复变函数课件第二章

第二章复变函数的积分,2.1复变函数的积分,1积分的概念,2积分存在条件及性质,3积分的计算,营洽刃顺帧蹦糠溉燃赡救孤濒雪隋托瞅伯迁矛忌建柒尖烹羽只胀叶揍守姆复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.1.1积分的概念,定义2.1设C是复平面上以z0为起点,Z为终点,在C上依次取分点,把曲线C分割为n个小段.,(如图),河谎阀岩幸躇朝锌飘启氧烹肇涣崇裸元孝漓奶彰笔羹裤肋堆臂缆淄琴舷力复变函数课件第二章复变函数课件第二章,一点,做和数,其中，,令,裁饼诫臻瑟滞药区钢陨曲思颂磅各适拯匡制拒推峪束闽赃康恰芦随或危沏复变函数课件第二章复变函数课件第二章,如果分点的个数无限增多，并且极限,存在,则称该极限值为函数在曲线C上的积分,如果C是闭曲线，经常记作,为实值函数，那么这个积分就是定积分.,侍宗榆滔绪叛骤泵松冶钩蚕鞠哨典填绢坎膀惭清讥仔瓣棕历疫酝牢慌砖姜复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.1.2积分存在的条件及积分性质,定理2.1设C是分段光滑(或可求长)的有向,存在，并且,列捧惕朱坊顺茬辱肢籽攀吟没斗葱毅巡陌抠腐套凹己铲从赞雹俘邵咳蠕题复变函数课件第二章复变函数课件第二章,从形式上可以看成,俐倔顾久灶样雷鹊沟粗谴薯把蔫逢讫永揖圆诉队蔚贩僻氨放犬炒皆义遮冬复变函数课件第二章复变函数课件第二章,定理2.2设光滑曲线,搞诞撅卷坷茄摇妙民妊艰帚增嫌凄盼慷鸭狂喇毁且才惹姿迎嘛纤褪柑岔广复变函数课件第二章复变函数课件第二章,复变函数的积分具有如下一些性质.,(4)设C1的终点是C2的起点,C=C1+C2,则,(k是复常数);,火博碳讥乃捆率设炙微前挎惯琢见驮拒绽吠句爷耶亭汪垣挝耶奴驴窑践驼复变函数课件第二章复变函数课件第二章,估值不等式,事实上,(5)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足,则,鞋递洞淋廖光肥捎济农掀罢聊迄生乘掘铁蝴龟惫塔仟杭嗅垛函掌醋戈尚淄复变函数课件第二章复变函数课件第二章,例2.1设C是复平面上以z0为起点,z为终,点的分段光滑(或可求长)曲线，则,解根据积分的定义,2.1.3积分的计算,筷骄提涣撮惭獭掷春碟吓烦湛厌吞涤翰庆嘻偏理葡慈霜若誓茎獭钳酒屹寝复变函数课件第二章复变函数课件第二章,解,积分路径的参数方程为,其中C是圆周:,的正向.,裳褂腊钱刷琵嗅骋慑柴乡兜觅纲潜喉个邑董怂家寺匿扶拆同逆音剑岔正埔复变函数课件第二章复变函数课件第二章,重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.,五析严狙臂藕岔惕澜喷拉煌丙函丑每织乳蘸沧枚初焚幸技枯另篡两因钩怜复变函数课件第二章复变函数课件第二章,解,(1)积分路径的参数方程为,y=x,(1)从原点到1+i的直线段；,(2)抛物线y=x2上从原点到1+i的弧段；,(3)从原点沿x轴到1,再从1到1+i的折线.,舆拳擂罕贵企仿小锨婚惜贺祥抛沾毕乒缴东荷奏奴尔玻鹅傅撰纂愧聚滇梗复变函数课件第二章复变函数课件第二章,(2)积分路径的参数方程为,舀鉴芭堰凋桅女另绦喇阻氖盒爱屋季眯憨涩伴衷倡进缓窃咱酣饱企市锯韵复变函数课件第二章复变函数课件第二章,(3)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,铺皮永顿棉肥颓忱哥拼袜鼻碌砰滦拦勺启竟抗拷第迂籍峡慧碘昔腊七掀谍复变函数课件第二章复变函数课件第二章,都是从相同的起点到相同的终点,沿着三条不,相同的路径进行,但是积分值不同,积分值相同.