高中数学必修一《优化方案》答案-第一章

.11.1集合的含义与表示读教材填要点1元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)(2)集合中元素的性质：确定性：即给定的集合，它的元素是确定的互异性：即给定集合的元素是互不相同的无序性(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作aA，a不是集合A的元素，记作aA.2集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法3常用数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或NZQR小问题大思维1著名数学家能否构成一个集合？提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合2一个集合能表示成s，k，t，k吗？提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素3集合5，8和(5，8)是同一集合吗？提示：不是同一集合集合5，8中元素有2个，为数而集合(5，8)中有一个元素为坐标(5，8)集合的基本概念例1下列每组对象能否构成一个集合：(1)某校2013年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；(5)的近似值的全体自主解答“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0x20”与“x20或x5的解集自主解答(1)集合用描述法表示为(x，y)|解方程组，得故集合用列举法表示为(4，1)(2)由2x35可得x4，所以不等式2x35的解集为x|x4，xR1一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围2方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示注意，当题目中要求求出“的解集”或写出“的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式3有下面六种表示方法x1，y21,2(1,2)(1,2)x，y|x1，或y2其中，能正确表示方程组的解集的是_(把所有正确答案的序号填在空格上)解析：序号判断原因分析否中含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点能代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同否中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素否没有用花括号“”括起来，不表示集合能中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等否中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号()，条件中“或”也要改为“且”.答案：解题高手易错题审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！已知集合A中含有三个元素，1,0，x，若x3A，求实数x的值错解x3A，故x30或x31或x3x，若x30，则x0；若x31，则x1；若x3x，则x1或x0.综上所述：所求x的值为0或1.错因本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x2x时漏掉了x1这个答案，也导致了错误的结果正解x3A，x3是集合A中的元素又集合A中含有3个元素，需分情况讨论：若x30，则x0，此时集合A中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去；若x31，则x1，此时集合A中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；若x3x，则x0、x1或x1，当x0、x1时不符合集合中元素的互异性，都舍去当x1时，此时集合A中有三个元素1,0，1，符合集合中元素的互异性；综上可知，x1.1有下列各组对象：接近于0的数的全体；比较小的正整数的全体；平面上到点O的距离等于1的点的全体；正三角形的全体其中能构成集合的个数是()A2B3C4 D5解析：不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依答案：A2下面几个命题中正确命题的个数是()集合N*中最小的数是1；若aN*，则aN*；若aN*，bN*，则ab最小值是2；x244x的解集是2,2A0 B1C2 D3解析：N*是正整数集，最小的正整数是1，故正确；当a0时，aN*，且aN*，故错；若aN*，则a的最小值是1，又bN*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，ab取最小值2，故正确；由集合元素的互异性知是错误的故正确答案：C3已知集合M3，m1，且4M，则实数m等于()A4 B3C2 D1解析：4M，4m1，m3.答案：B4已知RQ000NQ3Z.正确的个数为_解析：是正确的；是错误的答案：35用适当的符号填空：已知Ax|x3k2，kZ，Bx|x6m1，mZ，则有：17_A；5_A；17_B.解析：令3k217得，k5Z.所以17A.令3k25得，kZ.所以5A.令6m117得，m3Z，所以17.