为代数系统的子代数系统(subalgebraicsystem)，或子代数(subalgebra)。,，都是的子代数系统；，都是的子代数系统。,6.1.2代数系统,例6.8对于A=5z|zZ,证明是的子代数系统。证明：显然，A是Z的子集。对于任意的z1Z和z2Z，5z1+5z2=5(z1+z2)A，5z15z2=5(5z1z2)A，即运算+和在A上满足封闭性。所以，是的子代数系统。证毕。,6.2代数运算的性质,代数运算的性质对于代数系统的研究有着重要的意义。以下介绍一般代数运算所具有的基本性质。不同的代数系统可能含有不同的代数运算，这些代数运算往往具有基本性质中的某些性质。,6.2.1基本性质,定义6.4对于集合A上的二元运算“”，如果x,yA，xy=yx，则称运算“”满足交换律(commutativelaw)，或称运算“”是可交换的(commutative)或者具有可交换性(commutativeproperty)。实数集R上的加法和乘法满足交换律，但减法不满足交换律；幂集P(A)上的并和交运算满足交换律，但差运算不满足交换律。,6.2.1基本性质,例6.9判断实数集合R上的运算1：x1y=x+y-xy和运算1：x1y=x+y-x2，是否具有可交换性。解：由于x1y=x+y-xy=y+x-yx=y1x，所以，R上运算1具有可交换性。由于x1y=x+y-x2，y1x=y+x-y2x1y，所以，R上运算1不具有可交换性。,例6.10判断N7上的模7加法、模7乘法是否具有可交换性。,6.2.1基本性质,定义6.5对于集合A上的二元运算“”，如果x,y,zA，(xy)z=x(yz)，则称运算“”满足结合律(associativelaw)，或称运算“”是可结合的(associative)或者具有可结合性(associativeproperty)。实数集R上的加法和乘法满足结合律，但减法不满足结合律；幂集P(A)上的并和交运算满足结合律，但差运算不满足结合律。,6.2.1基本性质,例6.11判断实数集合R上的运算2：x2y=y和运算2：x2y=x+2y，是否具有可结合性。解：由于x2(y2z)=x2z=z，（x2y)2z=y2z=z，即(x2y)2z=x2(y2z)，所以R上的运算2具有可结合性。由于x2(y2z)=x2(y+2z)=x+2(y+2z)=x+2y+4z，（x2y)2z=(x+2y)2z=x+2y+2z，即(x2y)2zx2(y2z)，所以R上的运算2不具有可结合性。,6.2.1基本性质,例6.12判断例6.9中实数集合R上的运算1：x1y=x+y-xy和运算1：x1y=x+y-x2，是否具有可结合性。注：对于A上的可结合运算“”，括号的优先运算作用已没有意义，常把括号省略。于是可令an=aaaa（共n个a）。显然，对于正整数m和n，有a1=aan=an-1aaman=am+n(am)n=amn,6.2.1基本性质,定义6.6对于集合A上的二元运算“”和“”，如果x,y,zA，都有x(yz)=(xy)(xz)，则称运算“”对运算“”是左可分配的(leftdistributive)；如果x,y,zA，都有(xy)z=(xz)(yz)，则称运算“”对运算“”是右可分配的(rightdistributive)。如果运算“”对运算“”既是左可分配的又是右可分配的，则称运算“”对运算“”是可分配的(distributive)，或者，称运算“”对运算“”满足分配律(distributivelaw)或具有可分配性(distributiveproperty)。例如：对于代数系统，乘法运算“”对于加法运算“+”是可分配的；但是，加法运算对于乘法运算不是可分配的。,6.2.1基本性质,例6.13设运算“”在A上满足交换性，如果运算“”对运算“”满足左分配律或右分配律，则运算“”对运算“”满足分配律。试证明。证明：设运算“”对运算“”满足左分配律，那么，x(yz)=(xy)(xz)由于运算“”满足可交换性，所以，(yz)x=x(yz)=(xy)(xz)=(yx)(zx)即运算“”对运算“”满足右分配律。从而，运算“”对运算“”满足分配律。同理，设运算“”对运算“”满足右分配律，那么，(yz)x=(yx)(zx)由于运算“”满足可交换性，所以，x(yz)=(yz)x=(yx)(zx)=(xy)(xz)即运算“”对运算“”满足左分配律。从而，运算“”对运算“”满足分配律。证毕。,6.2.1基本性质,定义6.7对于集合A上的二元运算“”和“”，如果x,yA，都有x(xy)=x，则称运算“”对运算“”是左可吸收的(leftabsorptive)；如果x,yA，都有(xy)x=x，则称运算“”对运算“”是右可吸收的(rightabsorptive)。