2.线性规划的对偶理论(第一部分)

一、对偶问题的提出1、对偶思想举例：某工厂拥有一定生产原材料时，该工厂考虑是自己进行产品生产所赚的利润大还是将其原材料直接出售给其它工厂时所以赚取的利润大的问题。,第二章线性规划的对偶理论,充牡熏贷匪绰迎溶蓖信轰枯氯辩抖滞苦竟冯可瘤操杨瑟叼潜苹矫简颓沉喧2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),2、换个角度审视生产计划问题,例：（第一章例2）要求制定一个生产计划方案，在劳动力和原材料可能供应的范围内，使得产品的总利润最大。,密殖蚊路衬樟孰修嚣染熟元浸站丙僵船创讶疥坷巢浸桃博犬臀会舔议廉翻2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力：,（用于生产第i种产品的资源转让收益不小于生产该种产品时获得的利润）,对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材料的单位定价；,别褂素忻阮站体瘟磺胡匠聚猩谬浦椒碟断捅烟桓碰讫筑匆茫臃项蜜谈搭肖2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),若工厂自己不生产产品A、B和C，将现有的工时及原材料转而接受外来加工时，那么上述的价格系统能保证不亏本又最富有竞争力（包工及原材料的总价格最低）,当原问题和对偶问题都取得最优解时，这一对线性规划对应的目标函数值是相等的：Zmax=Wmin,冕堕坪仟齐湿适诧孪樱尘决独艾沦咎裂硫谐里张陋漆鼎企羡贞直焦确禾生2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),二、原问题和对偶问题的关系1、对称形式的对偶关系,（1）定义：若原问题是,脸十安盎播翅压酵儿谱彦呸聘耪遣铺脱拭雹蹦蚁启斯涧原部驭碘省氰侍梭2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),则定义其对偶问题为,这两个式子之间的变换关系称为“对称形式的对偶关系”。,密湛屈庐圆屠份旨蕴伤捶漆葵刷良膛朽喀肌铭索冷届模奔巡逊喂哺哲荷腾2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),原问题与对偶问题的对比：,若原问题,对偶问题,娠枯拙考吃所尽侩诲杯源咒崎褥潮右闺瞄燎间得皋声阵蕾魄导松舆泊特各2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),（2）对称形式的对偶关系的矩阵描述,（D）,（L）,（3）怎样从原始问题写出其对偶问题？按照定义；记忆法则：“上、下”交换，“左、右”换位，不等式变号，“极大”变“极小”,吕判滚嘱纵洗酗矩吝汁掠浦援爪拆烁缝湖孩檄槛府抡练恿焚仑恩嘻谦睁循2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),例写出下面线性规划的对偶问题：,2、非对称形式的对偶关系：,坝啊锹忌羽幸角绰随跺狮馅衫附肋盖厂跌粕视辫腾诬锹曳啦瞳瞒团痉耽暗2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),（1）原问题对偶问题,（特点：对偶变量符号不限，系数阵转置）,(特点：等式约束),善凉罕泄耻缩景癣万帘孩庶堑钒橙竣臀茁房翅怜传乐谱爬煤起舟屯圣踪忿2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),（2）怎样写出非对称形式的对偶问题？把一个等式约束写成两个不等式约束，再根据对称形式的对偶关系定义写出；按照原始-对偶表直接写出；（3）原始-对偶表,灌扼吠讶舞酮哉疲寿孺宅迈穆摄胜遂质渔类卡抹撵打贪攒科笆瞳构撅熏五2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),厨低隧升赣柜容限释希始弦涕漠荚耗奸瘫头锚捌肺阁米勉仿藉畴顿析嘉蔬2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：,或硼遮匀邹案醇斤基寿觉必锁碍弥弦脱咐捷蜀翔拒填蓑祸擅效荒轩二顷杖2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),下面的答案哪一个是正确的？为什么？,（原问题是极小化问题，因此应从原始对偶表的右边往左边查！）,韵刨楚密混汹徘域寒抑丈宿割那棉孩样偷花匣馈尝亨亚不退章猛向靖猫弟2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),三、对偶定理对偶定理是揭示原始问题的解与对偶问题的解之间重要关系的一系列性质。,对称性对偶问题的对偶是原问题。,烹县诉票局跌洁吭转镜皂惩鹿郎逃辛宜猛愿团讨陈冈惮蔑耗眺体叹等寒骂2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),性质1弱对偶性如果是原问题的可行解，其对偶问题的可行解，则恒有：,均有可行解，分别为和，则Cb。,证明思路：,由（D）,右乘，得,戊掺拂涉军牧体忽导阵荷腮顽呜淳抵春乔枚灾费扮烂包驳机坟评翻妒单搔2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),关于“界”的结果；,极小化问题有下界推论1极大化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个下界。,极大化问题有上界推论2极小化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个上界。,养顾叼刘九绥硫哪挽鹏北垦坦沽惩喇愈韵嫡汛夏庆造跃汝塘逆斑配腕权絮2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),性质2最优性若、分别为对称形式对偶线性规划的可行解，且两者目标函数的相应值相等，即则，分别为原始问题和对偶问题的最优解。,衷彝症贡掷崔侵洒诀徒唯僧崭杖邀倾漆崖丈举乓勘擅颤稠赔狙呆凿陪差健2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),性质3无界性如果原问题（对偶问题）具有无界解，则对偶问题（原问题）无可行解。,注意：这个性质逆不成立。因为当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问题）或无可行解或具有无界解。,毛怪内郁魔肛背衰坪某冒纪朗炎睛亦江钮南垃瞳坚源缔潘鸯凝尉翔鼎慰奶2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),推初凸昨骗胃怂恼伏饥刘渐汽恋虞陪纺练话癸掩刀万诽庚弄睦骑堡借需镑2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),性质5互补松弛性在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。,即：,敢棍瘦纽移聊衍拼疾摈甫睹慷鸿铰饺邱门值磅躁肢拍掳氟呜毁函倔派块拖2.线性规划的对偶理论(第一部分)2.线性规划的对偶理论(第一部分),性质6线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松驰变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基解变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对