第二章 轴向拉压与剪切

第七章,轴向拉伸与压缩,材料力学,斜拉桥承受拉力的钢缆,此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆（Bar)。,力学模型,变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。,受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与其轴线重合的外力F作用。,材料力学,内力由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互作用的力的改变量。,、内力,根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是该内力系的合成（力或力偶）,材料力学,、截面法-轴力及轴力图(Diagramofnormalforces),求内力的一般方法截面法,（1）截开；,（2）代替；,（3）平衡。,步骤：,(c),材料力学,可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力(normalforces)，用记号FN表示。,材料力学,引起伸长变形的轴力为正拉力（背离截面）；引起压缩变形的轴力为负压力（指向截面）。,轴力的符号规定:,材料力学,(a),材料力学,若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图(Diagramofnormalforces)。,FN图,FN图,材料力学,用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。,注意：,材料力学,FN=F,FN=0,材料力学,例试作图示杆的轴力图。,求支反力,解：,A,B,C,D,E,20kN,40kN,55kN,25kN,600,300,500,400,1800,材料力学,注意假设轴力为拉力,横截面1-1：,横截面2-2：,材料力学,此时取截面3-3右边为分离体方便，仍假设轴力为拉力。,横截面3-3：,同理,材料力学,由轴力图可看出,20,10,5,FN图(kN),50,材料力学,例：,解：,1、求支反力,材料力学,材料力学,F,F,F,思考：,此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？,材料力学,、应力的概念,拉压杆的强度,轴力,横截面尺寸,材料的强度,即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律直接相关的。,杆件截面上的分布内力的集度，称为应力(stress)。,7-2轴向载荷作用下的杆件横截面上的应力,材料力学,M点平均应力,总应力,M,DA,M,材料力学,总应力p,法向分量,引起长度改变,正应力:,切向分量，引起角度改变,切应力:,正应力：拉为正，压为负,切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为正，反之为负,s,t,材料力学,内力与应力间的关系,DFN,DFS,材料力学,应力量纲,应力单位,材料力学,、拉（压）杆横截面上的应力,无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律,已知静力学条件,材料力学,但荷载不仅在杆内引起应力，还要引起杆件的变形。,可以从观察杆件的表面变形出发，来分析内力的分布规律。,材料力学,等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。,原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。,现象,平面假设,材料力学,亦即横截面上各点处的正应力都相等。,推论：,1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力。,2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。,材料力学,等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式,即,材料力学,适用条件：,上述正应力计算公式对拉（压）杆的横截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平面假设不成立的某些特定截面,原则上不宜用上式计算横截面上的正应力。,实验研究及数值计算表明，在载荷作用区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述公式不再正确。,材料力学,力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。,圣维南原理,材料力学,例试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。,解：段柱横截面上的正应力,（压）,150kN,50kN,材料力学,段柱横截面上的正应力,（压应力）,最大工作应力为,材料力学,例试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的拉应力。已知：,可认为径向截面上的拉应力沿壁厚均匀分布,解：,材料力学,根据对称性可得，径截面上内力处处相等,材料力学,材料力学,、拉（压）杆斜截面上的应力,由静力平衡得斜截面上的内力：,材料力学,变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后仍相互平行。