如果运算“”对运算“”既是左可吸收的又是右可吸收的，则称运算“”对运算“”是可吸收的(absorptive)。如果运算“”对运算“”是可吸收的，且运算“”对运算“”也是可吸收的，即x,yA，满足x(xy)=x，(xy)x=x，x(xy)=x，(xy)x=x，则称运算“”和运算“”满足吸收律(absorptivelaw)，或者具有吸收性(absorptiveproperty)。,6.2.1基本性质,例6.15对于集合A上具有可交换性的二元运算“”和“”，如果x,yA，x(xy)=x，x(xy)=x，则运算“”对运算“”满足吸收律。试证明。,6.2.1基本性质,例6.16对于实数集合R上的运算“”和“”：xy=maxx,y,xy=minx,y,判断它们是否满足吸收律。解：根据运算“”和“”的定义，显然，它们都满足交换律。由于x(xy)=maxx,minx,y，有如果xy，则x(xy)=maxx,y=x，如果xy，则x(xy)=maxx,x=x。所以，x(xy)=x，即“”对“”是左可吸收的。又由于x(xy)=minx,maxx,y，有如果xy，则x(xy)=minx,x=x，如果xy，则x(xy)=minx,y=x。所以，x(xy)=x，即“”对“”是左可吸收的。又由于运算“”和“”都满足可交换性，因此R上的运算“”和“”满足吸收律。,6.2.1基本性质,定义6.8对于集合A上的二元运算“”，如果xA，xx=x，则称运算“”是幂等的(idempotent)或等幂的，或称运算“”满足幂等律(idempotentlaw)或等幂律。例6.17设P(A)是非空集合A的幂集，试判断集合的并运算“”和交运算“”是否满足幂等律。解：根据集合运算的定义，对于xP(A)，xx=x，xx=x，所以，集合的并运算“”和交运算“”满足幂等律。,6.2.1基本性质,定义6.9对于集合A上的二元运算“”，如果x,y,zA，xy=xz必有y=z，则称运算“”是左可消去的(leftcancellative)；如果x,y,zA，yx=zx必有y=z，则称运算“”是右可消去的(rightcancellative)。如果运算“”既是左可消去的又是右可消去的，则称运算“”是可消去的(cancellative)，或称运算“”满足消去律(cancellativelaw)。实数集R上的加法运算“”、减法运算“”都满足消去律，但是，乘法运算“”、除法运算“”都不满足消去律，因为0x=0=0y，不一定有x=y；0x=0=0y，也不一定有x=y。,6.2.1基本性质,例6.21判断实数集合R上的运算2：x2y=y和运算2：x2y=x+2y，是否满足消去律。解：根据运算的定义，对于x,y,zR，x2y=yx2z=zy2x=xz2x=x令x2y=x2z，则有y=z；令y2x=z2x，则有x=x，即y=z不一定成立。所以，实数集合R上的运算“2”不满足消去律。由于x2y=x+2yx2z=x+2zy2x=y+2xz2x=z+2x令x2y=x2z，则有x+2y=x+2z，即y=z；令y2x=z2x，则y+2x=z+2x，即y=z。所以，实数集合R上的运算“2”满足消去律。,6.2.1基本性质,例6.22分析A=a,b上的如下运算“”和“”的性质：,解：（交换律）由于运算“”和“”的运算表关于主对角线元素对称，所以，它们满足交换律。（结合律）根据运算表，有(ab)a=ba=b=a(ba)(ab)b=bb=a=a(bb)(ba)a=ba=b=b(aa)(ba)b=bb=a=b(ab)(aa)a=aa=a=a(aa)(aa)b=ab=b=a(ab)(bb)a=aa=a=b(ba)(bb)b=ab=b=b(bb),6.2.1基本性质,故可得出A上运算“”是可结合的。又由于(ab)a=aa=a=a(ba)(ab)b=ab=a=a(bb)(ba)a=aa=a=b(aa)(ba)b=ab=a=b(ab)(aa)a=aa=a=a(aa)(aa)b=ab=a=a(ab)(bb)a=ba=a=b(ba)(bb)b=bb=b=b(bb)故可得出A上运算“”是可结合的。（分配律）由于b(ab)=ba=b，(ba)(bb)=ba=a，所以，A上运算“”对运算“”是不可分配的。