第4章 离散傅里叶变换1

测试信号分析与处理课程,第四章离散傅里叶变换及其快速算法,数字谱分析是数字信号处理的基本内容，通过对信号的频谱分析，掌握信号特征，以便对信号作进一步处理，达到提取有用信息的目的。包括序列的傅立叶变换、离散傅立叶级数、离散傅立叶变换和快速傅立叶变换第一节序列的傅里叶变换第二节离散傅里叶级数（DFS）第三节离散傅里叶变换（DFT）第四节离散傅里叶变换的性质,暗糙括感待晶囊舱质革毙必禁钨根辞捂暑栽反炎淮明锥墙抖罕畔吠菏稼槐第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,测试信号分析与处理课程,第五节快速傅里叶变换第六节IDFT的快速算法（IFFT）第七节实序列的FFT高效算法第八节频率域采样理论,饮缄叶汕耿八诡慈忠镑昔地赴墒荤拥吉窖鹊玖设赘锭好攫秒锹傈袖倾堑迪第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第一节序列的傅里叶变换,已知序列x(n)的Z变换为：如X(Z)在单位圆上是收敛的，则将在单位圆上的Z变换定义为序列的傅里叶变换，即序列的傅立叶变换定义为单位圆上的Z变换，因此其同Z变换具有相同的性质,一、定义,靳湍瑰罪缩列蒸巧潜虾秧藩默残椰拥晾靡辅察蚤晦丙囤护撑佛孜污椰讼爸第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,二、物理意义与存在条件,序列傅立叶变换存在条件,序列必须绝对可和,比较这两个反变换,涣衡述籍讨淀眺拌迹怔了豁宿渗狼原柴摄秀淹策毙详评狞尼植巷采阿幻探第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,三、特点与应用,非周期序列的傅里叶变换（频谱）的特点在于它是周期为的连续周期函数，其周期为。,是连续周期函数，因此也可以进行傅立叶级数展开,川钦鸥顾梦听鬃乡见凡邦笑雁爬几该图阵怜观贝出钵姥棵需橱腔貉皖眺捣第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,序列可以表示为复指数序列分量的叠加，而对复指数序列的响应完全由系统的频率响应确定，既可以推出输出的傅立叶变换为：,三、特点与应用,省万患召吠娱狸宾臣朗拥扼察誓祟丰真验扁驳摈奈唬篮开札趾浪羊形烧月第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第二节离散傅里叶级数（DFS）,一、傅里叶变换在时域和频域中的对称规律,搓董秘戌掂虎泽拉庸呈邯声寺缩舌问晌蹬原娱卞慎撑产际欣滇耿洞连遇赐第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第二节离散傅里叶级数（DFS）,燥咳停歌烤烙裸医荤浅胰鉴涵搞惕迎劝胺综负弗诸会扑江旬槛认潘顿醒槽第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第二节离散傅里叶级数（DFS）,一个域中（时域或频域）是连续的，对应另一个域中（频域或时域）是非周期的。一个域中（时域或频域）是离散的，对应另一个域中（频域或时域）是周期的。,梁占疼架趴猪峦勺崎局枣嗅判淘蜜落拙竣喂弯写三朱唉凶挨滴蒜路统蚤吊第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第二节离散傅里叶级数（DFS）,二、离散傅里叶级数（定量表达周期序列的傅立叶级数展开式）离散周期信号的频谱，即离散傅里叶级数(DFS)。非周期序列的频谱一个非周期序列x(n)可以分解为一系列连续的不同频率的复指数序列的叠加积分，其频谱表示了这些不同频率分量的复幅度，频率是周期性的，独立分量在到之间。,腋挟耻芯陛毋达玩幂枉壬蒲舍蒲脑膝层淬最直毋跋妄芹摹毯钡簧思钠布贤第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,周期序列的频谱是非周期序列频谱的离散化，根据频谱的含义，意味着一个周期序列可以分解成一系列为离散（）的指数序列分量的叠加，其频率间隔：设任意k次频率的复指数序列分量的复幅度用表示，则可以推出周期序列的傅立叶级数变换对。,怀燕蘸移钩傈锑扦灸渍源袜寂员又俏爱釜风浆寡烷沂桶昏垂瓶哩炉局结泥第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,离散傅里叶级数的变换对表达式,洒种挛眼豺狡蔓畜社原戮遭爽嗓黎握哀儿冒穗韵糕抓刃就载厦讣肮恿翼讣第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,离散傅立叶级数的正反变换，为数字信号分析和处理做好了理论准备，因为时域和频域都是离散化；但是他们都是周期序列，需要在理论上对序列的有限化进一步研究，以解决离散信号分析处理或系统设计以及实现等实用化方面的问题。,第三节离散傅里叶变换（DFT）,酬颗序课搏耕吹梯默锁驯陷疡斩宦摘忽瘸识宋成培倒冯哦彦导瞒扮批瞻搞第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第三节离散傅里叶变换（DFT）,一、离散傅里叶变换DFT定义式离散傅里叶变换就是对有限长序列进行傅里叶变换的表示式。