光学与力学之间的类比(终板)

本科生毕业论文(设计)打印专用纸目录摘要：1Abstract:11 绪论32光学与力学间的类比32.1力学和光学中基本概念物理规律及过渡关系中的对应32.1.1基本概念的对应关系32.1.2物理理规律的对应关系52.1.3过渡关系的对应62.2原理性的类比72.2.1原理形式的类比82.2.2斯涅耳（Snell）定律与势能突变面处的粒子行为92.2.3光与粒子路线102.2.4波前传播与相空间内的“波前面函数”的传输122.2.5电子光学情况152.2.6程函方程与哈密顿雅可比方程的类比162.2.7从经典力学导波动力学17结论20参考文献：21致 谢23光学与力学之间的类比郭杰物理与电子信息学院物理学专业05级 指导教师：宋婷婷摘要：力学的发展史可以简单地概括为：力经典力学量子力学。光学的发展史也可以简单的概括为：光几何光学波动光学。同时力学与光学，是两门古老而又极具生命力的科学，两者在许多方面即存在形式上的对应关系，又有着物理学的内在联系。力学与光学对应关系的研究，对整个物理学的发展有着重要的意义。光学与力学的基本概念、物理规律及过渡关系中都存在着对应关系。光学与力学对应关系的研究，对整个物理学的发展有着重要的意义，在二十世纪初，迈克尔孙实验的记过，使爱因斯坦据此提出了相对论，更新了人们的时空观念。德不罗意把光的波粒二象性推广到所有的物质粒子，得出物质波的概念，为量子力学的创立奠定了坚实的基础。量子力学的创始人薛定谔就根据几何光学和波动光学的关系进行类比，创立了量子力学的一种形式波动力学。这些可以说是近代物理学史上，利用光学与力学的对应关系取得的最杰出的成果。同样地，如果我们在学习中找出力学与光学的对应关系，将有助于我们学习物理的兴趣，培养我们思考习惯和类比思维的能力。在光学与力学类比的研究中，前人的研究注重单一方面的研究，并取得可喜的成绩。而本文将从多个方面采用对比的方式论述光学与力学间的一些对应的关系。关键词：力学；光学；类比The analogy between Optics and mechanics Guo jieInstitute of Physics and Electronic Information Grade 05 Instructor: SongTingTingAbstract: History of the development of mechanics can be simply summarized as follows: Power - classical mechanics - quantum mechanics. And history of the development of optics can also be simply summarized as follows: Light - Geometrical Optics - Wave Optics. At the same time, mechanics and optics, are two science of great history and vitality, both of which exist in many respects the relationship of form, but also intrinsically linked with physics. Correlation between mechanical and optical research, casts great significance to the development of the entire physics. The basic concepts, physical laws and transitional relations of potics and mechanics are connecting with each other It is meaningful to the entire physics by correlation studying of optical and mechanical at the beginning of the twentieth century, the demerits of Michelson experiment, gave basid to Einsteins theorcs, updated the concept of