又由于a(ab)=ab=a=aa=(aa)(ab)b(ab)=bb=b=ab=(ba)(bb)a(ba)=ab=a=aa=(aa)(aa)b(ba)=bb=b=ba=(bb)(ba)a(aa)=aa=a=aa=(aa)(aa)b(aa)=ba=a=aa=(ba)(ba),6.2.1基本性质,a(bb)=aa=a=aa=(ab)(ab)b(bb)=ba=a=bb=(bb)(bb)所以，A上运算“”对运算“”是可分配的。（吸收律）由于b(bb)=bb=a，b(bb)=ba=a，所以，A上的运算“”和“”都不满足吸收律。（幂等律）由于aa=a，但bb=a，所以A上运算“”不满足幂等律；由于aa=a，bb=b，所以A上运算“”满足幂等律。（消去律）根据运输表知aa=a,ab=b,ba=b,bb=a。显然，如果aa=ab，则a=b；如果ba=bb，则b=a。又由于运算“”满足交换律，所以，运算“”满足消去律。由于aa=a，ba=a，那么，如果aa=ba，则不一定有a=b，所以，运算“”不满足消去律。,6.2.2特殊元素,集合中的某些元素在代数运算的作用下会显示出与其他元素有不相同的特殊性质，这些具有特殊性质的元素称为代数运算的特殊元素(particularelement)，简称为特殊元。,6.2.2特殊元素,定义6.10对于集合A上的二元运算“”，如果A中元素x满足xx=x，则称x是关于运算“”的幂等元(idempotentelement)或等幂元。例：在代数系统中，0+0=0，所以，0为关于运算“”的等幂元；在代数系统中，00=0，11=1，所以，0和1都为关于运算“”的等幂元。,例6.23求代数系统中关于运算“”的等幂元。,6.2.2特殊元素,定义6.11对于集合A上的二元运算“”，如果A中元素el使得xA，elx=x，则称el是关于运算“”的左幺元(leftidentityelement)或左单位元(leftunitelement)；如果A中元素er使得xA，xer=x，则称er是关于运算“”的右幺元(rightidentityelement)或右单位元(rightunitelement)；如果A中元素e既是关于运算“”的左幺元，又是关于运算“”的右幺元，即元素e使得xA，ex=xe=x，则称e是关于运算“”的幺元(identityelement)或单位元(unitelement)。代数系统中，0是关于运算“”的左幺元、右幺元、幺元，1是关于运算“”的左幺元、右幺元、幺元。,6.2.2特殊元素,例6.27在自然数集中定义运算“”：xy=x+y+xy，求关于运算“”的幺元。解：设e为关于运算“”的左幺元。由于ex=e+x+ex，令e+x+ex=x，即e+ex=0。所以，e=0是关于运算“”的左幺元。设e为关于运算“”的右幺元。由于xe=x+e+xe，令x+e+xe=x，即e+ex=0。所以，e=0是关于运算“”的右幺元，也是关于运算“”的幺元。,例6.28如果集合A上存在关于运算“”的幺元，则幺元唯一。试证明。证明设e为A上关于运算“”的幺元，e为A上关于运算“”的另一幺元，那么，根据幺元的定义，有ee=ee=eee=ee=e即e=e，所以，幺元唯一。证毕。,6.2.2特殊元素,定义6.12对于集合A上的二元运算“”，如果A中元素l使得xA，lx=l，则称l是关于运算“”的左零元(leftzeroelement)；如果A中元素r使得xA，xr=r，则称r是关于运算“”的右零元(rightzeroelement)；如果A中元素既是关于运算“”的左零元，又是关于运算“”的右零元，即元素使得xA，x=x=，则称是关于运算“”的零元(zeroelement)。例6.30如果集合A上存在关于运算“”的零元，则零元唯一。（证略）,6.2.2特殊元素,例6.31如果集合A中至少有两个元素且存在零元和幺元，那么，零元和幺元不相同。证明设A=x,e，“”是A上的一个二元运算，e和分别为关于运算“”的幺元和零元，假设e=。那么，根据幺元和零元的定义，必有ex=xx=从而x=ex=x=e即集合A仅含有一个元素。矛盾，所以e。证毕。,6.2.2特殊元素,定义6.13对于集合A上的二元运算“”以及关于运算“”的幺元e，如果A中元素x和y满足xy=e，则称x是y关于运算“”的左逆元(leftinverseelement)，y是x关于运算“”的右逆元(rightinverseelement)；如果y既是x关于运算“”的左逆元，又是x关于运算“”的右逆元，即yx=xy=e，则称y是x关于运算“”的逆元(inverseelement)。元素x的逆元记为x-1。代数系统中0为关于运算“”的幺元，且x+(-x)=0，所以，任意元素x的逆元为-x；代数系统中1为关于运算“”的幺元，且x0时，x(1/x)=1，所以，除0外其他任一元素x的逆元为1/x。