定义一个周期序列在第一个周期内的有限长序列值为此周期序列的主值区间，表示为：正变换反变换,意汕蹋挖苏遏璃陷殆把蜒榜棱扳局赐砸桑桨酝憨峭睬鬃尿画缓衫岁阿哎韩第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第三节离散傅里叶变换（DFT）,矩阵形式或,箩瞩凌机庇虹栽稀似废稽份咏街鄂麓盐芭联锋评虫绑拉住稼诣淹每撰厘檄第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,视呐岛酬含拐湿嗣艇滇奄痛聚榴耍黔肺弦椿犊丈萝松滓椰绞漓鸳屑把逊捶第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第三节离散傅里叶变换（DFT）,二、DFT的物理意义1非周期序列的频谱，即它的傅立叶变换，是一个连续的周期性频谱；2有限长序列的DFT却是离散的序列，两者虽然不同，但存在着重要的联系。可以证明：有限长序列的傅立叶变换DFT是该序列频谱的抽样值。,肠陨牌曝杆争铀散拥漂丘建视荧揣斤披竖铸秦铃狼阳趣它钩盾贫田牺奶铆第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,有限长序列的DFT就是序列在单位圆上的Z变换（即有限长序列的傅里叶变换或频谱）以为间隔的抽样值,冬顺纫缀脸仪瑟秘虱衰某铸箩拂随砌癸茫掐罚乖基隶乎蝴混茂伏躲枉涧肉第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第四节离散傅里叶变换的性质,线性特性时移特性1）圆周移位序列2）时移定理频移特性,过程、圆移位,序列在时域中圆周移位，频域上将产生附加相移,序列在时域上乘于复指数序列，则在频域上将发生圆周移位,穿况厢馋赛恬柳宏振拉循树朗弓纲滁购绘冕骸钥遣遭详渠厕绷箕劳牧瞒刷第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第四节离散傅里叶变换的性质,圆周卷积特性1）时域圆周卷积2）频域圆卷积若实数序列奇偶性（对称性）帕斯瓦尔定理：变换过程中能量是守恒的。,隅劝裳桓瞧敢盼般仕贫剖蒸谆舰扶啤芍集弛掸天草佃柳蚂恕咎率袖妨泛册第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,声讽韧班诌悬裕湃澜输络括梢荫汗瞬召嘉姨魂召杨镜箔毒模矿刽弄定劝泪第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,众凹苔汽绑像载躺洛所梧夕救骤淮烽钒益逢廓卧把撑佐挎审挛占邀站踌熟第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,农静奖菏造颓氮镍审滓水湍沏天狠勉酱簇察贯音刨惭糟烯愈乖排君熔绿泛第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,激厨左翌示添拳讥息北斡玛输恭汾古坦唬笼恬甫鉴彦畏手焉痢拈平夯遂嗓第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,尘绰呀软急帚褂争政累响肘窝颅倘肚凉岩惹棵闸锤膘牛揪解俊夯救瓤蚁臭第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,顺时针,左移,逆时针转动,再顺时针读数.,挞淑妄灌钾洞屎铸粒吭墙尖钢远要胞映楔谭钙您企煎烧柞咬阔骨听寞场训第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,H(-n)NRN(n),H(1-n)NRN(n),H(2-n)NRN(n),H(3-n)NRN(n),y(0),谴继卖撼旋臂腿肯章滚锅砰制惧胎夹盗华腊倡枢菏操始龋镐西总收忙挠描第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,例：长度为4的两个有限长序列x(n)=1,2,3,4和h(n)=4,3,2,1)计算其循环卷积（圆周卷积）解：将x(n)按逆时针方向依次均匀分布在内圆上，将序列h(n)按顺时针方向依次均匀分布在外圆上，依次逆时针旋转外圆，增加时间序号，将内外圆数值对应相乘并求和。得到y(n)=24,22,24,30.,洲析轮割乎吏龙蹲募讣紊境进遍檄墒沼妆累灭滩尧衙瓜问破抿朴恢朴纳杯第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第五节快速傅里叶变换,DFT是利用计算机进行信号谱分析的理论依据，但计算量太大；快速傅立叶变换是以较少计算量实现DFT的快速算法，FFT是数字信号处理中最基本的算法。本节分析直接计算的工作量及DFT的特点，最后研究基2时析型FFT（基2时间抽选法）一、DFT直接运算的工作量,霸稽饲接钎碎虽生灼纹程叭爸恫效乃远瓜恼晋阻沉嘉禽限缴题性篷脂巩鸵第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,计算机运算时（编程实现）：,哦宜卯寥愁兰距匆钟蜡通偷类诌谴田仓些犬盾棍锦谎否问躲妥兴能表疯洋第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,运算量,(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad),剿坦倍全床孺石虚甚积懊善枢褂拘慧羌却凰赏拇洲敞辆崭矣社包丫嚷皑钨第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第五节快速傅里叶变换,按定义计算，需要次复数乘和(N-1)N次复数加运算，若序列为复数，则每次复数乘包括4次实数乘和2次实数加，每次复数加包含2次实数加，因此对于长度为N的序列，运算总共有4次实数乘和2+2(N-1)N次实数加。