答案：，6用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有非负偶数的集合；(5)所有能被3整除的数的集合；(6)方程(x1)(x2)0的解集；(7)不等式2x15的解集解：(1)1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月(2)3，2，1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12(3)x|x是梯形或梯形(4)0,2,4,6,8，(5)x|x3n，nZ(6)1,2(7)x|2x15一、选择题1下列给出的对象中，能组成集合的是()A一切很大的数B高中数学的所有难题C美丽的小女孩 D方程x210的实数根解析：选项A，B，C中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A，B，C中的对象都不能组成集合答案：D2下列命题不正确的有()很小的实数可以构成集合；集合y|yx21与集合(x，y)|yx21是同一个集合；1，0.5这些数组成的集合有5个元素；集合(x，y)|xy0，x，yR是指第二和第四象限内的点集A1个 B2个C3个 D4个解析：错的原因是元素不确定；前者是数集，而后者是点集，种类不同；，0.5，有重复的元素，应该是3个元素；该集合还包括坐标轴上的点答案：D3已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6C8 D10解析：列举得集合B(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，共含有10个元素答案：D4定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB设A1,2，B(0,2)，则集合A*B的所有元素之和为()A0 B2C3 D6解析：依题意，A*B0,2,4，其所有元素之和为6.答案：D二、填空题5集合A(2，2)，(2,2)中含有_个元素解析：(2，2)，(2,2)是两个点，有2个元素答案：26.已知集合A(x，y)|y2x1，B(x，y)|yx3，aA且aB，则a为_解析：aA且aB，a是方程组的解解方程组，得，a为(2,5)答案：(2,5)7用描述法表示方程xx3的解集为_解析：xx3，x.解集为x|x答案：x|x8(x，y)|(x2)2|y3|0，x，yR_.解析：由(x2)2|y3|0，又(x2)20，|y3|0，所以(x2)20，|y3|0，所以x2，y3，所以(x，y)|(x2)2|y3|0，x，yR(2，3)答案：(2,3)三、解答题9已知集合A含有两个元素a3和2a1，(1)若3A，试求实数a的值(2)若aA，试求实数a的值解：(1)因为3A，所以3a3或32a1.若3a3，则a0.此时集合A含有两个元素3，1，符合题意若32a1，则a1.此时集合A含有两个元素4，3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或1.(2)因为aA，所以aa3或a2a1.当aa3时，有03，不成立当a2a1时，有a1，此时A中有两个元素2,1，符合题意综上知a1.10已知集合Ax|kx28x160只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解：当k0时，原方程变为8x160，所以x2，此时集合A2；当k0时，要使一元二次方程kx28x160有两个相等实根，需6464k0，即k1.此时方程的解为x1x24，集合A411.2集合间的基本关系读教材填要点1子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，则称集合A是集合B的子集AB(或BA)2.集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果AB，且BA，就说集合A与B相等AB真子集如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合A是B的真子集AB(或BA)3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集(2)用符号表示为：.(3)规定：空集是任何集合的子集4子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.小问题大思维1若AB，则AB且AB，对吗？提示：对AB，首先AB，其中B中至少有一个元素不属于A，即AB.2任何集合都有真子集吗？提示：不是，空集就没有真子集30和表示同一集合吗？它们之间有什么关系？提示：0和不是同一个集合0表示含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合，且0有限集合子集确定问题例1写出集合A1,2,3的所有子集和真子集自主解答由0个元素构成的子集：；由1个元素构成的子集：1，2，3；由2个元素构成的子集：1,2，1,3，2,3；由3个元素构成的子集：1,2,3由此得集合A的所有子集为，1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3在上述子集中，除去集合A本身，即1,2,3，剩下的都是A的真子集1. 求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个.1已知集合M满足2,3M1,2,3,4,5，求集合M及其个数解：当M中含有两个元素时，M为2,3；当M中含有三个元素时，M为2,3,1，2,3,4，2,3,5；当M中含有四个元素时，M为2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5；当M中含有五个元素时，M为2,3,1,4,5所以满足条件的集合M为2,3，2,3,1，2,3,4，2,3,5，2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5，2,3,1,4,5，集合M的个数为8.集合间关系的判定例2下列各式正确的是_(1)aa；(2)1,2,33,1,2；(3)00；(4)1x|x5；(5)1,33,4自主解答题号正误原因(1)任何一个集合都是它本身的子集(2)两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义(3)元素0是集合0中的一个元素，故应为00(4)1，2，3N,2N.MN.又0N，但0M，MN.集合间关系的应用例3已知集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且BA.求实数m的取值范围自主解答BA，(1)当B时，m12m1，解得m2.(2)当B时，有解得1m2，综上得m1.