peoples time and space. De Brogkie extendeg wave-particle duality of light to all the material particles, deriving the concept of matter waves laid a solid foundation which for the creation of quantum mechanics. The founder of Schrodinger quantum mechanics analogy on the basis of geometrical optics and wave optics, created a form of quantum mechanics - wave dynamics. These can be said that in the history of modern physics, in use of the corresponding relationg of optics and mechanics the most outstanding results. Similarly, the corresponding relationships between mechanics and optics if we find in our study of will help us to improve the physical interest ,and nurture our habits and capacity of analogue thinking. Analogy in optics and mechanics studying, The previous research focused on a single study, and achieved. However this article will contrast the way use of optics and mechanics discussing some of the corresponding inter-relationship in various aspeets.Key word：mechanics；optics；analogy1 绪论力学的发展史可以简单地概括为：力经典力学量子力学。从公元前四世纪古罗马时代，亚里士多德和阿基米德分别在动力学和流体静力学方面取得了许多的成果，到十六、十七世纪，经过斯台文、伽利略、笛卡尔等一大批物理学家的不断努力，最后由牛顿概括总结出了牛顿力学体系，即经典力学趋于完善。二十世纪初爱因斯坦创立了狭义相对论，使人们在时空观念上发生了根本性转变，在这个时期，由德不罗意提出了物质波的理论，据此分别由薛定谔和海森堡创立了波动力学和矩阵力学，即量子力学体系。光学也是古希腊发展得较早的一门科学，欧几米德研究了光的反射，提出了反射定律。同理学一样，在古希腊以后很长一段时间里，光学并没有什么重大的进展。到十六、十七世纪，科学家主要集中研究了光的直线传播、反射和折射现象，直至恵涅尔发现了折射定律，几何光学臻于完善。在十九世纪初，托马斯杨的双缝干涉实验，确立了波动光学的基础，而后由麦克斯韦提出了光的电磁理论，从而使人们认识到了光学具有波粒二象性。因此跟力学的发证类似，光学的发展史也可以简单的概括为：光几何光学波动光学。力学与光学，是两门古老而又极具生命力的科学，两者在许多方面即存在形式上的对应关系，又有着物理学的内在联系。力学与光学对应关系的研究，对整个物理学的发展有着重要的意义。对于这两门科学，国内外科研工作人员单一方面的研究，比如光学和力学中基本概念的对应关系，斯涅耳定律与势能突变面处的粒子行为，虽然在各个方面都取得了可喜的成就，为后人的研究铺垫了黄金般的道路，但终究没有人能从多方面的科学立场分析研究。鉴于现在研究方面狭窄、不全面，本文将从多方面论述光学与力学间的一些对应关系。如力学和光学中基本概念物理规律及过渡关系中的对应，原理性类比。在上诉提到的两方面中我又分别从多方面进行研究分析。最终从全方面对光学与力学进行类比。2光学与力学间的类比2.1力学和光学中基本概念物理规律及过渡关系中的对应2.1.1基本概念的对应关系光学与力学的基本概念存在着对应关系，其物理量的具体对应如表1.1所示。从表1.1中可以看出，力学与光学的最基本的对应就是力学中的时间t与光学中的长度z对应。