,6.2.2特殊元素,例6.33如果集合A上的运算“”是可结合的，xA存在关于运算“”的逆元，则其逆元唯一，且(x-1)-1=x。试证明。证明设元素y和y是元素xA关于运算“”的逆元，元素e是关于运算“”的幺元，那么，根据逆元、幺元的定义以及可结合性质，有如下推导：y=ye=y(xy)=(yx)y=ey=y所以，逆元唯一。同时，有(x-1)-1=(x-1)-1e=(x-1)-1(x-1x)=(x-1)-1x-1)x=ex=x证毕。例6.34设集合A上关于运算“”的幺元是e和零元是，如果A中至少有两个元素，则不存在零元关于运算“”的逆元。（证略）,6.2.2特殊元素,定义6.14对于集合A上的二元运算“”，如果A中元素a使得x,yA，ax=ay必有x=y，则称a是关于运算“”的左可消去元(leftcancellativeelement)，或者称a关于运算“”是左可消去的(leftcancellative)；如果A中元素a使得x,yA，xa=ya必有x=y，则称a是关于运算“”的右可消去元(rightcancellativeelement)，或者称a关于运算“”是右可消去的(rightcancellative)；如果A中元素a既是关于运算“”的左可消去元，又是关于运算“”的右可消去元，则称a是关于运算“”的可消去元(cancellativeelement)或者称a关于运算“”是可消去的(cancellative)。代数系统中，任意元素x是关于运算“”的左可消去元、右可消去元、可消去元；代数系统中，任意元素x0关于运算“”的左可消去元、右可消去元、可消去元。,6.2.2特殊元素,例6.36代数系统上的运算“”定义为：xy=x+y+xy。给出关于运算“”的等幂元、零元、幺元、各元素的逆元、可消去元。解对于x,y,zR，进行如下求解：（1）等幂元:令xx=x+x+x2=x，即x+x2=0，所以，关于运算“”的等幂元为0，-1。（2）幺元:令xe=x+e+xe=x，即e+xe=0，所以，关于运算“”的右幺元为0；令ex=e+x+ex=x，即e+ex=0，所以，关于运算“”的左幺元为0；所以，元素0是关于运算“”的幺元。,6.2.2特殊元素,（3）零元：令x=x+x=，即x+x=0，所以，关于运算“”的右零元为-1；令x=+x+x=，即x+x=0，所以，关于运算“”的左零元为-1；所以，元素-1是关于运算“”的零元。（4）逆元：令xy=x+y+xy=0，即x=-y/(y+1)，y=-x/(x+1)，所以，除-1外其他任意实数x的关于运算“”的右逆元为-x/(x+1)；除-1外其他任意实数y的关于运算“”的左逆元为-y/(y+1)；并且，除-1外其他任意实数x的关于运算“”的逆元为-x/(x+1)。（5）可消去元：令xy=xz，即x+y+xy=x+z+xz，显然，x-1时，y=z;令yx=zx，即y+x+yx=z+x+zx，显然，x-1时，y=z;所以，任意非-1的实数x都是关于“”的左可消去元、右可消去元、可消去元。,6.3相关联系的代数系统,两个看起来似乎不同的代数系统，往往具有共同的性质，或进一步还会有相同的结构，仅仅是元素的名称和标记运算用的符号不同而已。在这种情况下，对其中一个代数系统所得出的结论，在改变符号后，对另一个代数系统也有效。,6.3.1同构代数系统,对于代数系统,其中A=a,b,c，运算“”的定义如下表所示。实际上，当我们对代数系统进行抽象讨论时，集合A，集合中的元素a,b,c以及运算“”等都是我们给出的名称而已，它们也可以取别的名称。如果把A改为B，元素改称为x,y,z，把运算改为“”,易见，代数系统和具有相同的特征和结构，在本质上是一致的，只不过用了不同的名称而已，称这样的两个代数系统是同构的。,由以上分析可知，两个代数系统和是同构的，必须满足：集合A和B之间能建立一一对应关系，并且这种一一对应关系能保持在运算中。由于双射函数建立了集合间的一一对应关系，所以将用双射函数来描述代数系统之间的同构。,6.3.1同构代数系统,设f是A到B的双射函数，且有f(a)=x,f(b)=y,f(c)=z为了使运算“”也保持这种一一对应关系，还需要有abxybcyzacxz也即f(ab)=xyf(bc)=yzf(ac)=xz或写成f(ab)=f(a)f(b)f(bc)=f(b)f(c)f(ac)=f(a)f(c)由以上分析可得以下定义。