(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“”用实点表示，不含“”用虚点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.3设集合A1,3，a，B1，a2a1，且AB，求a的值解：AB，而a2a1B，a2a1A.a2a13或a2a1a.当a2a13时，a2或a1.(1)a2时，A1,3,2，B1,3，这时满足条件AB；(2)a1时，A1,3，1，B1,3，这时也满足条件AB.当a2a1a时，a1，此时A1,3,1，B1,1，根据集合中元素的互异性，故舍去a1.a的值为2或1.解题高手易错题审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！已知Mx|x23x20，Nx|x22xa0，若NM，求实数a的取值范围错解Mx|x23x201,2，(1)当N1时，有a1.(2)当N2时，有不成立(3)当N1,2时，有不成立所以，a1.错因空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略，错解中没有考虑集合N为的情况正解Mx|x23x201,2，又NM，N，或N1，或N2，或N1,2(1)当N时，方程x22xa0的判别式44a1.(2)当N1时，有a1.(3)当N2时，有不成立(4)当N1,2时，有不成立综上可知实数a的取值范围是a1.1下列命题中，正确的有()空集是任何集合的真子集；若AB，BC，则AC；任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；如果不属于B的元素也不属于A，则AB.ABC D解析：空集只是空集的子集而非真子集，故错；真子集具有传递性，故正确；若一个集合是空集，则没有真子集，故错；由韦恩(Venn)图易知正确答案：C2设集合Mx|x2，则下列选项正确的是()A0M B0MCM D0M解析：选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误答案：A3已知集合Ax|x是平行四边形，Bx|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x是菱形，则()AAB BCBCDC DAD解析：选项A错，应当是BA.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形选项D错，应当是DA.答案：B4已知x|x2xa0，则实数a的取值范围是_解析：x|x2xa0x|x2xa0.即x2xa0有实根(1)24a0，得a.答案：a5若a,0,1c，1，则a_，b_，c_.解析：0，c0，a1，1.a1，b1.答案：1106已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2，若BA，求实数m的值解：BA，m21，或m22m1，当m21时，显然无实数根；当m22m1时，m1.实数m1.一、选择题1已知集合MxZ|3x1，则它的真子集的个数为()A12 B14C15 D16解析：MxZ|3x12，1,0,1共有4个元素，它的真子集共有24115个答案：C2定义集合A*Bx|xA，且xB，若A1,2,3,4,5，B2,4,5，则A*B的子集个数为()A1 B2C3 D4解析：由题意知A*B1,3，A*B的子集个数为224个答案：D3已知集合Mx|x，xZ，则下列集合中为集合M子集的是()AP3,0,1BQ1,0,1,2CRy|y1，yZDSx|x|，xN解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系集合M2，1,0,1，集合R3，2，S0,1，不难发现集合P中的元素3M，集合Q中的元素2M，集合R中的元素3M，而S0,1中的任意一个元素都在集合M中，所以SM，且SM.答案：D4已知集合A0,1,2，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A6 B5C4 D3解析：集合0,1,2的子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2，其中含有偶数的集合有6个答案：A二、填空题5已知集合Ax|a1xa2，Bx|3x0，B，且B含有两个不同元素B2,3，需2a15和a2a6同时成立，a2.综上所述：a2.法二：Ax|x25x602,3，Bx|x2(2a1)xa2a0x|(xa)(xa1)0a，a1，aa1，当BA时，只有a2且a13.a2.11.3集合的基本运算第一课时并集与交集读教材填要点1 集合的并集与交集的定义并集交集自然语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合符号语言ABx|xA或xBABx|xA且xB图形语言2并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质ABBAABBAAAAAAAAAAABABBABABAABA，ABBABB，ABA小问题大思维1若A1,2,3，B3,4,5，那么AB1,2,3,3,4,5对吗？如何表示AB和AB?提示：AB1,2,3,3,4,5是不对的，因为不符合元素的互异性；AB1,2,3,4,5，AB32你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”3若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是AB.集合交并的简单运算例1已知集合Ax|(x1)(x2)0，Bx|(x2)(x3)0，则集合AB是()A1,2,3B1，2,3C1，2,3 D1，2，3自主解答Ax|(x1)(x2)01，2；Bx|(x2)(x3)02,3，AB1，22,32,1,3答案C解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.1已知集合Ax|1x3，Bx|x0，或x，求AB，AB.解：Ax|1x3，Bx|x0，或x，把集合A与B表示在数轴上，如图ABx|1x3x|x0或xx|1x0或x3；ABx|1x3x|x0或xR.