从这个基本的物理量的对应可导出其他物理量的对应。表1.1 光学与力学中物理基本概念的对应16光学力学x 、y 、x、 y 、z、L（x、y、x、y、z）L（、）方向余弦 波包质点光线轨迹群速速度点光源的光强引力折射率 势能频率 能量标量波函数几率波函数光学哈密顿量哈密顿量传播系数 角速度2.1.2物理理规律的对应关系不仅力学和光学中的物理两存在着对应关系，而且力学和光学中的物理规律也存在着对应关系，如表1.2所示。从这些物理规律的对应，能够帮助我们理解和掌握物理规律。光学力学布给公式（Bonger）恒量角动量守恒恒量广义动力守恒动量守恒费马原理哈密顿最小作用原理拉格朗日方程 拉格朗日方程光学哈密顿正则方程哈密顿正则方程光学哈雅方程哈雅方程光学薛定谔方程非相对论薛定谔方程布莱恩戈登方程相对论波动方程能量本征值方程能量本征值方程测不准关系 测不准关系表1.2 光学与力学中物理规律的对应162.1.3过渡关系的对应 在力学与光学体系的内部，理论的发展层次之间的过渡关系，也具有某种对应关系。在力学体系中，当德不布罗意波的波长0时，波动力学与经典力学相符合。而由经典力学导播动力学的过渡，只要将经典力学的能量和动量用算符来代替，即， （1）代入能量与动量的关系试 (2）就得得到薛定谔方程 （3） 由此实现了由经典力学到波动力学的过渡。 在光学体系中，由波动光学在0的情况下，可导出几何光学。而由几何光学也可以得到波动光学，只要把几何光学的方向余弦用、 (4)代替，并采用光学哈密顿薛定谔方程 （5）可写出类似的光学薛定谔方程形式 （6）由此实现了由经典光学到波动光学的过渡。上述关系可用图1.1表示。 经典力学 波动力学 波动光学 几何光学 图1.1 力学与光学的对应与过渡关系2.2原理性的类比为了解决光在连续变化的非均匀介质中从一点传播到另一点所遵循的普遍规律，1679年费马（Fermat）将此规律表述为：光线从一点P传播到另一点Q的实际路线上，光程取极值（可以使极小值、极大值、定值）即 （7）或 （8）式（7）、（8）即为几何光学中著名的费马原理的两种基本形式，式中为全变微分算符，n为媒质的折射率，L为几分路径，ds为路径积分元，u为光波速度。由费马原理能推出几何光学的全部定律7。为把力学包含在一个极值化的原理中，莫陪丢（Maupertuis）于1744年，首先提出，拉格朗日（Lagrange）于1760年严格论证并加以推广的适用于保守系统的力学原理最小作用原理，表述为：对理想、完整的保守系统，通过相同起终位置的一切运动，其可能实现的运动是在其附近考虑到的相同能量的各种路径中，使拉格朗日作用量取极值的运动，即 （9）式(9)中T为系统动能，dt为时间元，、为粒子从P点到Q点的时刻。最小作用原理是力学及各种场论的基本原理。曾被雅克比（Jacobi）称作“分析力学之母”长长被奉为物理学的最高原理。由费马确定的光传播规律和由最小作用原理确立的粒子运动，两者类比如下：2.2.1原理形式的类比对于单粒子保守系统，设粒子质量为m，速度为v，势能为U，注意到能量E积分T+U=E,有代入式（9）得 （10）式（10）为最小作用原理的雅可比形式，它是确定真实运动轨线的变分原理。 比较式（7）、（10）可知，若使则单粒子力学问题可以当作一条光线的几何光学问题来求解，反之，几何光学的路线问题，也可以当做质点力学问题来求解。即按最小作用原理运动的粒子轨线和按费马原理决定的光线是完全一致的。对自由粒子，U=常量，因而T=E-U也是常量，则式（9）可以写成 或 （11）式（11）表明：自由粒子由P到Q将沿花时 最少的路径运动，由于自由粒子的速度v为常量，所花时最少的运动就是所需路径最短的运动，故此跟短程线运动的结论一致。显然，式（11）与几何光学中光线沿短时线传播的原理式（8）是相似的。2.2.2斯涅耳（Snell）定律与势能突变面处的粒子行为光线从一折射率的媒介进入到另一种折射率的媒介，遵从斯涅耳定律，该定律表明：其中n1 、n2是两媒介折射率，1、2是光线与两媒介界面法线所成的角，如图2.1所示。应用该定律，可通过几何图确定光线经过媒介的路线。图2.1 光的折射12U1U2V1V212图2.2 粒子越过势能突变面的速度变化粒子在保守力场中的运动，也存在着和斯涅耳定律相似的规律。考察一粒子由一个区域进入另另一个区域的界面时，设势能由U1变为U2（U1U2），粒子势能的变化，必然引起粒子动能T的改变根据保守力场性质：力F处处和等势面垂直，并从势能较高处指向势能较低处。