离散时间信号与系统的频域分析.ppt

1,分析(2.1.2)式，由于式中n取整数，因此一定满足下式:M取整数(1)序列的傅里叶变换是W的周期函数，周期为。(2)定义(2.1.2)式是的傅里叶级数形式。的傅里叶反变换为(2.1.3)(2.1.2)式和(2.1.3)式则组成了序列的傅里叶变换对。,2,例2.1.1设，求x(n)的频率响应。解：(2.1.4)将写成幅度与相角关系：,=,3,当N=4时的幅度和相位随w频率变化曲线如图2.1.1所示。,图2.1.1的幅频特性与相位特性,4,例2.1.2一个理想低通滤波器的频率响应是为截止频率。如图2.1.2所示。试求该系统的单位冲激响应。,图2.1.2理想低通滤波器的频率响应,5,解：由式(2.1.3)可得该系统的单位冲激响应为：,图2.1.3表示了截止频率时的单位冲激响应。,图2.1.3时，理想低通滤波器的单位冲激响应,因为理想低通滤波器的单位冲激响应，在时不为零，所以它是非因果的，并且可以证明其是无界的，因此理想低通滤波器不是因果稳定系统。,6,2.1.2序列傅里叶变换的性质线性设,，,则,(2.1.5),式中a,b为常数。,2.时移与频移,设,则,(2.1.6),(2.1.7),7,3.帕塞瓦（Parseval）定理设,则,(2.1.8),该定理说明信号在时域的能量与在频域表现的能量相等。,4.傅里叶变换的对称性,先介绍共轭对称序列和共轭反对称序列,设序列满足下式：,（2.1.9）,则称为共轭对称序列。,8,类似地，可定义满足下式的序列称为共轭反对称序列：,（2.1.10）,一般序列可用共轭对称序列和共轭反对称序列之和表示，即,（2.1.11）,式中，和可以分别用原序列求出，将（2.1.11）式中的n用-n代替，再取共轭得到,（2.1.12）,利用（2.1.11）和（2.1.12）两式，得到,（2.1.13）,（2.1.14）,9,对于频域函数，也有和上面类似的概念和结论：,（2.1.15）,式中，和分别称为的共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足：,（2.1.16）,（2.1.17）,10,下面从两个方面来讨论FT的对称性:将序列x(n)分成实部和虚部，即,式中与分别是序列的实部与虚部。,将x(n)进行傅里叶变换得到,式中,11,结论：序列分成实部和虚部两部分，其实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，其虚部(包括j)对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。,(2)将序列x(n)表示为共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即,式中,因为,12,因此，如果，相应的傅里叶变换为,（2.1.18）,可见，序列的共轭对称分量和共轭反对称分量的傅里叶变换分别等于序列傅里叶变换的实部和j乘虚部。,13,5.序列卷积的傅里叶变换设,序列x(n),h(n),y(n)的傅里叶变换分别为、。,则,(2.1.19),证明：略,14,表2.1.1序列傅里叶变换的性质,15,16,2.2Z变换2.2.1变换的定义序列x(n)的z变换的定义为,(2.2.1),式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。亦可将x(n)的z变换表示为,2.2.2变换的收敛域,(2.2.1)式变换存在的条件是级数收敛，要求级数绝对可和，即,(2.2.2),17,上式可写成,在x(n)有界时，为满足级数绝对可和，复数z的绝对值|z|必须限制在一定范围之内，这个范围可表示成,(2.2.3),图2.2.1环形收敛域,18,2.2.3几种序列变换的收敛域有限长序列序列仅在n1n2区间内具有非零值，它的z变换为,（1）当，时，仅当时才趋于，所以X(Z)的收敛域是除去原点以外的整个z平面，即；（2）当，时，仅当时才趋于，所以收敛域是除去以外的整个z平面，即；（3）当，时，X(Z)的收敛域是前两种情况的公共部分，即。,19,例2.2.1求的z变换。,解：,X(Z)有一个极点，也有的一个零点，因此实际将的极点对消。收敛域为。,20,2、右边序列序列x(n)的定义区间是，则,根据级数收敛性的根值判断法可知，为使此级数收敛，必须满足关系式,即,所以当，X(z)的收敛域为。当，X(z)的收敛域为。,21,例2.2.2求的z变换X(z)，。,解：,收敛域,即,22,3.左边序列序列x(n)的定义区间为，则,当满足,时，级数收敛，X(z)存在。此时的收敛域为,若，收敛域为；若，收敛域为。,23,例2.2.3求的z变换X(z)。解：,若，即时级数收敛,24,4.双边序列序列x(n)的定义区间为，所以z变换为,最后等号右边第一部分为左边序列的z变换，第二部分为右边序列的z变换，因此X(z)的收敛域是两个级数收敛域的公共部分，即,如果公共部分不存在，则X(z)也不存在。