已知集合交集、并集求参数例2已知集合A1,3，x，B1，x2，AB1,3，x，求满足条件的实数x的值自主解答AB1,3，x，A1,3，x，B1，x2，ABA，即BA，x23或x2x.当x23时，得x.若x，则A1,3，B1,3，符合题意；若x，则A1,3，B1,3，符合题意当x2x时，则x0或x1.若x0，则A1,3,0，B1,0，符合题意；若x1，则A1,3,1，B1,1，不成立，舍去；综上可知，x或x0.(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到ABA，ABB等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如ABAAB，ABBAB等，解答时应灵活处理.(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性.2已知集合A4,6，B2，m，AB2,4,6，则m的值为_解析：A4,6，B2，m，而AB2,4,6，m4或m6.答案：4或6解题高手妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！集合Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80(1) 若ABAB，求a的值；(2)若AB，AC，求a的值巧思(1)ABABAB；(2)ABAB.妙解由已知，得B2,3，C2，4(1)ABAB，AB.于是2,3是一元二次方程x2axa2190的两个根，由根与系数之间的关系知：解之得a5.(2)由ABAB，又AC，得3A,2A，4A.由3A得323aa2190，解得a5或a2.当a5时，Ax|x25x602,3，与2A矛盾；当a2时，Ax|x22x1503，5，符合题意a2.1已知集合M1,2,3,4，N2,2，下列结论成立的是()ANMBMNMCMNN DMN2解析：因为2M，可排除A；MN2,1,2,3,4，可排除B；MN2答案：D2设AxN|1x10，BxR|x2x60，则如图中阴影部分表示的集合为()A2 B3C3,2 D2,3解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，而直接解集合B中的方程可知B3,2，因此阴影部分显然表示的是AB2答案：A3设集合Mx|3x6 Dk6解析：因为Nx|2xk0x|x，且MN，所以3k6.答案：D4已知集合Ax|x是平行四边形，Bx|x是菱形，Cx|x是矩形，则ABC_.解析：ABx|x是菱形ABCx|x是正方形答案：x|x是正方形5已知集合M0,1,2，Nx|x2a，aM，则集合MN_.解析：由M0,1,2，知N0,2,4，MN0,2答案：0,26设集合Aa2，a1，3，Ba3,2a1，a21，AB3，求实数a.解：AB3，3B.a213，若a33，则a0，此时A0,1，3，B3，1,1，但由于AB1，3与已知AB3矛盾，a0.若2a13，则a1，此时A1,0，3，B4，3,2，AB3，综上可知a1.一、选择题1已知集合Ax|x0，Bx|1x2，则AB()Ax|x1 Bx|x2Cx|0x2 Dx|1x2解析：结合数轴得ABx|x1答案：A2设集合Mx|3x2，Nx|1x3，则MN()Ax|1x2 Bx|1x2Cx|2x3 Dx|2x3解析：Mx|3x2且Nx|1x3，MNx|1x2答案：A3设Ax|3x3，By|yx2t若AB，则实数t的取值范围是()At3 Dt3解析：By|yt，结合数轴可知t2m1，求AB，AB.解：解不等式组得2x3，则Ax|2x2m1，得m2，则Bm|m2用数轴表示集合A和B，如图所示，则ABx|2x2，ABx|x3第二课时补集及集合运算综合问题读教材填要点1全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集(2)符号表示：通常记作U.2补集自然语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA符号语言UAx|xU，且xA图形语言小问题大思维1已知集合A、UA(U为全集)，则A(UA)与A(UA)各有什么特点？提示：A(UA)，A(UA)U.2设U为全集，则U、UU、U(UA)分别表示什么集合？提示：UU，UU.U(UA)A.3判断U(AB)(UA)UB，U(AB)(UA)(UB)是否正确提示：不对结合韦恩图可知U(AB)(UA)(UB)U(AB)(UA)(UB)简单的补集运算例1设全集U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，求实数m的值自主解答如图，U0,1,2,3，UA1,2，A0,3方程x2mx0的两根为x10，x23，03m.即m3.(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解(2)解题时要注意使用补集的几个性质：UU，UU，A(UA)U.1已知全集U，集合A1,3,5,7,9，UA2,4,6,8，UB1,4,6,8,9，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U1,2,3,4,5,6,7,8,9，UB1,4,6,8,9，B2,3,5,7.交、并、补的综合运算例2设UxN|x10，A1,5,7,8，B3,4，5,6,9，求AB，AB，(UA)(UB)，(UA)(UB)自主解答UxN|x0，Bx|x1，则A(UB)B(UA)()ABx|x0Cx|x1 Dx|x0，或x1解析：Bx|x1，UBx|x1又Ax|x0，A(UB)x|x0又UAx|x0B(UA)x|x1A(UB)B(UA)x|x0，或x1答案：D利用补集运算求参数范围例3设全集UR，Mx|3ax2a5，Px|2x1，若MUP，求实数a的取值范围自主解答UPx|x2或x1，MUP，分M，M，两种情况讨论(1)M时，如图可得或a，或a5.(2)M时，应有3a2a5a5.综上可知，a，或a.1.MN，一般分两种情况讨论：M，M.2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法.3已知集合Ax|4x2，集合Bx|xa0(1)若AB，求a的取值范围；(2)若全集UR，且A(UB)，求a的取值范围解：Ax|4x2，Bx