,推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。,即斜截面上各点处总应力相等。,材料力学,s0为拉(压)杆横截面上()的正应力。,材料力学,总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：,材料力学,通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，成为该点处的应力状态。,对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单向应力状态。,材料力学,讨论：,（1）,（2）,（横截面）,（纵截面）,（纵截面）,（横截面）,材料力学,6-5拉（压）杆的变形、Hooke定律,拉(压)杆的纵向变形,绝对变形,线应变-每单位长度的变形，无量纲,相对变形,长度量纲,材料力学,荷载与变形量的关系胡克定律,当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）时,引进比例常数E,材料力学,E弹性模量，量纲与应力相同，为，,EA杆的拉伸（压缩）刚度。,单位为Pa；,材料力学,胡克定律,横向变形,绝对值,横向线应变,材料力学,当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变形时，不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵向线应变。,材料力学,x截面处沿x方向的纵向平均线应变为,x截面处沿x方向的纵向线应变为,线应变以伸长时为正，缩短时为负。,杆沿x方向的总变形量,材料力学,杆纵向的总伸长量,材料力学,横向变形的计算,单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变e与横向线应变e的绝对值之比为一常数：,或,n-横向变形因素或泊松比,材料力学,例一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2，BC段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量；C截面相对B截面的位移和C截面的绝对位移。,解：,由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为,材料力学,故,材料力学,AC杆的总伸长,C截面相对B截面的位移,C截面的绝对位移,材料力学,思考：,1.上题中哪些量是变形，哪些量是位移？二者是否相等？,2.若上题中B截面处也有一个轴向力作用如图，还有什么方法可以计算各截面处的位移？,材料力学,例求例题2-3中所示薄壁圆环其直径的改变量。已知,解：已得,此值小于钢的比例极限(Q235钢的比例极限约为200MPa)。,材料力学,不计内压力p的影响，则薄壁圆环的周向变形为,又,材料力学,圆环的周向应变与圆环直径的相对改变量有如下关系：,注意：,材料力学,例图示杆系，荷载F=100kN,求结点A的位移A。已知两杆均为长度l=2m，直径d=25mm的圆杆，=30，杆材(钢)的弹性模量E=210GPa。,解：先求两杆的轴力。,得,材料力学,由胡克定律得两杆的伸长：,根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。,材料力学,此位置既应该符合两杆间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。,关键步骤如何确定杆系变形后结点A的位置？,A,A,材料力学,即,由变形图即确定结点A的位移。由几何关系得,A,A,代入数值得,材料力学,杆件几何尺寸的改变，标量,此例可以进一步加深对变形和位移两个概念的理解。,变形,位移,结点位置的移动，矢量,与各杆件间的约束有关，实际是变形的几何相容条件。,二者间的函数关系,材料力学,6-6轴向载荷作用下材料的力学性能,通过拉伸与压缩实验，可以测得的材料在轴向载荷作用下，从开始受力到最后破坏的全过程中应力和变形之间的关系曲线，称为应力应变曲线。应力应变曲线全面描述了材料从开始受力到最后破坏过程中的力学性态。从而确定不同材料发生强度失效时的应力值，称为强度指标，以及表征材料塑性变形能力的韧性指标。,材料力学,1、材料的拉伸和压缩试验,拉伸试样,圆截面试样：,或,矩形截面试样：,或,材料力学,试验设备：,1、万能试验机：用来强迫试样变形并测定试样的抗力,2、变形仪：用来将试样的微小变形放大到试验所需精度范围内,材料力学,进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成标准试样(standardspecimen);然后将试样安装在试验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为应力一应变曲线(stress-straincurve)。,2、应力应变曲线,材料力学,为了得到应力一应变曲线，需要将给定的材料作成标准试样（specimen）,在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验（tensiletest,compressiontest）。,试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。