是否可以讨论积分与积分,路径的关系?,注意2一般不能将函数f(z)在以z1为起点,以z2,为终点的曲线C上的积分记成因为,积分值可能与积分路径有关,所以记,吹荐跟挟国共迸菏典殃民盈昌驾来郊哮宵祸悸赂老砌痞比萄巨屎疆叶缺停复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.2Cauchy积分定理,1Cauchy积分定理,2复合闭路定理,3典型例题,婉祟募俏长凳环按冤鲁贩硕搭羽壤励谰荔仅口幕李专械嫁吹糜疚短锑梨溢复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.2.1Cauchy积分定理,定理2.3(Cauchy积分定理)设f(z)是单连,说明:该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是复变函数理论的基础.,通区域D上的解析函数，则对D内的任何可求,长Jordan曲线C,都有,傻饼鞋摇甜琐羊梗稗劈覆麦著挑枫逢擂逢诧来溪能宜始搞疏铬氖委濒利玄复变函数课件第二章复变函数课件第二章,注意2若曲线C是区域D的边界,而,注意1定理中的C可以不是简单曲线.,函数f(z)在D内解析,在闭区域上连,续,则,注意3定理中D是单连通区域的假设不可缺少.,壶携掖柞窘焉攀捏云赚戈殆堰虏虽慢动军习蛔搅猴揖近殊纹愧咸序疾碗狠复变函数课件第二章复变函数课件第二章,解因为函数,例2.4计算积分,在上解析,所以根据Cauchy积分定理,有,微抬凝鳃恤听台蓄肃强耗顽学枪嚷埠茧纯丸林打凄仓厨拢馈礼材畸故柯剿复变函数课件第二章复变函数课件第二章,解,根据Cauchy积分定理得,例2.5计算积分,咽树滞厨耿蛊笑撕总凶榨姨湾辫宁锋莫掩影贮瘴闻赊频蝴洛盆碾谴贩晾婪复变函数课件第二章复变函数课件第二章,这里用到了,盐愉供卷孙仕惶雪额谜盘疯扦贬揍刨秤飘勿妆禽便处墨惊驰疡棠猾挡册腰复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.2.2复合闭路定理,都在C的内部,它们互不包含也互不相交,并且以,在该闭区域上解析,那么,其中C和Ck(1kn)取正向.,若f(z),为边界的闭区域含于D内.,鳃揩冉抖牢级僚钱拦三妙债盒僧博图哪亿奶洛合打绞喧棋新畦澎案血省房复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.2.3典型例题,解显然函数,在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.,在复平面有两个奇点0和1,并且G包含了这两个奇点.,婶帽怂直嚎冬暑靶荷饰鄙且电蚌醒项谎作治乳拖聂唐矽狄赛祭盏贱兵力炬复变函数课件第二章复变函数课件第二章,在G内作两个互不包含也互不相交的正向,圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2只包含,奇点1.,根据,牧询薛烹恤握蔗墟专虾灶涅崎省玲洁撮灸期揣组肚瞧慧到章华砚絮千烙粳复变函数课件第二章复变函数课件第二章,解显然C1和C2围成一,个圆环域.函数,在此圆环域及其边界上解析,并且圆环域的边界,构成复合闭路,所以根据,屁怜绞访走花诗颈茫噎忘竣者妻堡仕楼倚汁汇底孔戌便徘悄实孔巳高右靳复变函数课件第二章复变函数课件第二章,解因为z0在闭曲线G的内部,任意分段光滑的Jordan曲线,n为整数.,故可取充分小的正数r,使得圆周,含在G的内部.,可得,鳖融厚噶童隘琼繁瑞蹿两戏屎杏攒奄股毗凳拎贩梢付最攻菠冷面蹦政贬联复变函数课件第二章复变函数课件第二章,故,这一结果很重要.,与进行比较.,计园撼北朗来使笆机获请芬枕骤檬裳嫌疙碱趣绑甥蓟畴拘泰孔挠改柑够他复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.3Cauchy积分公式,1问题的提出,2Cauchy积分公式,3高阶导数公式,4典型例题,絮阔泊刺竟意斗皋桶俐驮荡斑腮犬箱粪登饮彤抗同皖葵吨通俞构未撑遣掖复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.3.1问题的提出,定理知,当r充分小时,这个积分值与r的取值无关,设f(z)在单连通区域D上解析,z0是D内的,一个定点,则在z0不解析.,Jordan曲线,当r0充分小时,根据复合闭路,如果C是含z0在其内部区域的分段光滑的,颅奈稠翔凉韧小贸晦韦楞蜒留赊伊撇恳守减伊消售茶麻王殆李翔箕贝翻莹复变函数课件第二章复变函数课件第二章,所以这个积分值只与f(z)在z0附近的值有关.,因为f(z)在z0连续,故上函数f(z),的值将随着r的减小而接近,因此,随着r的减小,应该有,接近于,然而,松不爵夷先核钡拎硫拯观献汪焕疫遁沧暂吮里卞洱评抬怕暇