,6.3.1同构代数系统,定义6.15对于代数系统和，如果存在S到T的双射函数f:ST，使得对S中任何元素a和b满足f(ab)=f(a)f(b)，则称函数f是代数系统到的同构映射(isomorphicmapping)，代数系统是代数系统的同构代数系统(isomorphicalgebraicsystem)，或称代数系统同构于代数系统，代数系统与代数系统同构(isomorphism)。例6.37对于代数系统，其中A=a,b,c,d,e，运算“”的运算表如下表1。证明代数系统和代数系统同构。,6.3.1同构代数系统,表1,表2,证明：列出的运算表见表2。比较表1和表2可知，若令f是A到N5的双射函数，且有f(a)=0,f(b)=1,f(c)=2,f(d)=3,f(e)=4.,则对于A中任意元素x和y，都有f(xy)=f(x)f(y),所以f为到的同构映射，和同构。,6.3.1同构代数系统,例6.38设Z+为正整数集合，A=x|x=2n,nZ+，即A=2,22,23,2n,，对于普通加法和乘法运算，证明和同构，并写出同构映射。证明令A到Z+的双射函数f：f(2k)=k,kZ+。对于A中的任意元素2i和2j，有f(2i2j)=f(2i+j)=i+j=f(2i)+f(2j)由此，f为A到Z+的同构映射，和同构。,6.3.1同构代数系统,定义6.16对于代数系统，如果存在到的同构函数f，则称函数f是代数系统的自同构映射(self-isomorphicmapping)，称代数系统是代数系统的自同构代数系统(self-isomorphicalgebraicsystem)，或称代数系统自同构(self-isomorphism)。,6.3.1同构代数系统,解：定义N4上的双射函数f：f(0)=0,f(1)=3,f(2)=2,f(3)=1。实际上，代数系统中每个元素都有逆元，其中，0-1=0，1-1=3，2-1=2，3-1=1，所以，双射函数f是：f(k)=k-1,kN4。,由于运算“”是可结合的和可交换的，且0为关于运算“”的幺元，所以，对于x,yN4，有如下推导：,例6.40给出代数系统的一个自同构映射。,从而，的逆元为，即,于是,所以，f为代数系统的自同构映射，代数系统是自同构的。,6.3.1同构代数系统,定理6.1代数系统的同构关系是等价关系。证明：（1）自反性；（2）对称性；（3）传递性。证略。,由定理6.1知，如果代数系统是代数系统的同构代数系统，那么，代数系统也必然是代数系统的同构代数系统。两个代数系统同构的实际意义是明确的：两个代数系统具有完全相同的结构和性质，或者说它们“在本质上是一致的”，只是用了不同的符号而已，两个同构的代数系统可看作是同一个代数系统。,6.3.2同态代数系统,两个不同的代数系统，不一定有完全相同的性质，但可能存在一些共同的性质，这类相互联系的代数系统用同态的概念来刻画。,6.3.2同态代数系统,定义6.17对于代数系统和，如果存在S到T的函数f:ST，使得对S中任何元素a和b满足f(ab)=f(a)f(b)，则称函数f是代数系统到的同态映射(homomorphicmapping)，称代数系统是代数系统的同态代数系统(homomorphicalgebraicsystem)，f(S)是同态像(homomorphicmap)，或称代数系统同态于代数系统，代数系统与代数系统同态(homomorphism)。如果同态映射f为单射函数，则称f为单一同态映射(monomorphicmapping)；如果同态映射f为满射函数，则称f为满同态映射(surjectivehomomorphicmapping)；如果同态映射f为双射函数，则称f为同构映射。,6.3.2同态代数系统,例6.41证明代数系统同态于代数系统，其中R+为正实数。证明,6.3.2同态代数系统,例6.42对于代数系统和代数系统，证明函数f:f(k)=2k(kN3)是到的同态映射，且f是单一同态映射，但不是满同态映射。,证明,6.3.2同态代数系统,定义6.18对于代数系统，如果存在到的同态映射f，则称函数f是代数系统的自同态映射(self-homomorphicmapping)，称代数系统是代数系统的自同态代数系统(self-homomorphicalgebraicsystem)，或称代数系统自同态(self-homomorphism)。,6.3.2同态代数系统,例6.44构造代数系统的一个自同态映射。,解,6.3.2同态代数系统,定理6.2如果f为代数系统到的一个同态映射，那么，如果运算“”是可交换的、可结合的，则运算“”在f(S)T中是可交换的、可结合的；如果代数系统中存在关于运算“”的单位元e和零元，则f(e)和f()分别是中关于运算“”的单位