,材料力学,脆性材料拉伸时的应力应变曲线,材料力学,韧性金属材料材料拉伸时的应力应变曲线,弹性模量,应力-应变曲线上的初始阶段通常都有一直线段，称为线性弹性区，在这一区段内应力与应变成正比关系，其比例常数，即直线的斜率称为材料的弹性模量（杨氏模量）（modulusofelasticityorYoungsmodulus），用E表示。,二、材料拉伸时力学性能,切线模量(tangentmodulus)Et,对于应力-应变曲线初始阶段的非直线段，工程上通常定义两种模量：,割线模量(secantmodulus)Es,弹性模量,材料力学,一般结构钢都有明显而较长的线性弹性区段;高强钢、铸钢、有色金属等则线性段较短;某些非金属材料如混凝土，其应力-应变曲线线弹性区不明显。,比例极限与弹性极限,材料力学,屈服应力,许多韧性材料的应力一应变曲线中，在弹性阶段之后，出现近似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种现象称为屈服(yield)。这一阶段曲线的最低点的应力值称为屈服应力或屈服强度(yieldstress)，用s表示。,极限应力值-强度指标,材料力学,0.2,对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上则规定产生0.2塑性应变时的应力值为其屈服应力，称为材料的条件屈服应力(offsetyieldstress)，用0.2表示。,条件屈服应力,材料力学,强度极限,超过屈服点后，要使材料继续增加拉伸变形，就必须增加载荷。这一阶段称为强化(strengthening)阶段。这一阶段应力的最高限称为强度极限(strengthlimit)，用b表示。,材料力学,颈缩与断裂,某些韧性材料(例如低碳钢和铜)，应力超过强度极限以后，试样开始发生局部变形，局部变形区域内横截面尺寸急剧缩小，这种现象称为颈缩(neck)。出现颈缩之后，试样变形所需拉力相应减小，应力一应变曲线出现下降阶段，直至试样被拉断。,材料力学,对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，试样的变形都很小。而且，大多数脆性材料拉伸的应力应变曲线上，都没有明显的直线段，几乎没有塑性变形，也不会出现屈服和颈缩现象，因而只有断裂时的应力值强度极限。,材料力学,韧性指标,延伸率,延伸率和截面收缩率越大，表明材料的韧性越好。工程中一般认为5者为韧性材料；5者为脆性材料。,材料力学,l0：试样原长（规定的标距）；l1：试样拉断后长度(变形后的标距长度).,材料压缩实验，通常采用短试样。,三、单向压缩时材料的力学行为,材料力学,铸铁压缩时的应力一应变曲线，与拉伸时的应力一应变曲线不同的是，压缩时的强度极限值通常是拉伸强度极限的45倍。,材料力学,低碳钢试样拉伸至屈服时，如果试样表面具有足够的光洁度，将会在试样表面出现与轴线夹角为45的花纹，称为滑移线。通过拉、压杆件斜截面上的应力分析，在与轴线夹角为45的斜截面上切应力取最大值。,因此，可以认为，这种材料的屈服是由于切应力最大的斜截面相互错动产生滑移，导致应力虽然不增加、但应变继续增加。,灰铸铁拉伸时，最后将沿横截面断开，显然由于拉应力拉断的。但是，灰铸铁压缩至破坏时，却是沿着约45的斜截面错动破坏的，而且断口处有明显的由于相互错动引起的痕迹。这显然不是由于正应力所致，而是与切应力有关。,1.失效原因的初步分析,四、结论与讨论,材料力学,2.卸载、再加载时的力学行为,材料力学,卸载再加载曲线与原来的应力一应变曲线比较(图中曲线OAKDE上的虚线所示)，可以看出：K点的应力数值远远高于A点的应力数值，即比例极限有所提高；而断裂时的塑性变形却有所降低。这种现象称为冷作硬化。工程上常利用硬化来提高某些构件在弹性范围内的承载能力。,材料力学,强度设计准则、安全因数与许用应力,三类强度计算问题,强度设计准则应用举例,6-7强度计算,强度设计(strengthdesign):将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足：,强度计算的依据是强度设计准则或强度条件。据此，可以解决三类强度问题。,材料力学,这一表达式称为拉伸与压缩杆件的强度设计准则(criterionforstrengthdesign)，又称为强度条件。其中称为许用应力(allowablestress)，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式确定,0:材料的极限应力或危险应力(criticalstress)，由材料的拉伸实验确定；n:安全因数，对于不同的机器或结构，在相应的设计规范中都有不同的规定。,材料力学,材料力学,强度设计已知杆件的受力大小以及许用应力，根据设计准则，计算杆件横截面面积并设计出合理的横截面尺寸。,强度核核已知几何尺寸、受力大小以及许用应力，校核杆件或结构的强度是否安全，即判断是否成立。,确定许可载荷(allowableload),例题4:螺纹内径d15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为FP20kN。若已知螺栓的许用应力150MPa.,试：校核螺栓的强度是否安全。,解：1确定螺栓所受轴力,应用截面法，易求得螺栓所受的轴力：FNFP20kN,2计算螺栓横截面上的正应力,根据拉伸与压缩杆件横截面上的正应力公式，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力,材料力学,故螺栓的强度安全。,例题5,可以绕铅垂轴OO1旋转的吊车中斜拉杆AC由两根50mm50mm5mm的等边角钢组成，水平横梁AB由两根10号槽钢组成。