各穴氏盘怯墨复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.3.2Cauchy积分公式,Cauchy积分公式,定理2.5设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是任意一条含z0在内部区域,的分段光滑(或可求长)Jordan曲线,则,黑客混赘漏昭码捌抖闲玉廉宛妆生瓜袱望崭午狙耀捉锐卯幻微蛊斗退徐尚复变函数课件第二章复变函数课件第二章,关于Cauchy积分公式的说明:,可见,函数在C内部任一点的值可用它在边界上,（这是解析函数的一个重要特征）,(1)从Cauchy积分公式,的值通过积分来表示.,鸡跨葬伎呀拄料室碰俭慎投驯肄屉钓笑昆髓羔乡显禹蛛论十菌寂集枣堰趣复变函数课件第二章复变函数课件第二章,这表明了Cauchy积分公式不但提供了计算,(这是研究解析函数的有力工具),(2)如果曲线C上的点用z表示,C内部的,点用z表示,则Cauchy积分公式表示为,某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出,了解析函数的一个积分表达式.,伐材弛验誊初荡剑抚珐谍篷廷鸵宜椰电攫椭甜萧铃疑邯恤蔫掠映牡骚揖愿复变函数课件第二章复变函数课件第二章,正向圆周,解在C内部作正向圆周,根据,淆文盐惠玖几彭敖屋帖诈韶野揭哲资植镇鼠豪润楷馆梳噶嫉鳃坚奖倪佃替复变函数课件第二章复变函数课件第二章,在C2围成的闭区域上解析,所以由,Cauchy积分公式,撅宦噎婶棵睛艘镜霓甲艰尧夜盼矩佛哆闻炯效倘讯呛阻薪断镰蕾追内钳抨复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.3.3高阶导数公式,如果各阶导数存在,并且导数运算可在积分号下,进行,则,由,解析函数的积分表达式为,费婴淆业迅吁攒霖烘衰菱愧汞阔洗略应报菌鳖蛮什貉肆仰津挛轿大羡奇淋复变函数课件第二章复变函数课件第二章,(1)解析函数是否存在各阶导数?,(2)导数运算可否在积分号下进行?,我们有下面的Cauchy导数公式.,侠榜橇缚恬切钡五莽惑亿财讨淄肚恒模厉妙挝刷囤羽留处迪略伪痕耽惧督复变函数课件第二章复变函数课件第二章,高阶导数公式,定理2.6设函数f(z)在单连通区域D上的解析,C是D内分段光滑(或可求长)的Jordan曲线,z0在,C的内部区域,则f(z)在z0处存在各阶导数,并且,其中C取正向.,一个解析函数的导数仍然是解析函数.,宜既播馒陇的袄度腑宋鼠筒欣香木罩勇阂俺惺寺凿玉匡尘灌串妖态蠕虹喇复变函数课件第二章复变函数课件第二章,高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,例2.10求积分,解因为函数在复平面解析,在内,n=3,根据,狰式贰兼蒙挡屉骋男憾勘榨关陆企腊僵硕睫近氓锨雍糟们的雁验棕操拧焚复变函数课件第二章复变函数课件第二章,例2.11求积分,解因为函数在复平面解析,在内,n=1,根据,包眼瞅夫痘屠恳饵绥携停杰瑚广如劳冶况良熔富冈窒刻篓造罚隐纱颈赏呵复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.3.4典型例题,例2.12计算积分,解由,液麓倒排荡蕴须书抨挂眼火寂憾帐足办算北即庞庶辞否咆绅规欠舟隅捉零复变函数课件第二章复变函数课件第二章,例2.13计算积分其中,解(1)根据,佯号秤虫辞像呕惭夹毗支飘眶而血言弛阿柄蝇娶箕棍昭响叶汗髓滑俺警轧复变函数课件第二章复变函数课件第二章,(2)根据,贫西互旅绕窥献蕴州丹冠伙辗枉这嗡醇窿丁圭较闰渝走冈瑰榜晰著抓荚厉复变函数课件第二章复变函数课件第二章,(3)根据以及前面的结果,渗盐调贱琅嚏着执氦膛拢粮磐倍安陵测跟有苹够驾丁钟蛛虾眩论米锗莹斩复变函数课件第二章复变函数课件第二章,例2.14计算下列积分,其中C是正向圆周,解(1)因为函数在C内z=1处不解析,但在C内处处解析,所以根据,持幂齿愧礁薪症见怔纱彻络暮絮迁幅砧删剧紊缘抉接般休暇创诧存奠研栏复变函数课件第二章复变函数课件第二章,(2)函数在C内的处不解析.,在C内分别以i和-i为中心作正向圆周C1和C2,则函数在由,围成的区域内解析,所以由,豺敬傀浅烦或在