设为粒子位移，由可得可见，粒子势能的改变仅仅导致速度的法向分量变化而引起速度变化，从而改变了粒子动能，但速度的切向分量是连续的如图2.2所示。即 （13）其中1和2是两个区域内的速度矢量与界面法线间的夹角。将式（13）中两区域的速度用能量守恒原理表示为（14）比较式（12）、（14），显然，在那些折射率与函数对位置有相同的函数关系的问题中，当光线与总能量为E的粒子具有相同的初位置和传播方向时，光的传播路线与粒子的运动轨线遵从相似的规律，折射率n(r)与函数的地位相当。这种形式上的相似，可以合理的设想为2.2.3光与粒子路线 光在媒介中传播的路线，由矢量形式的光微分方程12 （15）所确定。时（15）中为哈密顿算符，r表示某一光线上任一点的位置矢量，s表示r矢端离光线上某固定点的光线弧长。对于光的路线，选用自然坐标法是方便的。设光线上某点的主法向单位矢量为v，切向单位矢量为s曲率半径为，则单位矢有如下关系： （16） （17）由式（15）、（16）得 （18）用v标乘式（18）两边，利用式（17），整理可得 （19）因0，式（17），表明光线弯向折射率大的一边，如图2.3所示sv光线图2.3 非均匀媒质中光线的弯曲对一个质量为m的粒子在保守场中的运动，根据牛顿运动定律 （20）式（20）中P=mv是粒子动量，考虑粒子的运动轨线，对式（20）做如下处理：因P=ps，V=vs故有 （21）将在s、v方向上分解，有 （22）考察V方向上的运动方程有：利用代入上式，有 （23）可见，式（23）与关于折射率n与p成正比的媒介中光线曲率方程式（19）完全一致，它表示粒子路线弯向势能小的一边(如图2.4所示)，因此保守力场中的运动粒子具有会聚特性，顺便指出，设计会聚带电粒子的静电透镜正是基于这一原理。sv轨线图2.4 粒子轨线向势能小的区域弯曲由此看出，保守场中的粒子的运动轨线与光线在折射率随位置缓慢变化的空间中所经过的路线，有着十分重要的相似性。2.2.4波前传播与相空间内的“波前面函数”的传输 惠更斯（Huygens）原理是几何光学中的另一著名原理。该原理通过一个“波前曲面”函数刻划光的传播，光线被定义为定相波面的正交轨线，把光的传播看成是“波前曲面”的运动，“波前曲面”的每个面元产生球面子波，“波前曲面”的未来位置是所有子波面的包络面。因此，“波前曲面”函数能完全决定光线的传播。 哈密顿（Hamilton）建立了力学系统的“波前面函数” 哈密顿主函数，S能完全决定系统的运动。如果哈密顿函数不是时间t的显函数，则S的形式解为9 （24）其中为哈密顿特征函数，不显含时间，所以各定值的W的曲面在位形空间有确定位置。在位形空间内，考察S为定值的曲面运动，由式（24）可知，定值S曲面在运动过程中，势必依次与有着确定位置的W曲面族重合，如图2.5所示。定值S随时间的传输类似于波前的传输，因此，定值S曲面可视为在位形空间内传输的波前。u图2.5 位形空间内定值S曲面的运动确定垂直曲面的粒子轨线对保守场中的单粒子情况，S曲面上某确定点的速度u（曲面的运动速度一般是不均匀的）定义dt时间内定值S曲面移动的垂重距离di即 （25）又dt时间内定值S曲面将从W曲面处运动到W+dW的新曲面处。对式（24）取微分得 （26）另一方面，单粒子位形空间可为寻常三维空间。故 （27）联立上列3式得 （28）W满足哈密顿雅可比方程，对保守场中运动的单粒子有9 （29）式（29）给出粒子的动量p垂直于等值面W，因而位形空间中“波前”的速度为 （30）式（30）表明，等值S曲面上一点的速度与用S描述的粒子在空间内的运动速度保持着互为倒数的关系，粒子的轨线始终与等值S曲面正交。所以，与等值S曲面正交的粒子运动轨线相当于与波前垂直的光线。这就是为什么光的惠更斯波动说和牛顿微粒说都能说明光的反射和折射现象，因为两者的几何光学理论在形式上完全一致。u与v互为倒数关系，还反映在基本原理的形式上，因为在单粒子的情况下，式（9）可以写成或 （31）比较式（8）和式（31），若把光子视为粒子，则。通过这一反比关系。式（8）和式（31）成为同一原则。1924年法国物理学家徳布罗意（de Broglie）按照这一光子和粒子的平行关系，提出了物质波理论。该理论是1926年薛定谔（Schrdinger）进一步建立了波动力学的先导。2.2.5电子光学情况 对电荷为e和净质量为m的相对论电子，拉格朗日函数为： （32） 这里是静电势，A是磁场矢势，对单色光或单能电子，能量是常数，因故 （33）上三式中，为是速度的分量，、分别是p和A的x分量。