AC杆和AB梁的材料都是Q235钢，许用应力150MPa。当行走小车位于A点时(小车的两个轮子之间的距离很小，小车作用在横梁上的力可以看作是作用在A点的集中力)，杆和梁的自重忽略不计。,求：允许的最大起吊重量FW（包括行走小车和电动机的自重）。,材料力学,解：1受力分析,因为所要求的小车在A点时所能起吊的最大重量，这种情形下，AB梁与AC两杆的两端都可以简化为铰链连接。因而，可以得到吊车的计算模型。其中AB和AC都是二力杆，二者分别承受压缩和拉伸。,FW,FW,2确定二杆的轴力,以节点A为研究对象，并设AB和AC杆的轴力均为正方向，分别为FN1和FN2。根据节点A的受力图，由平衡条件,材料力学,材料力学,解：3确定最大起吊重量,对于AB杆，由型钢表查得单根10号槽钢的横截面面积为12.74cm2，注意到AB杆由两根槽钢组成，因此，杆横截面上的正应力,将其代入强度设计准则，得到,由此解出保证AB杆强度安全所能承受的最大起吊重量,将其代入强度设计准则，得到,由此解出保证AC杆强度安全所能承受的最大起吊重量,对于AC杆,为保证整个吊车结构的强度安全，吊车所能起吊的最大重量，应取上述FW1和FW2中较小者。于是，吊车的最大起吊重量:,FW57.6kN,材料力学,4本例讨论,其中为单根槽钢的横截面面积。,根据以上分析，在最大起吊重量FW57.6kN的情形下，显然AB杆的强度尚有富裕。因此，为了节省材料，同时还可以减轻吊车结构的重量，可以重新设计AB杆的横截面尺寸。根据强度设计准则，有,材料力学,由型钢表可以查得，5号槽钢即可满足这一要求。,这种设计实际上是一种等强度的设计，是保证构件与结构安全的前提下，最经济合理的设计。,静定问题:作用在杆件上的外力或杆件横截面上的内力，都能够由静力平衡方程直接确定;,工程实际中，为了提高结构的强度、刚度，或者为了满足构造及其它工程技术要求，常常在静定结构中再附加某些约束(包括添加杆件)。这时，由于未知力的个数多于所能提供的独立的平衡方程的数目，因而仅仅依靠静力平衡方程使无法确定全部未知力。这类问题称为超静定问题。,材料力学,6-9超静定问题,未知力个数与独立的平衡方程数之差，称为静不定次数(degreeofstaticallyindeterminateproblem)。在静定结构上附加的约束称为多余约束(redundantconstraint)，这种“多余”只是对保证结构的平衡与几何不变性而言的，对于提高结构的强度、刚度则是需要的。,关于静定与静不定问题的概念，本书在第3章中曾经作过简单介绍。但是，由于那时所涉及是刚体模型，所以无法求解静不定问题。现在，研究了拉伸和压缩杆件的受力与变形后，通过变形体模型，就可以求解静不定问题。,多余约束使结构由静定变为静不定，不能通过静力平衡条件完全求解；多余约束对结构或构件的变形起着一定的限制作用，而结构或构件的变形又是与受力密切相关的，这就为求解静不定问题提供了补充条件。,材料力学,如何求解静不定问题？,根据静力平衡条件列出平衡方程；在多余约束处寻找各构件变形之间的关系，或者构件各部分变形之间的关系，即补充变形协调关系或变形协调条件(compatibilityrelationsofdeformation)；由于变形协调关系为变形之间的关系，因此必须引入变形与力之间的关系即材料的本构方程.,静不定问题的求解思路,求解静不定问题需要综合考察平衡、变形和物理三方面，这是分析静不定问题的基本方法。,材料力学,设杆件的刚度为EA。求各段杆横截面上的轴力，并画出轴力图。,1.分析约束力，判断静不定次数。在轴向载荷的作用下，固定端A、B二处各有一个沿杆件轴线方向的约束力FA和FB，独立的平衡方程只有一个,因此，静不定次数n211次。需补充一个方程。,材料力学,这就是变形协调条件。,2.补充变形协调方程。杆件在载荷与约束力作用下，AC、CD、DB等3段都要发生轴向变形，但是，由于两端都是固定端，杆件的轴向总变形量必须等于零：,3.补充力与变形之间的关系。,根据胡克定律，,前面已经提到拉伸和压缩时的正应力公式，只有在杆件沿轴线方向的变形均匀时，横截面上正应力均匀分布才是正确的。因此，对杆件端部的加载方式有一定的要求。,当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都适用。,6-9应力集中,材料力学,当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都适用。,材料力学,圣维南原理(Saint-Venantprinciple)如果杆端两种外加力静力学等效，则距离加力点稍远处，静力学等效对应力分布的影响很小，可以忽略不计。,材料力学,几何形状不连续处应力局部增大的现象，称为应力集中（stressconcentration）。,应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截面上的应力最大值与不考虑应力集中时的应力值(称为名义应力)之比，称为应力集中因数(factorofstressconcentration)，用K表示：,材料力学,一、基本概念和实例(basicconceptsandexampleproblem),1、工程实例：(exampleproblems),1)螺栓连接(boltedconnections),7-6剪切变形（Sheardeformation),2)铆钉连接(rivetedconnections),材料力学,2、受力特点(characterofexternalforce)：,以铆钉为例：,构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用。,3、变形特