,25,例2.2.4求序列的z变换。其中a0，b0，ab，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。,27,现将一些常用序列的变换及其收敛域列于表2.2.1中。,28,29,2.3z反变换已知X(z)和收敛域，求原序列x(n)的过程叫做z反变换，记作,(2.3.1),2.3.1幂级数展开法(长除法),30,2.3.2部分分式法设序列x(n)的z变换用X(Z)表示,(2.3.3),式中P(z)是M阶多项式，Q(z)是N阶多项式，对于因果序列，收敛域包含处，因此必须满足。,如果X(z)只含一阶极点，可将X(z)展开为,(2.3.4),31,最好写成,式中是的极点，是在极点处的留数。,(2.3.5),如果X(z)中含有高阶极点，设X(z)除含有l个一阶极点，还有一个s阶的极点，X(z)就展成以下形式：,(2.3.6),32,例2.3.2已知，求X(z)的原序列x(n)。,解：,式中,33,因为X(z)的收敛域为，因此第一部取收敛域，第二部分收敛域取,分别对应的序列为，所以,34,2.3.3围线积分法留数辅助定理,35,2.4变换的基本性质与定理2.4.1线性设序列x(n)和y(n)的z变换分别为X(z)和Y(z)，即,则,(2.4.1),式中a,b为任意常数。,36,2.4.2序列的移位如果,则,(2.4.2),2.4.3乘以指数序列,如果,则,37,（2.4.3）,可见序列x(n)乘以指数序列等效于z平面上的尺度展缩。,2.4.4序列乘以n,如果,则,(2.4.4),38,2.4.5初值定理,如果x(n)为一因果序列，它的初始值可由下式求得,(2.4.5),初值定理表明，可直接由X(z)来求x(n)的初值x(0)，而不必进行z反变换。,2.4.6终值定理,如果x(n)是因果序列，X(z)除在z=1处有一阶极点外，其它极点均在单位圆以内，则,(2.4.6),39,2.4.7共轭序列,复序列x(n)的共轭序列为,如果,则,(2.4.7),2.4.8反转序列,如果,则,(2.4.8),40,2.4.9卷积定理,如果,则,(2.4.9),41,2.4.10复卷积定理,如果,则,(2.4.10),W(z)的收敛域,上式中v平面上，被积函数的收敛域为,42,2.4.11帕塞瓦（Parseval）定理,如果,且,则,(2.4.11),43,z变换的主要性质汇集于表2.4.1中,44,45,2.5序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系2.5.1序列的z变换与理想采样信号的拉普拉斯变换的关系设连续信号为，理想采样后的采样信号为，它们的拉普拉斯变换分别为,则,而,46,代入上式可得,(2.5.1),采样序列的z变换为,47,从上面看出，当时，采样序列的z变换就等于其理想采样信号的拉普拉斯变换。,(2.5.2),(2.5.3),复变量s平面到复变量z平面的映射关系为,48,2.5.2x(n)的z变换X(z)和的傅里叶变换的关系,将上面两个关系代入到（2.5.2）式可得,(2.5.6),可以得到采样序列在单位圆上的z变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换。,49,2.6离散系统的系统函数与频率响应2.6.1系统函数的定义,系统函数,(2.6.1),它是单位冲激响应的z变换，,即,(2.6.2),在单位圆上()的系统函数就是系统的频率响应。,50,2.6.2系统函数的收敛域（1）一个线性时不变系统稳定的充要条件是其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆；（2）一个线性时不变系统因果的充要条件是其系统函数H(z)在处也收敛；（3）一个稳定的因果系统的系统函数H(z)的收敛域应包含点和单位圆，则其收敛域表示为，也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。,51,2.6.3系统函数与差分方程的关系,一个线性时不变系统可以用常系数差分方程来描述，,对上式取z变换可得到,因而,(2.6.3),52,将上式分解成：,(2.6.4),式中是H(z)的零点，是H(z)的极点，它们都由差分方程的系数和决定。因此，除了比例常数k外，系统函数完全由它的全部零点，极点来确定。,53,2.6.4系统的频率响应对h(n)进行傅里叶变换得到,(2.6.5),称为系统的频率响应，它表征了系统的频率特性。,54,2.7全通系统与最小相位系统2.7.1全通系统若一个线性时不变稳定系统的系统函数的形式为,（2.7.1）,其频率响应可表示为,（2.7.2）,55,在（2.7.2）式中，且，所以,（2.7.3）,这类系统称为全通系统。,56,2.7.2最小相位系统(1)一个因果稳定的线性时不变系统，如果其系统函数H(z)的所有零点都在单位圆内，则称其