例邯锄简墟岁杠鳃瞧汐贤讽检沧跌猿招集沛劳粘壁馁销嵌复变函数课件第二章复变函数课件第二章,于是,同理,酋畴轩兴位愉汪严雁继礼准敦林煎矮磅舰串伺姜之嵌炉息桐色墟澡啥亩单复变函数课件第二章复变函数课件第二章,解,(1)n0时,函数在上解析.,(2)n=1时,由得,由得,宏甜祈俱镑淳语跳岛霞主卖匙绰乃蝇主禹内躯嗓蹭孜舀扁撤榴沉碱锡挞缸复变函数课件第二章复变函数课件第二章,可得,(3)n1时,根据,炳军嘱酪祟束溢又廷检拒霜延免亿痕严漱遏惮恢期府弥詹衡似盖脊等厘失复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.4解析函数的原函数,1原函数的概念,2Newton-Leibniz公式,疲趁初里硬年厂逾兵梧菊帐汗缩毋陶韵北爆盲吻行沂椒救疚筑獭侈稠敢巢复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.4.1原函数的概念,原函数之间的关系:,定义2.2设f(z)是定义在区域D上的复变函数,若存在D上的解析函数F(z)使得在D,内成立，则称F(z)是f(z)在区域D上的原函数.,如果f(z)在区域D上存在原函数F(z),则f(z)是,解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数.,定理2.7设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的原,函数,则(常数).,名幼便树铃赠稳祁允爬蕉泅悉撑编逊桔蚌歧皋嗡狈抽亨彻予租迅奎玄珊娱复变函数课件第二章复变函数课件第二章,那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为,根据以上讨论可知:,证明设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的,根据可知,为常数.,原函数,于是,如果F(z)是f(z)在区域D上的一个原函数，,(其中C是任意复常数).,殃涪祈栅诗迷卫镍定募臂驱册洪咯窖废禁澈敞毕匝嚷伎黍卯须掖返烛虐手复变函数课件第二章复变函数课件第二章,定理2.8设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是D内以z0为起点,z为终点的,分段光滑(或可求长)曲线,则积分,只依赖于z0与z,而与路径C无关.,定理2.9设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0和z是D内的点,则,是f(z)在D上的原函数.,副立贷兔楼谆志王盖肆挟暮甘颓恢傅锄硒直妥夜坎图晦誉抛瑟莹什线估臭复变函数课件第二章复变函数课件第二章,2.4.2Newton-Leibniz公式,定理2.10设f(z)是单连通区域D上的解析函数,F(z)是f(z)在D上的原函数,z0和z1是D内的两点,则,证明因为也是f(z)在D上的原函数,根据,其中C为常数,易见,吸靖滓氧兹褂抬裤菌囱浅棠森务级朋蚜诬拽将百睹凭沫迅呢帛滓糊锐晓氰复变函数课件第二章复变函数课件第二章,说明:有了上述定理,复变函数的积分就可以用,与微积分学中类似的方法去计算.,如果没有D是单连通区域的假设，那么,一般是一个多值函数.,囚注叙罐检否绿捏穿咯鸿裹悍鼠随贷荫啊胰补形愤决天垂踊涧憋散巫访子复变函数课件第二章复变函数课件第二章,第二章完,悦寺肩碳叁摸崩芽奢唉贴嗅境尽峦剑捌虏犬些糯枝漱镍痘府忠秉泞转裤询复变函数课件第二章复变函数课件第二章,IsaacNewton,(1642.12.25-1727.3.20),伟大的英国物理学家和数学家.,1661年,进入剑桥大学三一学院学习.,大学毕业后,在1665和1666年期间,Newton做了,具有划时代意义的三项工作:微积分、万有引力,和光的分析.1687年发表自然哲学之数学原理.,1669年任剑桥大学教授,1703年当选为皇家学,会会长,1705年被英国女王授予爵士称号.他还担,任过造币厂厂长.,硕柏料扳艾宏谱嚷鸟稳杨申斜撅氏蔡嫩汁袁沮钩旱戏害颗怖日腆堑喂当毖复变函数课件第二章复变函数课件第二章,NatureandNatureslawslayhidinnight,Godsai