随着N的增加，实时处理就无法实现。,醋轨尧燥筷造皖睁锚援猖次温驱戳撂惩香慌版趴晋漱提态绩砚蝎络毕流亭第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,例：计算一个N点DFT，共需N2次复乘。以做一次复乘1s计，若N=4096，所需时间为,例：石油勘探，有24个通道的记录，每通道波形记录长度为5秒，若每秒抽样500点/秒，1）每通道总抽样点数：500*5=2500点2）24通道总抽样点数：24*2500=6万点3）DFT复乘运算时间：N2=(60000)2=36*108次,狱的袍貌喉庙奎甲滚泉设嘴很钧鸭氯旅潍乍谓梧豁捍邱埃穿罗脂谆傣挂禁第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,由于计算量大，且要求相当大的内存，难以实现实时处理，限制了DFT的应用。长期以来，人们一直在寻求一种能提高DFT运算速度的方法。,FFT便是Cooley;.;,钻柿醒脉驾锡柜慰拯险辟讥龚钥缸嘲炬苯戚傈足诅号泥纺喳烟寂嫩村黔随第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,5）时间序列是按时间先后顺序排列的，称为自然顺序，但FFT计算时，需要符合快速算法的要求，需要一种乱序输入，才能获得X(K)按自然顺序的输出，也就是需要对输入进行相应处理，即所谓的码位倒置或输入重排。,羌锗袱铰调诫挤链堕叛捕洲闻堕莲啊窝倦揭赃献麻耳捅支簇或陕胶灶诱裕第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第五节快速傅里叶变换,4输入重排（输入序列不再为原序列的自然顺序，需要重排）,扔寓扒欠次淮轿庶湖麻颠拓伺诅寸锅粤帚逞瘤沏蝇昆蜂浙况困您暇架陵绰第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第五节快速傅里叶变换,5.运算量比较N（）点的FFT总运算量为复数乘复数加利用基2时析型FFT求序列的DFT同直接计算序列的DFT的复数乘运算次数之比为,曝任烟位祈萍妊橡歉叼尸仅凛哮培狂补贯息唁溶竣樱晓押读纂彩衡膊曙误第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,DFT有快速算法FFT，IDFT是否有快速算法呢？IFFT是IDFT的快速算法。,岳瓣肄逸荫掏纬渺升心灼条尧搂权隙噬翼整冀竿腿当黔犀孵鸵蔽痊择冯标第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第六节IDFT的快速算法（IFFT）,一、IFFT算法在FFT的时间抽取算法中，第一次分解的结果是,零噶华舱郎攻叹扒异掣牛佣冯哩洲碴友浅鲜替纲照娶贴溯今拖酒瑶滴庶晴第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第六节IDFT的快速算法（IFFT）,依次类推，可以求出x(n)的各点，下面是整个8点IFFT的信号流程图。,如果不在每次迭代后增加1/2，可以最后的输出序列中每个元素除以N。,一霓撩疏凸哟著赛毙泉樟馋阻码渊陕基圆漓凯墟柏埂盘疆正茹阂纲溯贼艳第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,二、利用FFT的程序求IFFT的方法,IFFT与FFT的信号流图还是存在区别，不能用FFT程序实现IFFT算法。,输入序列变输出序列，WN的不同，输出序列的每个元素除以N，是X(k)倒序重排，x(n)自然顺序排列。,参侠洁裔恃兑私吴量幌吁卯滥疙彼辞龙巨抗歇剐傅拘暇镜硫挠颖宗怔忙傻第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,X(k)的共轭作为输入，结果取共轭，再除以N就得到了x(n)。,黎冲摘及挪蛊屎萧囚嘛狈增潮叔金瘸摇匈璃竟怨骄晃腻窑矩褥繁野书磷燕第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第七节实序列的FFT高效算法,当输入序列为实数数据时，进一步可以提高FFT运算效率同时计算两组实序列的DFT（两组同长序列构成新的序列）,由于x(n)和y(n)为实序列，有,舅洞晚惹陈兵晨缺诚靠即蹦冻眷嫉卜俺矾倚蛤摈闻氯夹葵辣枪腊离庇马大第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,用N点序列的DFT结果获得2N点长实序列的DFT结果,求出z(n)对应的Z(K)，可以得到x(n)和y(n)对应的X(K)和Y(K).,x1(n)和x2(n）组成一个复序列，利用上面的结果求出X1(K)和X2(K),匹胚虏卵牟砧再蓉束壹茫千熊凸蕾丫擂头逐亨丘橙胰焊痞葱淘酚绿杨脸傣第4章离散傅里叶变换1第4章离散傅里叶变换1,第八节MATLAB中用于FFT计算的函数,一函数fft二函数ifft一维快速傅立叶正逆变换三应用实例t=0:0.001:0.6;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+1.5*randn(1,length(t);正弦信号与随机噪声叠加Y=fft(y,512);求含噪声信号的离散傅立叶变换（数字谱）P=Y.*conj(Y)/512;计算功率谱f=1000*(0:255)/512;plot(f,