将最小作用原理写成（34）其中dr为位移元矢量。式（34）给出，除任意常数因子外，一般的电子光学的折射率可表为： （35）式中，是矢势在运动方向上的分量。它不是一个物理量，而是一个函数，其旋度等于磁感应强度。由此可见，一般的电子光学折射率本身不是一个物理量，而是一个拉格朗日函数10，加上一个任意位置函数的梯度在运动方向上的分量，不会改变任何物理结果。因此，式（35）是具有给定能量的电子位置函数。如果把电子光学的折射率定义动量在轨线方向上的分量，那么，式（34）表明，对电子运动的研究就化为一个光学问题。可见在电子光学情况下，再次揭示了最小作用原理与费马原理是完全相似的。2.2.6程函方程与哈密顿雅可比方程的类比 程函方程是几何光学的基本方程，导出方法颇多6，为简明起见，这里采用德拜（Debye）的建议，由0极限情况的标量波动方程导出。 设f表示电磁场的某一分量，为波的角频率，为自由空间的波长，表示自由空间的波数，光（电磁波）在各向同性媒质中的波动方程为 （36）对单色波代入式（36）的满足 （37）n为常数时，式（37）中为平面波解，讨论n在空间平缓变化情况，设式（37）的解接近平面波，取下面形式（38）上式中和是待定的空间位置实函数，并且假定与无关。将式（38）代入式（37）得（39）由于和是实数，要方程（39）成立，其实部和虚部必同时为零。考虑实部有（40）因为已知假定和与无关，所以在，即的极限条件下，有 （41）上式中L（r）程函，方程（41）称为程函方程，由它决定常数L（r）曲面是光的定向波面，因而也就决定了波前。波面的正交曲线族就是几何光学中的“光线”可见，程函方程（41）在形式上与力学中的W的哈密顿雅可比方程（29）是一致的。特征函数W起了与程函L相同的作用，而则可看成折射率。若把光线看作是某种微粒的轨线。则这种微粒的动量正比于，即：。由此看出，几何光学是波动光学在波长的极限情况，因而几何光学的基本方程也就是波动方程在条件的近似，所以，哈密顿雅可比方程揭示：经典力学相当于波动光学的几何光学极限。2.2.7从经典力学导波动力学几何光学已被证明是波动光学规律在短波波长的极限。由上述相似讨论。很自然的设想经典力学是不是更一般波动力学的短波极限呢？而且能推测出波动方程在某种极限下应该蜕化为哈密顿雅可比方程。德不罗意根据这个启示，在1924年提出了物质波动性假说，并把波动光学中的重要关系类推到粒子波，预测了动量p和能量E的粒子，其波长与频率v有下列关系： （42） （43）h为反映波动性的物理量、v和反映粒子性的物理量p、E之间的共同比例常数，量子力学中称普朗克（Planck）常量。像几何光学基本方程（41）是波动光学的波动方程（37）的近似那样，可以设想哈密顿雅可比方程（29）是下列波动方程的近似 （44）把空间坐标r与时间坐标t分离，令 （45）式（45）代入式（48）的满足的方程为 （46）根据波动理论： （47）由德不罗意关系：（48）将（47）、（48）代入式（46）的 （49）这就是量子力学中著名的定态薛定谔方程。对式（45）球t的偏微商： （50）式（49）代入式（50），并考虑吧到式（43）有即得到含时的薛定谔方程为： （51）这正是量子力学中的波动方程。可以证明，经典力学是波动力学在0的短波极限，微观意义下的波函数和薛定谔方程就蜕化为经典力学的哈密顿主函数和哈密顿雅可比方程。德不罗意和薛定谔在建立波动力学过程中，对力学和光学的相似性的深刻理解起了重要作用14.15。正是基于这一类比和原子物理学的大量实验事实所揭示的经典力学的局限性，德不罗意提出了物质波理论，薛定谔建立了波动力学薛定谔方程，逐渐发展成为近日的量子力学。结论 上述类比分析了力学和光学在基本概念、物理规律、过渡过程、原理等方面的对应关系，发现其中有诸多相似之处。在原理类比中我得到了这样的结论：式（11）与几何光学中光线沿短时线传播的原理式（8）是相似的；光的传播路线与粒子的运动轨线遵从相似的规律；保守场中的粒子的运动轨线与光线在折射率随位置缓慢变化的空间中所经过的路线，有着十分重要的相似性；式（8）和式（31）成为同一原则；最小作用原理与费马原理是完全相似的；经典力学相当于波动光学的几何光学极限；经典力学是波动力学在h0的短波极限，微观意义下的波函数和薛定谔方程就蜕化为经典力学的哈密顿主函数和哈密顿雅可比方程。究其根本我本人认为，这是由光的波粒二相性所决定的。在今后的学习中将这